2022年高考數(shù)學(xué)解答題解法薈萃 全國(guó)乙卷

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）

理科第23題（文科第23題）：已知a,均為正成立。

數(shù)，且Y+加+4d=3,證明：（尚生陳；段存仙；洪汪寶）

（I）a+〃+2c<3；證法2由（［）知a+6+2c<3,又b=2c,則a+

（n）若6=2八則上+.23。4c43。已知a,〃,c均為正數(shù)，即a>0,6>0,c>0,所

ac以0<a+4c43,即0V!（a+4c）&l。

證明：（I）證法1由算術(shù)平均數(shù)不大于平方平

所以5+十（a+4c）（《+：）=:（5+

均數(shù)知號(hào)區(qū)《產(chǎn)+6；+正=聘=1.即

紇粵必41,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=2c=l時(shí)等號(hào)成立，所生+幺）

ac）。

以a+6+2c<3。因?yàn)閍>0,c>0,所以?>0,色>0。

（洪汪寶；唐宜鐘；云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院段存ac

仙；陜西省延安育英中學(xué)尚生陳；四川省成都華西由均值不等式知,4X（5+"+"）》Jx（5+

3\ac/3

中學(xué)張?jiān)迫A）

證法2因?yàn)?lt;?+122a（當(dāng)a=l時(shí)取等號(hào)），2a）=《X（5+4）=3?當(dāng)且僅當(dāng)好=巴,即a=2c=

3ac

6+1226（當(dāng)6=1時(shí)取等號(hào)），41+124c（當(dāng)c=3

1時(shí)等號(hào)成立，所以工+工23。

ac

時(shí)取等號(hào)），各式相加得/+從+4/+322a+26+（段存仙；洪汪寶；尚生陳）

證法3當(dāng)〃=2c時(shí)，a?+〃+4cz=3可化為

4c,即6>2a+26+4c,所以a+/>+2c<3（當(dāng)a=1,

1+8cz=3,所以a=，3—8c2,所以工+?1=

6=1,c=｝時(shí)取等號(hào)）。ac

..1+1

（陜西省延安市吳起高級(jí)中學(xué)胡漢明）73-8c2C.

證法3因?yàn)閍?+加=3-4cz.所以可設(shè)a=設(shè)?）=1?+:（0<著），

2

y/3~4ccosO.b=，3—4c?sin0o73-8?c'4'

所以a+0+2c=，3—所，cos。+，3一所?sin0+則””——七=^=史2生”

2c=〃6—8/sinR+孑）+2c<，6—8c?+2c=V^?（3—8/）A/3—8c2cc2（3—8c2）2

由/"（c）=0得c=3。

2

，3—402+1X2c&y（2+l）（3-4c+4?）=3O

當(dāng)一X2c=lX，3—4/時(shí)取等號(hào),此時(shí)c=y,

從而a=6=l.所以八c）在區(qū)間（o4）內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間（十,

（胡漢明；唐宜鐘）

證法4令/"（2）=（a_r+l）z+（6工+1產(chǎn)+（2cz+呼）內(nèi)單調(diào)遞增。

2222

D"顯然/（x）>0o則/（x）=（a+6+4c）x+

2（a+6+2c）z+3>0,所以△=4（a+b+2c）?—12（a2+所以/（c））/（/）=3,即《+!>3。

b2+4c2）&0,即（a+6+2c）2<3（a2+b2+4/）=9。

所以a+6+2c&3（當(dāng)且僅當(dāng)a=l,6=l,c=y（胡漢明）

時(shí)取等號(hào)）。

（唐宜鐘）

（D）證法1因?yàn)閍",c都是正數(shù)，且&?+〃+理科第17題：記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分

4cz=3,6=2c,所以3=a2+4c2+4c2>3海芯丁.所

別為a,6,c,已知sinCsin（A—B）=sinBsin（C-A）o

（I）證明：2Q2=/+C2.

