四邊形專題講義例題及答案

期末復(fù)習(xí)------四邊形1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法以及面積公式，并能運(yùn)用這些知識進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.名稱平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定義的四邊形是平行四邊形的平行四邊形是矩形的平行四邊形是菱形的平行四邊形是正方形的梯形是等腰梯形性質(zhì)邊角對角線對稱性判定邊角對角線面積*周長2.其它重點(diǎn)知識：〔1〕三角形的中位線定理:______________________________;〔2〕直角三角形斜邊上的中線等于_________________;3.重要思想方法：全等，轉(zhuǎn)化，幾何變換等。4.在研究梯形的問題中，經(jīng)常通過添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為三角形和特殊的平行四邊形(1)平移腰 (2)作高(3)平移一條對角線 (4)延長兩腰(5)假設(shè)一腰中點(diǎn)，作中心對稱(6)底的中點(diǎn)平移兩腰 (7)假設(shè)對角線互相垂直，平移對角線，必出Rt△(8):梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD那么:①過D作DE∥AC交BC的延長線于E，可得出:△BDE是等腰直角三角形；ACDBFE②假設(shè)DF⊥BE于F，可得出ACDBFEbaABCFEMNHD※(9):梯形ABCD，AD∥BC，EF是中位線交對角線于M,N,那么baABCFEMNHD②③知識點(diǎn)1：平行四邊形的定義、性質(zhì)、判定1、如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長，交AB的延長線于F點(diǎn)，．添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形．你認(rèn)為下面四個條件中可選擇的是〔〕A．B． C． D．2、如圖，在□ABCD中，AD＝8㎝，AB＝6㎝，DE平分∠ADC交BC邊于點(diǎn)E，那么BE等于〔〕A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm3、如圖，在□中，于且是一元二次方程的根，那么□的周長為〔〕A．B．C．D．ADCECBABCDE4、如圖，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DCADCECBABCDEEEBAFCD5.在□ABCD中，對角線BD、AC相交于點(diǎn)O，BE＝DF，過點(diǎn)O作線段GH交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，順次連接EH、HF、FG、GE，求證：四邊形EHFG是平行四邊形.6、在□ABCD中，AEBC于E，DF平分ADC交線段AE于F.〔1〕如圖1，假設(shè)AE=AD，ADC=60,直接寫出線段CD與AF+BE之間所滿足的等量關(guān)系;〔2〕如圖2,假設(shè)AE=AD，你在〔1〕中得到的結(jié)論是否仍然成立,假設(shè)成立,對你的結(jié)論加以證明,假設(shè)不成立,請說明理由；圖1圖2知識點(diǎn)2：三角形中位線；1將一張銳角三角形紙片沿中位線剪開，拼成一個新的圖形，這個新的圖形可能是〔〕A．三角形B．平行四邊形C．矩形D．正方形ACDBEO2、如果三角形的兩邊分別為ACDBEOA．4 B．4．5 C．5 D．5．53、如圖，□ABCD的對角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，的周長為16cm，那么的周長是________cm．4、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點(diǎn)，所得圖形一定是〔〕A．矩形B．直角梯形C．菱形D．正方形知識點(diǎn)3：矩形的性質(zhì)、判定1．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是．2、矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，，那么矩形的對角線的長是〔〕A．2 B．4 C． D．mnnn〔2〕〔1〕3、矩形中，對角線、交于點(diǎn)，于假設(shè)那么．mnnn〔2〕〔1〕4、如圖〔1〕，把一個長為、寬為的長方形〔〕沿虛線剪開，拼接成圖〔2〕，成為在一角去掉一個小正方形后的一個大正方形，那么去掉的小正方形的邊長為〔〕EDBC′FCD′AA．B．EDBC′FCD′A5、如下圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置．假設(shè)∠EFB＝65°，那么∠AED′等于〔〕A′GDBCA〔A〕70° 〔B〕65°〔CA′GDBCA6、如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，那么AG的長為〔〕A．1B．C．D．27、如圖，矩形中，過對角線交點(diǎn)作交于那么的長是〔〕A．1．6 B．2．5C．3 D．8、將矩形紙片ABCD按如下圖的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的C1處，并且點(diǎn)B落在EC1邊上的B1處．那么BC的長為．9．假設(shè)將4根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形形狀，并使面積為矩形面積的一半，那么這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角是______度.10．如果用4個相同的長為3寬為1的長方形，拼成一個大的長方形，那么這個大的長方形的周長可以是_____________．11．如下圖，在矩形中，兩條對角線相交于點(diǎn)．以、為鄰邊作第1個平行四邊形，對角線相交于點(diǎn)；再以、為鄰邊作第2個平行四邊形，對角線相交于點(diǎn)；再以、為鄰邊作第3個平行四邊形……依次類推．假設(shè)矩形的面積為S，那么第n個平行四邊形的面積為．ABCDEF12、如圖，△ABC中，AB=AC，AD、AE分別是∠BAC和∠BACABCDEF〔1〕求證：DA⊥AE；〔2〕試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結(jié)論．