基礎卷-學易金卷：2022-2023學年九年級數(shù)學一?？记氨厮⒕?1（滬教版）（全解全析）

2023–2023學年上學期一?？记氨厮⒕?1九年級數(shù)學·全解全析123456BCBDBC一．選擇題（共6小題）1．已知非零向量，，，下列條件中，不能判定向量與向量平行的是（）A．∥，∥ B．||＝2|| C．＝2，＝3 D．+2＝【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)逐一判斷即可．【解答】解：∵，，∴，故A不符合題意；∵||＝2||不能確定與的方向，∴不能判定向量與向量平行，故B符合題意；∵＝2，＝3，∴與方向相同，∴，故C不符合題意；∵+2＝0，∴與方向相反，∴，故D不符合題意，故選：B．【點評】本題考查了平面向量的性質(zhì)，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題的關鍵．2．如果把一個銳角三角形三邊的長都擴大為原來的兩倍，那么銳角A的正切值（）A．擴大為原來的兩倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定【分析】把一個銳角三角形三邊的長都擴大為原來的兩倍所得的三角形與原三角形相似，根據(jù)相似三角形對應角相等得到銳角A的大小沒改變，根據(jù)正切的定義得到銳角A的正切函數(shù)值也不變．【解答】解：因為把一個銳角三角形三邊的長都擴大為原來的兩倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正切函數(shù)值也不變．故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形，利用了正弦函數(shù)的定義：在直角三角形中，一個銳角的正切等于它的對邊與鄰邊的比值．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正確的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【分析】先利用勾股定理求出BC的長，然后再利用銳角三角函數(shù)的定義逐一判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∴sinA＝＝，故A不符合題意；cosA＝＝，故B符合題意；tanA＝＝，故C不符合題意；cotA＝＝，故D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．4．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象全部在x軸的上方，下列判斷中正確的是（）A．a(chǎn)＜0，c＜0 B．a(chǎn)＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，c＜0 D．a(chǎn)＞0，c＞0【分析】由題意可得拋物線開口向上，圖象與y軸交點在x軸上方，進而求解．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的圖象全部在x軸的上方，∴拋物線開口向上，拋物線與y軸交點在x軸上方，∴a＞0，c＞0，故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，解題關鍵是掌握與二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．5．下列函數(shù)中，二次函數(shù)是（）A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3） C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A．y＝﹣3x+5，不是二次函數(shù)，故A不符合題意；B．y＝x（4x﹣3）＝4x2﹣3x，是二次函數(shù)，故B符合題意；C．y＝2（x+4）2﹣2x2＝2x2+16x+32﹣2x2＝16x+32，不是二次函數(shù)，故C不符合題意；D．y＝，不是二次函數(shù)，故B不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關鍵．6．如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（）A．EF?BF＝DF?CF B．BE?CD＝BF?CF C．AE?AB＝AD?AC D．AE?BE＝AD?DC【分析】結(jié)合圖形利用8字模型相似三角形證明△EFB∽△DFC，然后利用等角的補角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后證明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的對應邊成比例逐一判斷即可．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴＝，∴EF?FC＝DF?FB，故A不符合題意：∵△EFB∽△DFC，∴＝，∴BE?CF＝CD?BF，故B不符合題意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∴AB?AE＝AD?AC，故C符合題意；因為：AE，BE，AD，CD組不成三角形，也不存在比例關系，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關鍵．二．填空題（共12小題）7．已知＝2，那么＝．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求出x＝2y，再把x＝2y代入，即可求出答案．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，能根據(jù)比例的性質(zhì)求出x＝2y是解此題的關鍵，注意：如果ab＝cd，那么＝，反之亦然．8．在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標為（2，3），那么直線OA與x軸夾角的正切值是．【分析】由A坐標知，直線OA與x軸夾角的正切值＝＝．【解答】解：由A坐標知，直線OA與x軸夾角的正切值＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的定義，根據(jù)坐標值求夾角正切值是解題的關鍵．9．把拋物線y＝x2+1向右平移1個單位，所得新拋物線的表達式是y＝x2﹣2x+2．【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到新拋物線頂點坐標，即可得的新拋物線的表達式．【解答】解：∵拋物線y＝x2+1的頂點坐標為（0，1），∴拋物線向右平移1個單位后，所得新拋物線的表達式為y＝（x﹣1）2+1，即y＝x2﹣2x+2．故答案為：y＝x2﹣2x+2．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象的平移，掌握平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”是解決問題的關鍵．10．已知兩個相似三角形面積的比是4：9，那么這兩個三角形周長的比是2：3．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，再求出周長比．【解答】解：∵兩個相似三角形面積的比是4：9，∴兩個相似三角形相似比是2：3，∴這兩個三角形周長的比是2：3，故答案為：2：3．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比、相似三角形面積的比等于相似比的平方．11．已知，AB＝8，P是AB黃金分割點，PA＞PB，則PA的長為．【分析】根據(jù)黃金分割點的定義，知PA是較長線段；則PA＝AB，代入數(shù)據(jù)即可．【解答】解：由于P為線段AB＝8的黃金分割點，且PA＞PB，則PA＝8×＝4﹣4．故本題答案為：4﹣4．【點評】理解黃金分割點的概念．熟記黃金比的值進行計算．12．如果一個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝2，且沿著x軸正方向看，圖象在對稱軸左側(cè)部分是上升的，請寫出一個符合條件的函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．