以16aZ/4l,所以4acZal.所以'+▲=!+《+

acaLc9R

（口）若a=5,cosA=和求△ABC的周長(zhǎng)。

》7523開(kāi)=3。

解：（I）證法1由已知得sinC（sinAcosB—

當(dāng)且僅當(dāng)a=l,c=^?時(shí)等號(hào)成立，所以原不等式cosAsinB）=sinB（sinCeosA—cosCsinA）,由正弦定

理得cacosB—cbcosA=IKCOSA-bacosCo

局)考頻i首二zhongshucancom》2022年第7期》

★★★★★★

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)

由余弦定理得四尹+".%二《=sin(C~~A)

sin(A—B)=sinBsin(C-A)可得益石

sin(A-B)

2sinCeosA-cosCsinA

2bc-"+；：一°、整理得/=〃+/—。2,故2az=由正弦定理得三

LbcsinAcosB—cosAsinB

b2+/。ccosA-acosC

整理得be,cosA-abcosC=

(陜西省延安新區(qū)高級(jí)中學(xué)張艷；四川省崇州acosB—bcosA

市崇慶中學(xué)李心軍；江西省臨川第一中學(xué)ac,cosB—bc*cosA,所以

袁小平；河南省扶溝縣第二高級(jí)中學(xué)陳立爭(zhēng)；陜西2bc?cosA=a(b?cosC+c?cosB)o(*)

省榆林市第三中學(xué)賀永宏；安徽省安慶市第一中學(xué)由力?cosC+c?cos3=a與2bc?cosA=62+

洪汪寶；陜西省延安育英中學(xué)尚生陳；陜西省乾/一。2.代入(*)式得b2^c2-a2=a?a,所以/+

縣第一中學(xué)周牛娃，周莎；陜西省禮泉縣第一中學(xué)1=2/,得證。

魏文宏,張虎；中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校(王強(qiáng)善；徐永強(qiáng))

劉長(zhǎng)根；陜西省漢中市四。五學(xué)校侯有岐；四川省(U)解法1由(I)知2/=〃+/,又。=5,所

成都市成華區(qū)教育科學(xué)研究院周步?。魂兾魇∠剃?yáng)以川+1=50,由余弦定理及已知cosA=￡，得25=

市高新-中袁戰(zhàn)鋒；安徽省青陽(yáng)中學(xué)曹強(qiáng)；陜西

省漢中市龍崗學(xué)校巨小鵬;云南省昆明市第三中學(xué)8+.2—26cx條所以26c=31,從而〃+c=9,所以

周躍佳,李毅梅；陜西省靖邊中學(xué)趙世念；陜西省榆

林市榆林高新中學(xué)徐永強(qiáng))△ABC的周長(zhǎng)為Q+6+C=14。

證法2由已知得sin(A+B)sin(A—B)=sin(C+(李心軍；洪汪寶；周牛娃；周莎；馮恒仁；王煒；

A)sin(C—A),展開(kāi)得sin2Acos2B—cos2Asin2B=冀建軍；王有；王靜；張艷；侯有岐；魏文宏；張虎；

22222周躍佳；李毅梅；鄭振華；聶作慶；張發(fā)義；韓高峰)

sinCeosA-cosCsinAo根據(jù)同角關(guān)系式得sinA,

(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-解法2由余弦定理得/=〃2+02—2AcosA,

cos2Csin，A,整理得2sir?A=sin?B+sin?C,由正弦定由(I)的結(jié)論把從+/=2/代入得a2=2a2-

理得2a2=〃+/。2AccosA?即a?=26ccosA。把條件中a和cosA的值

(陳立爭(zhēng)；賀永宏；周步?。徊軓?qiáng)；巨小鵬；侯有岐；代人得2A=31,再由(I)的結(jié)論可得2a2=b2+c2=

趙世念；袁小平；洪汪寶；陜西省西安市田家炳中學(xué)(b+c)2-26j把a(bǔ)和2bc的值代人得(6+c)2=81,即

田向紅,馮恒仁；陜西延安中學(xué)劉壽才；山東省陽(yáng)信〃+c=9.所以，ZXABC的周長(zhǎng)為a+6+c=14。

縣第一中學(xué)鄭振華，聶作慶；山東省陽(yáng)信縣第二實(shí)(陳立爭(zhēng)；賀永宏；周步?。痪扌※i；王強(qiáng)善；朱益)

