對一道課本經典習題的再思考

精品文檔-下載后可編輯對一道課本經典習題的再思考原題:(人教版八年級下冊第122頁中第15題)如圖1,四邊形ABCD是正方形,點E是BC的中點,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分線CF于F,求證:AE=EF。

一、證明方法的多種性

證法1:(圖2)取AB中點M,易證BEM為等腰直角三角形,可得∠BME=45°,所以∠AME=∠ECF。又可推得∠MAE=∠CEF,AM=CE,從而AME≌ECF,故AE=EF。

證法2:(圖3)作FNBC于N,易證ABE∽EFN,則=。因為AB=BC,CN=FN,所以=,由合比性質得=,所以BE=CN=FN,則==1,即AE=EF。

證法3:(圖3)因為=,設AB=2a,FN=CN=x,則==,所以2x=a+x,即x=a=FN,所以==1,故AE=EF。

二、動點位置的多樣性

變動1:若將條件“點E是BC的中點”改為“E是BC邊上任意一點”,其他條件不變(如圖4),原結論是否成立?

解析:原結論仍成立,可以用上述證明方法2,也可仿照方法1,在AB邊上取M,使BM=BE,易證BEM為等腰直角三角形,可得∠BME=45°,所以∠AME=∠ECF。又可推得∠MAE=∠CEF,AM=CE,從而AME≌ECF,故AE=EF。

變動2:若將條件“點E是BC的中點”改為“E是BC延長線上任意一點”,其他條件不變(如圖5),原結論是否成立?

解析:嘗試用方法1,發(fā)現(xiàn)找M點的關鍵是構造等腰MBE,故在BA延長線上取點M,使AM=CE(圖6),易證得∠AME=∠ECF,∠DAE=∠AEB,所以∠MAD+∠DAE=∠AEB+AEF,即∠MAE=∠CEF。又因為AM=CE,所以仍然有AME≌ECF,從而AE=EF。

變動3:如果E點在CB延長線上時(如圖7),也可通過類似證明方法得出AE=EF。

三、結論的開放性

1.在原條件下,添加線段AG(如圖8),可以得到下面一些新結論:

(1)AE、GE分別平分∠BAG、∠AGC

(2)G為EF中點

(3)AB+CG=AG

(4)以AG為直徑的圓與BC相切

2.在原條件下,連接AE、AF、DF(如圖9),可以得到下面一些新結論:

(1)DFC是等腰直角三角形

(2)ABE∽ACF

(3)A、E、C、F四點共圓

四、和其他問題的內在聯(lián)系

問題1:如圖10,在直角坐標系中,A(0,1),B是x軸正半軸上任意一點,以AB為邊在第一象限內作正方形,設C(x,y),探究x、y之間滿足怎樣的函數(shù)關系?

分析:觀察上述圖4,由于AE=EF,AEEF,所以F是以AE為邊長的正方形的一頂點,且F在∠BCD外角平分線上,依次類推,可以得到圖11中點C、C均在∠DCH的角平分線上,容易得到x、y滿足函數(shù)關系y=x-1(其中x>1)。

問題2:如圖12,等邊ABC中,E是BC邊上任意一點,作射線EF,使∠AEF=60°,EF交∠ACD角平分線于F,求證:AE=EF。

分析:此問題圖形結構類同圖4的特點,證明方法也如出一轍,在BA上截取BM=BE,再證