【分析】由于二次函數(shù)的圖象在對稱軸x＝2的左側(cè)部分是上升的，由此可以確定二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負數(shù)，由此可以確定函數(shù)解析式不唯一．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象在對稱軸x＝2的左側(cè)部分是上升的，∴這個二次函數(shù)的二次項系數(shù)為負數(shù)，∴符合條件的函數(shù)有y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．答案為：y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù)．13．一位運動員投擲鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度為y（米）關于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+x+，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為3米．【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．【解答】解：由題意可得：y＝﹣＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故鉛球運動過程中最高點離地面的距離為：3m．故答案為：3．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，正確利用配方法求出最值是解題關鍵．14．如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為10海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，沿北偏東45°方向航行到達小島C處，此時測得碼頭B在南偏西60°方向，那么碼頭A與小島C的距離是（5+5）海里（結(jié)果保留根號）．【分析】過C作CD⊥BA于D，證△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD，AC＝CD，設CD＝AD＝x海里，則AC＝x海里，再由銳角三角函數(shù)定義得BD＝CD＝x（海里），然后由BD＝AD+AB得x＝x+10，解得：x＝5+5，即可解決問題．【解答】解：過C作CD⊥BA于D，如圖：則∠CDB＝90°，由題意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，AC＝CD，設CD＝AD＝x海里，則AC＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，∴BD＝CD＝x（海里），∵BD＝AD+AB，∴x＝x+10，解得：x＝5+5，∴x＝×（5+5）＝5+5，即AC＝（5+5）海里，故答案為：（5+5）．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．15．如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，設＝，＝，那么可以用，表示為+．【分析】由AB∥CD，即可證得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，即可求得與的關系，利用三角形法則，求得，即可求得．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝＝，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝+．故答案為：+．【點評】此題考查向量的知識與相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應用，還要注意向量是有方向的．16．如圖，某時刻陽光通過窗口AB照射到室內(nèi)，在地面上留下4米寬的“亮區(qū)”DE，光線與地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于2米．【分析】由題意知CE＝2BC，CD＝2AC，進而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到△BCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝，化簡即可求出AB．【解答】解：由題意知tan∠BEC＝＝＝，DE＝4，∴CE＝2BC，CD＝2AC，∴CD＝DE+CE＝4+2BC，∵AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∴＝＝，∴BC+AB＝2+BC，∴AB＝2，故答案為：2．【點評】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．17．我們知道：四個角對應相等，四條邊對應成比例的兩個四邊形是相似四邊形．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝2，E、F分別是邊AB、CD上的點，且EF∥BC，如果四邊AEFD與四邊形EBCF相似，那么的值是．【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出＝，把AD＝1和BC＝2代入求出EF，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出＝，再求出答案即可．【解答】解：∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴＝，∵AD＝1，BC＝2，∴＝，解得：EF＝，∵四邊AEFD與四邊形EBCF相似，∴＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了梯形和相似多邊形的性質(zhì)，能根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式是解此題的關鍵．18．如圖，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是邊DC上一點，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AD′E′，使得點D的對應點D'落在AE上，如果D′E′的延長線恰好經(jīng)過點B，那么DE的長度等于．【分析】如圖，連接BE、BE′，根據(jù)矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再運用面積法可得：AB?AD＝AE?BD′，求出AE＝，再運用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如圖，連接BE、BE′，∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，∴∠D＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，△AD′E′≌△ADE，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延長線恰好經(jīng)過點B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4，∵AB?AD＝AE?BD′，∴AE＝＝＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積等，解題關鍵是運用面積法求得AE．三．解答題（共7小題）19．計算：cot30°﹣．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可．【解答】解：cot30°﹣＝﹣＝﹣（）＝1．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．20．拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（﹣1，0）．（1）求拋物線的表達式及其頂點坐標．（2）填空：如果將該拋物線平移，使它的頂點移到點A的位置，那么其平移的過程是向左平移1個單位，再向下平移1個單位，平移后的拋物線表達式是y＝﹣x2+3．