驗(yàn)中學(xué)張發(fā)義,韓高峰；陜西省綏德中學(xué)王煒；陜

解法3因?yàn)閏osA=^,0VA〈7T。所以sinA=

西省洛南縣西關(guān)中學(xué)冀建軍；成都師范學(xué)院德陽(yáng)高

級(jí)中學(xué)王強(qiáng)善；陜西省乾縣第一中學(xué)王有,王靜)r\-----rr_4T_sinA_4y/21

v1cos'A=-z-：—，所以tanA-----T-=-zz-

證法3因?yàn)锳+B+C=n,所以sin(A+B)?31cosA250

sin(A-8)=sin(C+A)sin(C—A),由積化和差公式所以=/ocsinA=9?2Z>ccosA?tanA=

得9(cos213—cos2A)=-^-(cos2A—cos2C),所以

-j-?(b2+c2-a2)?tanA=-7-?(2a2-a2)?tanA=

cos2B+cos2C=2cos2A.由二倍角公式得1一44

2sin2B+l-2sin2C=2(l-2sin2A),sin*B+?tanA=9X5,X嚼所以％=

sir)2C=2sin2A.由正弦定理得2a2=624-c2.

(張艷；尚生陳；袁戰(zhàn)鋒；袁小平；洪汪寶；冀建軍；

y.由余弦定理得a2=(b+c)2-2hc-2bccosA,所

安徽省桐城市第八中學(xué)朱益)

證法4由已知得sinC(sinAcosB—cosAsinB)=以5z=(6+c)z—31-31X^,從而〃+c=9,所以

sinB(sinCeosA—cosCsinA),所以sinA(sinCeosB+

cosCsinB)=2sinBsinCeosA,所以sinAsin(B+△ABC的周長(zhǎng)為14。

C)=2sinBsinCeosA。又sinA=sin(B+C),所以(袁戰(zhàn)鋒；周躍佳；李鼓梅)

sin2A=2sinBsinCeosA。由正弦定理得.a?=2ZxcosA,理科第18題：如圖1,四面

體ABCD中，ADJ_CD,AD=

又由余弦定理知2/xcos4=加+d一。2,所以2az=

If+d?CD,/ADB=/BDC,E為AC

(侯有岐；曹強(qiáng)；王有;王靜;劉壽才；周躍佳；李毅梅)的中點(diǎn)。

證法5若sin(C—A)=0,則sin(A—B)=0.即(I)證明：平面BED,平

C=A=B.此時(shí)a=<?=c,結(jié)論2a2=加+。2成立；面ACD；

若sin(C-A)#0,則sin(A—B)#0,由sinC,(||)設(shè)AB=BD=2./ACB=60",點(diǎn)F在BD

▲

62★★★★★★局望頻道7K

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）

上，當(dāng)aAFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所色芋面A3D的一個(gè)法向量為〃=（z2,z）,則

成的角的正弦值。n-AD=—jr+z=0,l,r-

穴取則（3,痣,3）0

解：（I）略。n?AB=-x+\/3y=0,

/）

（||）解法1如圖2.過(guò)C（04譚），所以序=（14,

作CH_L平面ABD,垂足為H,又因?yàn)镃（一1,0,0）,F

聯(lián)結(jié)FH.則/CFH為CF與

〃?守646

平面ABD所成的角。聯(lián)結(jié)y）o故cos〈”,C'F〉

?CF「㈤X7_7°

EF?由（1）知,AC_L平面BED,

因?yàn)镋FU平面BED,所以

設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為。（04

AC±EF因此?EF.當(dāng)EFJ_BD時(shí),

Q所以sin9=|cos〈*洋〉|=警。故CF與

EF最小，即△AFC的面積最小。

因?yàn)椤鰽BD9Z\CBD,所以CB=AB=2。又因

平面ABD所成的角的正弦值為

為NACB=60°,所以是等邊三角形。在70

Rt/XFEC中，EF=彳,CE=1,所以CF=AF=*°（張調(diào)調(diào)；侯有岐；王煒；陳金；巨小鵬；張虎；魏文

宏；云南省曲靖市麒麟高級(jí)中學(xué)楊培紹；西北工業(yè)