13如圖，在矩形ABCD中，BC=16厘米，DC=12厘米，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，在線段DA上以每秒2厘米的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1厘米的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t〔秒〕.(1)設(shè)ΔBPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式〔不要求寫自變量的取值范圍〕；(2)如果PQ運(yùn)動到某一時刻剛好經(jīng)過BD中點(diǎn)，求此時t的值；(3)如果PQ運(yùn)動到某一時刻剛好PQ=BQ，求此時t的值.BACD知識點(diǎn)BACD1、如圖，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=

120°，那么對角線AC等于〔〕A．20 B．15 C．10D．52、菱形的邊長和一條對角線的長均為，那么菱形的面積為〔〕A．B．C．D．3、在菱形ABCD中，，AD的垂直平分線交對角線BD于點(diǎn)P，垂足為E，連接CP，那么________度．4、為了得到一個銳角為60的菱形，剪口與折痕所成的角的度數(shù)應(yīng)為〔〕A．15或30B．30或45C．45或60D．30或5、如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊局部是一個菱形，C1D1C1D1D2C2DCAB6.如圖，邊長為1的菱形中，．連結(jié)對角線，以為邊作第二個菱形，使；連結(jié)，再以為邊作第三個菱形，使；……，按此規(guī)律寫出所作的第三個菱形的邊長為______，第個菱形的邊長為_____7、：如圖，四邊形ABCD是菱形，過AB的中點(diǎn)E作AC的垂線EF，交AD于點(diǎn)M，交CD的延長線于點(diǎn)F．〔1〕求證：AM=DM；〔2〕假設(shè)DF=2，求菱形ABCD的周長．8．點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C向終點(diǎn)C運(yùn)動，連接DM交AC于點(diǎn)N．〔1〕圖16－1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時，連接BN．①求證：；②假設(shè)∠ABC=60°，AM=4，求點(diǎn)M到AD的距離；〔2〕如圖16－2，假設(shè)∠ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動所經(jīng)過的路程為x〔6≤x≤12〕．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．CBCBMAND〔圖16-1〕CMBNAD〔圖16-2〕知識點(diǎn)5、正方形的性質(zhì)和判定1、菱形的對角線相交于點(diǎn)請你添加一個條件：，使得該菱形為正方形．BCEADF2、如圖，正方形紙片ABCD的邊長為1，M、N分別是AD、BC邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過點(diǎn)B的直線折疊，使A落在MN上，落點(diǎn)記為A′，折痕交AD于點(diǎn)E，假設(shè)M、N分別是AD、BC邊的中點(diǎn)，那么A′N=;假設(shè)M、N分別是AD、BC邊的上距DC最近的n等分點(diǎn)〔，且n為整數(shù)〕，那么A′NBCEADF3、假設(shè)正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F，且BF＝AE，那么BM的長為．4、如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接BF、DE，那么圖中陰影局部的面積是cm25、如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點(diǎn)〔P與A、C不重合〕，點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.〔1〕求證：①PE=PD；②PE⊥PD；ABCPDE〔2〕設(shè)AP=x,△PBE的面積為y.求出yABCPDE6.在正方形ABCD中，對角線AC、DB交于點(diǎn)O，E是CD邊上一點(diǎn)，AE與對角線DB交于點(diǎn)M，連接CM．〔1〕如圖，點(diǎn)F是線段CB上一點(diǎn)，AF與DB交于點(diǎn)N，連接CN．假設(shè)∠CME=30°，∠CNF=50°．求:∠EAF的度數(shù)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)F’是CB延長線上一點(diǎn)，AF’與DB的延長線交于點(diǎn)N’，連接CN’．如果∠CME=，∠CN’F’=，請用含有、的代數(shù)式表示∠EAF’的度數(shù):________．〔只需填寫結(jié)論〕知識點(diǎn)6、梯形的性質(zhì)和判定1、梯形中，，，，，，那么的長為〔〕A．2B．3 C．4 D．52、直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動，那么當(dāng)PA+PD取最小值時，△APD的邊AP上的高為〔〕ADCBEA、B、C、D、ADCBE3、如圖，梯形的兩條對角線交于點(diǎn)，圖中面積相等的三角形共有對．4、在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，AD=CD=6，那么AB的長度為〔〕A．9 B．12 C．18 D．5、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3cm，AB＝4cm，∠B＝60°，那么下底BC的長為6、如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，以下四個結(jié)論：①，②OA=OD，③，④S=S，其中正確的選項(xiàng)是A．①②B．①④C．②③④D．①②④7、如圖，在等腰梯形ABCD中，，對角線于點(diǎn)O，，DCABEFO垂足分別為E、F，設(shè)AD=a，DCABEFOA．B．C．D．8、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60o．