廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年度上學(xué)期惠來(lái)一中高一級(jí)期中考數(shù)學(xué)科試題考試范圍：人教A版2019必修第一冊(cè)第一章、第二章、第三章滿分：150時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A．B．C．D．2．已知實(shí)數(shù)x，y，則“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（

）A．和 B．和C．和 D．和4.已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是（）A. B. C. D.5．已知函數(shù)，則的最小值為（

）A．－3 B． C．－2 D．6．已知冪函數(shù)且，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.8．若函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，則稱(chēng)為的一個(gè)“倍倒域區(qū)間”.定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)的“8倍倒域區(qū)間”為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列命題中是假命題的是（）A．函數(shù)的圖象是一條直線 B．是函數(shù)C．函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)D．與是同一個(gè)函數(shù)10.設(shè)，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.ab的最大值為B.的最大值為C.的最小值為9D.的最小值為11．定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)滿足（

）A．B．為奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增D．的解集為12．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若對(duì)任意，存在正數(shù)，都有成立，則稱(chēng)函數(shù)是定義域?yàn)樯系摹坝薪绾瘮?shù)”．已知下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）．其中“有界函數(shù)”是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.用列舉法表示a∈14．不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為15.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對(duì)居民生活用水，實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)算方法如表：若某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元，則此戶居民本月用水量為16．設(shè)矩形的周長(zhǎng)為20，把三角形沿向三角形折疊，折過(guò)去后交于點(diǎn)P（如圖所示），則三角形的面積的最大值為．四、解答題：（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.（本小題共10分）設(shè)全集，集合，集合．（1）若，求與；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（本小題共12分）（1）已知關(guān)于的不等式的解集為，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值；（2）解關(guān)于x的不等式.19.（本小題共12分）已知函數(shù)（1）求的值；（2）請(qǐng)?jiān)诖痤}卡給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出此函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象直接寫(xiě)出函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間；（3）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，的圖象與的圖象相同，試求出函數(shù)在上的解析式．20．（本小題共12分）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的奇偶性并給出證明；(2)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（本小題共12分）某企業(yè)開(kāi)發(fā)、生產(chǎn)了一款新型節(jié)能環(huán)保產(chǎn)品，對(duì)市場(chǎng)需求調(diào)研后，決定提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入90萬(wàn)元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前n年（）的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等共萬(wàn)元，每年的銷(xiāo)售收入為55萬(wàn)元，設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為萬(wàn)元.（1）寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算該設(shè)備從第幾年開(kāi)始使企業(yè)盈利；（2）使用若干年后，對(duì)該設(shè)備的處理方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以10萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以50萬(wàn)元的價(jià)格處理.問(wèn)選擇哪種處理方案更合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（本小題共12分）已知二次函數(shù)的最小值為1，且.求的解析式；若在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023—2024學(xué)年度上學(xué)期惠來(lái)一中高一級(jí)期中考數(shù)學(xué)科參考答案1．C【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得且，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?2．B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，由，有，可得；由，可得，即．則“”是“”的充要條件．3．C【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則判斷是否為同一函數(shù)即可.對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù)；對(duì)于C中，函數(shù)與的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)；對(duì)于D中函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以表示不同的函數(shù).4.【答案】D【解析】由數(shù)軸知，不妨取，對(duì)于A，，不成立.對(duì)于B，，不成立.對(duì)于C，，不成立.對(duì)于D，，因此成立.5.【答案】A【詳解】時(shí)，，∴時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，6．C【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，所?.【答案】C【分析】根據(jù)在上的單調(diào)遞減，可以列出相應(yīng)的不等式方程組，計(jì)算求解即可.【解析】在上單調(diào)遞減，，解得，8.【答案】D【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，設(shè)，由，得，解得，所以在區(qū)間內(nèi)的“8倍倒域區(qū)間”為9.ABD【解析】函數(shù)的圖象是由離散的點(diǎn)（整點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)）組成的，A錯(cuò)，要使與有意義，則，無(wú)解，∴不是函數(shù)，B錯(cuò)；由函數(shù)定義：定義域上任意自變量對(duì)應(yīng)唯一函數(shù)值，定義域外沒(méi)有對(duì)應(yīng)函數(shù)值，故函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)最多有1個(gè)，C對(duì)；=x（x≠0），g（x）=x（x∈R）的定義域不同，不是同一函數(shù)，D錯(cuò)．10.【答案】AC【分析】利用基本不等式證明選項(xiàng)AC正確，D錯(cuò)誤；利用不等式可證明選項(xiàng)B錯(cuò)誤.【解析】因?yàn)椋?