大學(xué)附屬中學(xué)仝玉強(qiáng)）

由等體積法，匕）,?=匕?，所以鼻十義痣乂

解法3如圖4,在aAFC

2X1=yXyX2X^XCH.BPCH=上件。中，聯(lián)結(jié)EF,過(guò)點(diǎn)C做AF的

垂線,垂足為G。

由（I）知，AC_LBD,作

設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為“04

EF，BD,AC與EF交于點(diǎn)E,

所以平面ACF。

，所以sin0=-^-a

又因?yàn)锽DU平面ABD,所以平面ACF±T

面ABD.

故CF與平面ABD所成的角的正弦值為警。

因?yàn)镃GJ_AF,且平面ACFC平面ABD=AF,

所以CH,平面ABD,則/HFC即為CF與平面ABD

（張發(fā)義；韓高峰；聶作慶；王煒；陳金；王有；

所成線面角。

王靜；周步俊；山東省陽(yáng)信縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)鄭振華；因?yàn)锳E=EC,且EFJ_AC,所以AF=FC。

安徽省六安市第二中學(xué)陶興紅；陜西省西安市第三

又因?yàn)锳C=2,EF=與，AF=FC=￥，所以

中學(xué)第二分校李凱；陜西延安中學(xué)張調(diào)調(diào)；內(nèi)蒙

古二連浩特市第一中學(xué)武麗；陜西省西安市第一中

AC?EF2721

CG=

學(xué)曾衛(wèi)鵬）AF7

解法2如圖3,聯(lián)結(jié)所以FC與平面ABD所成角的正弦值為零

EF,由（I）知，ACJ_平面C￡*

BED,因?yàn)镋FU平面BED,2V2A

所以ACJ_EF,所以=7473

j-AC-EF。7°

當(dāng)EFJ_BD時(shí)，EF最（侯有岐；巨小鵬；仝玉強(qiáng)；黑龍江省大慶市第十

小，即aAFC的面積最小。三中學(xué)陳金）

理科第20題（文科第21題）：已知橢圓E的中心

因?yàn)椤鰽BDSZiCBD,所以CB=AB=2a

又因?yàn)镹ACB=60",所以AABC是等邊三角為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為工軸軸,且過(guò)A（0,—2）,

形。因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=8倍,_1）兩點(diǎn)。

質(zhì).因?yàn)锳DJ_CD,所以DE=1AC=1。在△DEB（I）求E的方程；

（n）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（l,-2）的直線交E于M,N兩

中，DEZ+B^nBD"所以BE1DE

O點(diǎn)，過(guò)M吐行主：軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T,

如坐點(diǎn)空坐

圖3.以E為標(biāo)原建立間直角標(biāo)系E-點(diǎn)H滿足而;二亍聲。證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)。