DCAB(1)求證：ABDCAB(2)假設(shè)DC＝6，求梯形ABCD的面積．9、如圖，在直角梯形紙片中，，，，將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．連接并展開紙片．〔1〕求證：四邊形是正方形；ECBDAGF〔2〕取線段的中點(diǎn)，連接ECBDAGF試說明四邊形是等腰梯形．知識點(diǎn)7、操作問題1如圖：△ABC中，AC﹤AB﹤BC.在圖中作出一條直線l，使得直線l分別與AB,BC邊交于點(diǎn)M.N，并且沿直線l將△ABC剪開可拼成一個等腰梯形，請畫出直線l及拼接后的等腰梯形，并簡要說明你的剪拼方法2.根據(jù)題意作出圖形，并答復(fù)相關(guān)問題：〔1〕請在右面網(wǎng)格中設(shè)計一個圖案〔圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形〕，要求所設(shè)計的圖案既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并且圖案的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積等于.請將你所設(shè)計的圖案用鉛筆涂黑.〔2〕在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90，D是BC邊上的中點(diǎn)，E是AB邊上一動點(diǎn)，作出使EC+ED的值最小的點(diǎn)E.(不寫作法，保存作圖痕跡)，此時EC+ED的最小值是________3.在勞技課上，老師請同學(xué)們在一張長為9cm，寬為8cm的長方形紙板上，剪下一個腰長為5cm的等腰三角形〔要求等腰三角形的一個頂點(diǎn)與長方形的一個頂點(diǎn)重合，其余兩個頂點(diǎn)在長方形的邊長上〕．請你幫助同學(xué)們畫出圖形并計算出剪下的等腰三角形的面積．〔求出所有可能的情況〕知識點(diǎn)8幾何綜合1．我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．〔1〕請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；〔2〕如圖，在中，點(diǎn)分別在上，設(shè)相交于點(diǎn)，假設(shè)，．請你寫出圖中一個與相等的角，并猜測圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；〔3〕在中，如果是不等于的銳角，點(diǎn)分別在上，且．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結(jié)論．2．：如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為〔6，0〕，〔0，2〕．點(diǎn)D是線段BC上的一個動點(diǎn)〔點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合〕，過點(diǎn)D作直線＝－＋交折線O－A－B于點(diǎn)E．〔1〕在點(diǎn)D運(yùn)動的過程中，假設(shè)△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；〔2〕如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，矩形OABC關(guān)于直線DE對稱的圖形為矩形O′A′B′C′，C′B′分別交CB，OA于點(diǎn)D，M，O′A′分別交CB，OA于點(diǎn)N，E．探究四邊形DMEN各邊之間的數(shù)量關(guān)系，并對你的結(jié)論加以證明；〔3〕問題〔2〕中的四邊形DMEN中，ME的長為____________．圖1解：〔1〕圖1圖圖2〔2〕圖13．探究圖1問題1：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．假設(shè)DE=DF，那么的值為_____．拓展問題2：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC=∠MBC，過點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，圖2垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．圖2求證：DE=DF．證明：推廣問題3如圖3，假設(shè)將上面問題2中的條件“CB=CA〞變?yōu)椤癈B≠CA〞，其他條件不變，試探究圖3DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖3解：知識點(diǎn)8答案1．解：〔1〕∵矩形OABC中，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)C，那么；假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)A，那么；假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)B，那么．圖6=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，即時，〔如圖6〕圖6∵點(diǎn)E在直線上，當(dāng)時，，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴．圖7=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時，即時，〔如圖7〕圖7∵點(diǎn)D，E在直線上，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴圖8．圖8綜上可得：〔2〕DM=ME=EN=ND．證明：如圖8．∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形，∴CB∥OA，C′B′∥O′A′，即DN∥ME，DM∥NE．∴四邊形DMEN是平行四邊形，且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC關(guān)于直線DE對稱的圖形為矩形O′A′B′C′，∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四邊形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND．〔3〕答：