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),即最小值，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)且即，時(shí)取等號(hào)，所以選項(xiàng)C正確；，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即最大值，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤11．ABD【詳解】由題意，定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)于A，令，則，即，故A正確；對(duì)于B，令，則，即，所以為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，任取，且，則，因?yàn)?，所以，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得，由C知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以的解集為，故D正確12.【答案】BC【解析】對(duì)于（1）：，由于，所以，，不存在正數(shù)，使得成立，不滿足題意；故不是有界函數(shù)；對(duì)于（2）令，，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，所以，即，，為有界函數(shù)；對(duì)于（3）令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，所以，所以，故函數(shù)為有界函數(shù)；對(duì)于（4）令，，則，即，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值，即，，此時(shí)不存在正數(shù)，都有成立，故該函數(shù)不是有界函數(shù)13.【答案】2,3,4,7【解析】1或2或3或6，解得714．【答案】【解析】由不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，可得即或②k=0,-38<015.【答案】【解析】設(shè)用水量為立方米，水價(jià)為元，則，整理得到：，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；故某戶居民本月交納的水費(fèi)為90元，則用水量大于18立方米，令，則（立方米）16.【答案】【詳解】由題意可設(shè)翻折后B點(diǎn)的位置為,因?yàn)榫匦沃荛L(zhǎng)為20，設(shè)，則，由翻折可知，即有,而,故，,設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，則，，即，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，即三角形的面積的最大值為17.【分析】（1）熟練運(yùn)用集合的運(yùn)算即可；（2）根據(jù)給定條件，轉(zhuǎn)化成集合的真包含關(guān)系，列出不等式求解作答.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，………2分由于………………3分則………………5分（2）由“”是“”的充分不必要條件，得………6分又由于，，【寫(xiě)法一】因此或………9分解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.……10分【寫(xiě)法二】此時(shí)，解得，………8分解得，把代入檢驗(yàn)，此時(shí)，滿足，則滿足題意，…………9分所以實(shí)數(shù)的取值范圍為..……10分【寫(xiě)法三】此時(shí)（等號(hào)不能同時(shí)取到），解得（等號(hào)不能同時(shí)取到）……………9分解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為..……10分注1：第（2）小問(wèn)用【寫(xiě)法二】，沒(méi)檢驗(yàn)，扣1分；注2：第（2）小問(wèn)用【寫(xiě)法三】，沒(méi)說(shuō)等號(hào)不能同時(shí)取到，扣1分.18.【分析】（1）通過(guò)根與系數(shù)的關(guān)系求出，再由二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在上的最小值和最大值；（2）根據(jù)一元二次方程兩根的大小分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.【解析】（1）由題意，的兩個(gè)根為，，則………………1分解得………………3分則，的對(duì)稱(chēng)軸為，則在上單調(diào)遞增，則，………………5分（2）由，得..……………6分①當(dāng)，即時(shí)，則；.……………7分②當(dāng)，即時(shí)，，不等式無(wú)解；.……………9分③當(dāng)，即時(shí)，則..……………11分綜上所述，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為..……………12分注1：第（1）求出對(duì)稱(chēng)軸為，可以給1分；注2：第（2）小問(wèn)分類(lèi)討論，求對(duì)1個(gè)給2分，求對(duì)3個(gè)給6分；注3：第（2）小問(wèn)，綜上所述得1分.19.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式直接代入求值即可；（2）直接利用解析式畫(huà)分段函數(shù)圖象，由圖得函數(shù)的定義域和值域；（3）運(yùn)用奇函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)、代、替換，求出的解析式.【解析】（1）因?yàn)?，所以．……?分（2）由題可作圖如下：………………4分函數(shù)的定義域?yàn)椤?分值域?yàn)椤?分單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，……………7分（3）由題意，當(dāng)時(shí)，…8分當(dāng)時(shí)，則......................9分是上的奇函數(shù)，則......................10分，令，可得.........................11分綜上，函數(shù)的解析式為：...........................12分注1：寫(xiě)成同樣給分；注2：沒(méi)考慮定義域，解析式寫(xiě)成扣1分.20.【分析】（1）利用奇函數(shù)的判斷方法求證；（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可證明；（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再利用（2）中結(jié)論去掉即可求解；特別強(qiáng)調(diào)，去掉時(shí)要注意定義域的范圍.【解析】（1）判斷：是奇函數(shù)，理由如下：由于的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)……………1分……………3分則是奇函數(shù)……………4分（2），且，……5分有，………………7分，，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.……………8分（3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以由，得，………9分又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，………10分解得，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是……………12分注1：能說(shuō)出函數(shù)是奇函數(shù)給1分；注2：定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，改寫(xiě)為，，同樣給1分.21.【解析】（1），……………2分當(dāng)時(shí)，即時(shí)，………………3分解得，……………5分所以設(shè)備從第3年開(kāi)始盈利.……………6分(2)方案一：總盈利額，當(dāng)時(shí)，，……7分所以方案一總利潤(rùn)為萬(wàn)元，此時(shí)………………8分方案二：每年平均利潤(rùn)為…10分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以方案二總利潤(rùn)為，此時(shí)…11分比較兩種方案，獲利都是170萬(wàn)元，但由于第一種方案需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適.………………12分注1：，中漏寫(xiě)只得1分；注2：第（2）小問(wèn)中方案一2分，方案二3分，方案比較1分.注3：對(duì)于運(yùn)用求解第(1)問(wèn)，求解正確同樣給分.22.【解析】（1）【解法一】根據(jù)題意，二次函數(shù)滿足，可得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為……1分因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，可設(shè)，……2分又因?yàn)椋傻?，解得，………?分所以函數(shù)的解析式為.……5分【解法二】設(shè)……1分則，解得…………4分則的解析式為.……5分【解法三】設(shè)……1分則，解得…………4分則的解析式為.……5分（2）解：由函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為，要使得函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則滿足，……………6分解，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為……