工",則八（1,0,0）,8（0,愿，0）,。（0,0,1）,所以俞=22

解：（I）設(shè)E的方程為云+方=1,將A（0,

（-l,0,l）,AB=（-l^/3,0）1,

高蔻頻道3?zhongshuconcom）2022年第7期》

★★★★★★

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）

立，解得T（以含又而=宿.解得H（6+

-2）上修,一1）兩點(diǎn)代人得，]解得Y=

3“一?，v）?則直線HN的方程為（y一竺）（6+

14a2土護(hù)1，

3V一為一&）=（V-”）（z—電）o

31=4,從而￡的方程為1+[=1。將A（0,—2）代入直線HN的方程得（2+出）（6+

3yl-xi-12）=（“-y2）x2。

（陜西省西安市經(jīng)開(kāi)一中王瑞亮；廣東省深圳又Zi=m（v+2）+l,i2=m（?2+2）+l,上式

市蛇口育才教育集團(tuán)育才中學(xué)周陽(yáng)；江西省興國(guó)縣化簡(jiǎn)為（4m—5）（“+”）+（Zm—3）v”+8m—

平川中學(xué)胡春燕）8=0。

（U）證法1直線HN過(guò)定點(diǎn)為A（0,—2）,下-8加（2加+1）,

證結(jié)論成立。將①式代人，得（47〃-5）3+462

設(shè)原坐標(biāo)為（『，》'），新坐標(biāo)為（工~），作平移變

（2w-3）-8（2?上2彳—1）+8加―8=0,等式成立。

換則在新坐標(biāo)系下,橢圓后：《十丐金=3十4m

i?=y+2,s4所以直線HN過(guò)定點(diǎn)A（0,—2）。

l,A'（0,0）,P'（1,0）,B'設(shè)時(shí)（工1,“）,（唐宜鐘；王瑞亮；魯偉陽(yáng)；胡春燕：安徽省揚(yáng)山中

學(xué)王義；陜西省合陽(yáng)縣第二高級(jí)中學(xué)喬憲峰；陜

N，，？2），/"NT/=my+l。西省禮泉第一中學(xué)張西情）

x=my-}-1,證法3直線HN過(guò)定點(diǎn)A（0,-2）,理由如下：

聯(lián)立」工2?（丁一2）2,化簡(jiǎn)得（4/+3）/+

點(diǎn)P（l,-2）對(duì)應(yīng)的極線為與三+匕與上=

4‘

（8m—12）y+4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得“+“=9

1,即產(chǎn)（一2,即為直線AB則AP,AB；AM,

12—8m_4O

4m2+3'沙”=4而+3°

AN為調(diào)和線束。過(guò)點(diǎn)M作MH〃AP,交AB,AN

又直線A'N'的方程：y="工，由yH-=yi——,于點(diǎn)T,H,由調(diào)和性質(zhì)可知，T為MH的中點(diǎn)。

（唐宜鐘；魏文宏；周陽(yáng)；魯偉陽(yáng)）

證法4設(shè)直線MN的參數(shù)方程為[L1：丁G

設(shè)線段M'H'的中點(diǎn)為Q,則皿='‘尸=為參數(shù)）。

設(shè)M（1+mt\2+，i）,N（l+mt,-2+上），

吟三嗎故式也盧嗎,2

Xo+1+ffl<1

2y2\2y2）H5,-2+4），則T（2,-2+fl）J

又A'B'的直線方程為，=等了,將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入

由A（0,-2）,B（9,—1）兩點(diǎn)求出直線AB的

A'B'的直線方程中，并化簡(jiǎn)得3例北=乃北，即

（2m-3）“北+沙+?2=0，顯然成立，故Q與T'重方程為,=六了-2,將點(diǎn)T代入直線AB的方程為

合，故直線H'N'過(guò)定點(diǎn)A’,所以原結(jié)論成立。

也可由點(diǎn)T'坐標(biāo)得點(diǎn)H'坐標(biāo)，得直線H'N'的-2+&=?X紅土卡包一2,解得了。=（3一相）4一

方程，由（2m-3）“”+”+?z=。得出結(jié)論。

1,所以H（（3-m）a—1,一2+4）。將直線MN的參

（仝玉強(qiáng)；魏文宏；陜西延安中學(xué)魯偉陽(yáng)；陜西

數(shù)方程與橢圓E的方程聯(lián)立，得（3+4/）/+（8m—

省漢中市龍崗學(xué)校楚豪；西北工業(yè)大學(xué)附中

任轂;陜西省銅川市第一中學(xué)姜峰;陜西省漢中市龍12）t+4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得&+4=棄舞,