【分析】（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c即可得拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3，配成頂點式即得其頂點坐標；（2）由頂點的位置關系即可得平移過程，根據(jù)平移后頂點坐標即可得表達式．【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的表達式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴拋物線的頂點是（1，4）；（2）∵拋物線的頂點是（1，4），A（0，3），∴將該拋物線平移，使它的頂點移到點A的位置，平移的過程是向左平移1個單位，再向下平移1個單位，∵平移后拋物線形狀、大小不變，∴平移后的拋物線表達式是y＝﹣x2+3，故答案為：向左平移1個單位，再向下平移1個單位，y＝﹣x2+3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識點，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關鍵．21．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，點E是邊CD的中點，聯(lián)結(jié)BE交對角線AC于點F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）【分析】（1）利用三角形法則，平行線分線段成比例定理求解即可．（2）利用平行四邊形法則作出圖形即可．【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，∴CD＝AB，∴＝，∴＝+＝+，∴DE＝EC，CE∥AB，∴＝＝，∴AF＝AC，∴＝（+）＝+．（2）如圖，在、方向上的分向量分別為，．【點評】本題考查平面向量，梯形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是掌握三角形法則，平行四邊形法則，屬于中考常考題型．22．如圖，某種路燈燈柱BC垂直于地面，與燈桿AB相連．已知直線AB與直線BC的夾角是76°，在地面點D處測得點A的仰角是53°，點B仰角是45°，點A與點D之間的距離為3.5米．求：（1）點A到地面的距離；（2）AB的長度．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）【分析】（1）要求點A到地面的距離，所以過點A作AF⊥CD，垂足為F，然后放在直角三角形AFD中即可解答；（2）要求AB的長度，需要把AB放在直角三角形中，所以過點A作AG⊥EC，垂足為G，在Rt△AFD中，求出DF的長，然后設CF為x，用x表示AG，BG的長，再用76°的正切值求出x，最后求出AB即可．【解答】解：（1）過點A作AF⊥CD，垂足為F，在Rt△AFD中，AF＝ADsin53°＝3.5×0.8＝2.8米，答：點A到地面的距離為2.8米；（2）過點A作AG⊥EC，垂足為G，則AF＝GC，AG＝CF，在Rt△AFD中，DF＝ADcos53°＝3.5×0.6＝2.1米，設CF為x米，則CD為（2.1+x）米，在Rt△BCD中，BC＝CDtan45°＝（2.1+x）米，∴GB＝GC﹣BC＝2.8﹣（2.1+x）＝（0.7﹣x）米，在Rt△AGB中，tan76°＝，∴tan76°＝，∴，解得：x≈0.56，∴CF＝AG＝0.56米，∴AB＝＝≈0.6米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用—仰角俯角問題，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．23．如圖，線段BD是△ABC的角平分線，點E、點F分別在線段BD、AC的延長線上，聯(lián)結(jié)AE、BF，且AB?BD＝BC?BE．（1）求證：AD＝AE；（2）如果BF＝DF，求證：AF?CD＝AE?DF．【分析】（1）利用兩邊成比例且夾角相等證明△ABE∽△CBD，得∠BDC＝∠AEB，從而證明∠ADE＝∠E，則AD＝AE；（2）利用三角形外角的性質(zhì)證明∠BAF＝∠FBC，證明△BCF∽△ABF，得，則（AF﹣AD）?DF＝AF?CF，進行化簡即可．【解答】證明：（1）∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABE＝∠CBD，∵AB?BD＝BC?BE，∴，∴△ABE∽△CBD，∴∠BDC＝∠AEB，∵∠BDC＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ADE，∴AD＝AE；（2）∵BF＝DF，∴∠BDF＝∠FBD，∵∠BDF＝∠BAF+∠ABD，∠FBD＝∠DBC+∠CBF，∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠CBF，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAF＝∠FBC，∵∠BFC＝∠AFB，∴△BCF∽△ABF，∴，∴BF2＝AF?CF，∵DF＝BF，∴DF2＝AF?CF，∵DF＝AF﹣AD，∴（AF﹣AD）?DF＝AF?CF，∴AF?DF﹣AD?DF＝AF?CF，∴AF?DF﹣AF?CF＝AD?DF，∴AF?（DF﹣CF）＝AD?DF，∵DF﹣CF＝CD，AD＝AE，∴AF?CD＝AE?DF．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練進行相似三角形的證明是解題的關鍵．24．拋物線y＝ax2+2ax+c與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，3），其頂點D的縱坐標為4．（1）求該拋物線的表達式；（2）求∠ACB的正切值；（3）點F在線段CB的延長線上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的長．【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式：x＝﹣可得對稱軸是：x＝﹣1，得D（﹣1，4），根據(jù)頂點式可設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入可得結(jié)論；（2）如圖1，構建直角三角形，計算AM和CM的長，根據(jù)正切的定義可得結(jié)論；（3）根據(jù)正切相等可得∠ACB＝∠DAB，所以得AC＝AF，根據(jù)兩點的距離公式列方程可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，∴對稱軸是：x＝﹣＝﹣1，∴頂點D的坐標為（﹣1，4），設拋物線的解析式為：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖1，過點A作AM⊥BC于M，當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝3+1＝4，BC＝＝，AC＝3，∵S△ABC＝AB?OC＝BC?AM，∴＝×AM，∴AM＝，由勾股定理得：CM＝＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝2；（3）如圖2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝＝＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∵∠DAB＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC，∴AC＝AF，設BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴BC的解析式為：y＝﹣3x+3，設F（m，﹣3m+3），∴（3）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，解得：m1＝0（舍），m2＝，∴F（，﹣），∴CF＝＝．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查二次函數(shù)的解析式，對稱軸公式，頂點式，三角函數(shù)的定義，兩點的距離，三角形面積等知識，第三問有難度，得出∠AFC＝∠ACB是本題的關鍵．25．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點E是射線CA上的動點，點O是邊B