崗學(xué)校唐宜鐘;陜西省榆林市第十中學(xué)楊憲偉）

4

證法2由題可知過(guò)點(diǎn)P（l,-2）的直線MN斜率

不為0,所以可設(shè)直線MN的方程為z=m（y+2）+L

x=7n（y+2）+l,AN=（1+松2?i2）,AH=（（3—m）t\—1）o

因?yàn)椋?+初上）t\~hL（3—w）Z|—1]=Zi+￡2+

設(shè)M（q，M）,N（Zz，2），聯(lián)立方程組”/.JT2

l7+T=1,

（2m-3""2=+（27n-3）X—~~2=。，

化簡(jiǎn)得（3+4，"2）y2+8zn（2/7i+1）jy+8（2m2+2m—3十4m3十4m

所以京〃麗7,即A,N,H三點(diǎn)共線，所以直線HN

1）=0。

—&〃（加+D_8（2?^+2zw-1）過(guò)定點(diǎn)A（0,-2）°

則M+於①

3+W'*昊3+4W2（安徽省安慶市懷寧縣東升高級(jí)中學(xué)鄒劉勇）

直線AB的方程為2工-3'—6=0,與>=y,聯(lián)證法5猜測(cè)直線HN過(guò)橢圓的下頂點(diǎn)（0,—2）。

★★★★★★同琴頻道4

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）

驗(yàn)證猜想：理科第21題：已知函數(shù)/（H）=ln（l+z）+aHe\

設(shè)M（不，”），/^（4，“），當(dāng)直線MN的斜率存（I）當(dāng)。=1時(shí)，求曲線》=/（才）在點(diǎn)（0,/（0））

在時(shí)?設(shè)直線MN的方程為》=6工一萬(wàn)一2。處的切線方程；

將直線MN方程與橢圓方程聯(lián)立得（4+3公）/一（H）若/（H）在區(qū)間（一i,o）,（o,+oo）各恰有一

6鼠&+2）X+384+4）=0,個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍。

6A&+2)_3晨什4)解：（I*=21,過(guò)程略。

故+工2=，71彳2②

4+3公一_4+3公°（II）解法1二皿=一+「!.-

好店''⑺1+工+e/d（l+_r）°

因?yàn)辄c(diǎn)T在直線AB：y=^x-2上，設(shè)T（|>,+

（1）當(dāng)a20時(shí)，/（才）〉。"1）在區(qū)間（—1,0）

3,“)，則H(3“一?+6,%)。下證A,N,H三點(diǎn)內(nèi)單調(diào)遞增，/（0）=0,/（］）在區(qū)間（-1,0）內(nèi)無(wú)零

點(diǎn)，不合題意?

共線。（ii）當(dāng).〈0,才趨于一1時(shí),/（工）趨于-8,/（o）=

L-”+2_晨4一1）_

困為kw~6+3%—陽(yáng)一3為3A—?'-0,/（工）在區(qū)間（—1,0）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn),所以，（0）=

l+a<0即a<—1?設(shè)3（1）=《+4（1—>）,則<p（,J-）=

江匚=處至二12,要讓A,N,H三點(diǎn)共線，即證《一2”。

12N2當(dāng)a<—1,-r>0時(shí)./（工）>0.中（才）在區(qū)間（0,

（34—2）工1q—（34-■1）（z1+4）+34=0,將②式代+8）內(nèi)遞增,（0）=1+a<0,61）=€>0.故存在唯

人知等式成立。一的工。6（0,1）使得3工。）=0,所以/（了）在區(qū)間（0,

若直線MN的斜率不存在，易知A,N,H三點(diǎn)共

孔）內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間5,+8）內(nèi)單調(diào)遞增,/（.r?）<

線，即直線NH恒過(guò)點(diǎn)A（0,-2）。

/（0）=0.當(dāng)x>l+a2時(shí),fCr）=ln（l+N）+axer>

（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)張瑋，聞杰）

ln（l+z）+'>0,則八z）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)恰有一

文科第20題：已知函數(shù)/（T）=ax--^―（a+1）X

個(gè)零點(diǎn)。

Inx?當(dāng)a<—1,—1<.r<0時(shí)，中'（上）在區(qū)間（—1，。）

（I）當(dāng)a=0時(shí)，求—的最大值;內(nèi)單調(diào)遞增.中'（一1）<°，'（。）=1>0，故存在唯一

（II）若八外恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。的4e（-i,o）使得d（B）=o,所以3工）在區(qū)間

解：（1）函數(shù)八］）的最大值為=（—1,4）內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間（為，0）內(nèi)單調(diào)遞增，

（0）由題得“外恰有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于a（x-ln與=奴為）〈火（。）=1+”<。呼（-1）>。?故存在唯一的

.Inx+-皿6（—1,4）使得貝工2）=0,所以/“）在區(qū)間（一1，

Inx+-,BPa=——（由切線不等式知才>ln1

-工2）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（4,0）內(nèi)單調(diào)遞減.工趨于

JCXInx

一1時(shí)JGr）趨于一8,“亞）>/（0）=0,此時(shí)/（X）

（工>0））有且僅有一個(gè)實(shí)根，也等價(jià)于直線y=a與曲

在區(qū)間（-1,0）內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)。

Inx+—綜上所述:a的取值范圍為-

線》=廠房的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)。令g（z）=（仝玉強(qiáng)；楊憲偉；郭博；侯有岐；楚,豪；魏文宏；

張虎；唐宜鐘；周牛娃；安徽省安慶市第七中學(xué)吳?。?/p>

InxH---（a—l）f1-Inx--j

山東省肥城市第六高級(jí)中學(xué)朱萬(wàn)良；陜西延安中學(xué)

E（Z>。）,則g（x）=-

'出土宋曉靜；陜西省靖邊中學(xué)段雄偉；浙江省諸暨

中學(xué)閆二路；山東省壽光市第五中學(xué)楊守松；

令/I（H）=1--—Inx------（z>0）,則h'（工）=

XX湖北省武漢市第二中學(xué)張鵠；云南省開(kāi)遠(yuǎn)市第一中

Ini-x<0恒成立，所以從工）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)單學(xué)龔敬輝；內(nèi)蒙古商都高級(jí)中學(xué)何龍；新疆烏魯

X木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校符強(qiáng)如）

調(diào)遞減,且/i（1）=0,則當(dāng)（0,l）B^,x-l<0.解法2（i）若a20,當(dāng)工>0時(shí)/（z）=ln（l+

A（x）>0；當(dāng)7￡（1,+8）時(shí)，z—l>0"（z）V0,即

工）十等>0,故八］）在區(qū)間（0,+8）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，不

，（幻40恒成立，則q（z）在區(qū)間（0.+8）內(nèi)單調(diào)遞

減。又當(dāng)1-0+時(shí)，g（Z）f+8;當(dāng)Zf+8時(shí).合題意。

（ii）若aVO時(shí),因?yàn)?（0）=0則問(wèn)題等價(jià)于

Inx+--

晨外->0。所以要使直線y=a與曲線丁=廠房/（z）在區(qū)間（—1,0）,（0,+8）內(nèi)各恰有一個(gè)極值點(diǎn)。

由八力=史士猾芥2=。得_1=勺。

的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)?只需。>0,即。的取值范圍為e（1十1）ae

（0,+oo）e設(shè)人（幻=勺.由，a）=士尹l=o得

（袁小平；陜西省禮泉縣第一中學(xué)康鋒艷）ee

zhongshucancom?2022年第7期〉記

高★★★★★★

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）

T［=1—*</2,J*Z_1+A/^"O設(shè)S（z）=ln（l+z）+乩，貝ljS'（/）=

當(dāng)xC（—1,1—>/2）時(shí)（z）<C0?/i（x）在區(qū)間

（Il\2o在定義域（一l，+8）

（-1.1一展）內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)了6（1—々,0）時(shí),，（工）>0,/1（H）在區(qū)間（1一內(nèi)有S（z）>S（0）=1>0,對(duì)

&內(nèi)單調(diào)遞增；Vx>—1恒有"z）>0,則t（x）

在區(qū)間（-1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)工6（0,1+原'）時(shí)，，（工）>0,&（］）在區(qū)間（0,又/（0）=1,所以只要有一?！?

1+9）內(nèi)單調(diào)遞增；