巧用幾何直觀助力數(shù)學理解

【摘

要】小學生的思維以具體形象思維為主，理解抽象的數(shù)學知識經(jīng)常需要借助直觀的感性材料，在具體的學習情境中進行有效的數(shù)學學習探究。幾何直觀是一種重要的數(shù)學素養(yǎng)，其突出優(yōu)勢是化抽象為形象，展現(xiàn)問題的本質，搭建溝通感性與理性的橋梁，降低學習難度，從而促進學生的數(shù)學理解與問題解決，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)?；趲缀沃庇^在小學數(shù)學教學中的重要地位，本文旨在從以下三個方面闡述幾何直觀在數(shù)學教學中的運用探究，希望對實際教學有所幫助?！娟P鍵詞】小學數(shù)學；幾何直觀；數(shù)學理解；問題解決《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）指出，幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑。對學生而言，幾何直觀是一種有效的學習方法，在數(shù)學學習過程中發(fā)揮著重要的作用；對教師而言，幾何直觀是一種有效的教學手段，是落實培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的有效舉措。一、借助幾何直觀，驗證數(shù)學猜想猜想是不知其真假的數(shù)學敘述，也是學生喜愛的一種學習方式。它可以激發(fā)學生的學習熱情，引發(fā)驗證、求知的心理需要。涉及“圖形與幾何”相關知識的猜想，教師經(jīng)常會引導學生通過畫一畫、剪一剪、拼一拼等多種形式的數(shù)學活動，充分調動學生的手、腦、眼多個器官的協(xié)調配合，經(jīng)歷“做”數(shù)學的學習過程，利用幾何圖形的形象直觀，用圖形說話，驗證數(shù)學猜想，從而豐富學生腦中的圖形表象，提升對圖形的認識，發(fā)展空間觀念，為后續(xù)學習做好知識鋪墊。例如，教學“圓柱的側面展開圖”時，教師請學生猜一猜：圓柱的側面展開可能是什么圖形？“長方形”“正方形”“不規(guī)則圖形”“梯形”……教師對于學生的多種猜想，并不急于進行評判，而是鼓勵學生動手剪一剪帶來的圓柱側面學具，驗證自己的想法是否正確，再和小組成員交流。師：你是怎么剪開圓柱側面的，圓柱側面展開是一個什么圖形？你的猜想是對的嗎？生1：我是沿著圓柱的一條高剪的，圓柱的側面展開是一個長方形，長方形的長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高，和我原來想的一樣。生2：我也是沿著圓柱的高剪的，但是我得到的是一個正方形。我發(fā)現(xiàn)這個圓柱的底面周長和高相等。師：還有不同的剪法嗎？生3：如果沿著斜線剪開，圓柱側面展開是一個平行四邊形。生4：我也是這么剪的。而且我還發(fā)現(xiàn)了，平行四邊形的底等于圓柱的底面周長，高等于圓柱的高。生5：我得到的是不規(guī)則圖形，我是任意彎彎曲曲剪的。師：同學們的想法、做法都非常棒！可是為什么你們都沒提到梯形呢？生6：因為“只有一組對邊平行的四邊形叫作梯形”。我是這么想的，不管怎么剪，圓柱的側面展開都不可能是梯形。就算得到的是一個不規(guī)則圖形，我們也可以再通過剪、移、拼的方法，把不規(guī)則圖形轉化成長方形。師（豎起大拇指）：大家聽明白了嗎？想不想驗證他的猜想對不對呢？一石激起千層浪，學生的學習激情被再次點燃，大家又興致勃勃地動手剪了起來，再次開啟數(shù)學學習之旅。又如，教學“三角形的內角和”時，由于學生在平時使用三角尺的操作實踐中，經(jīng)歷量角的過程，認識到特殊的直角三角形的內角和是180°。因此，學生會基于已有的知識經(jīng)驗進行合理、有根據(jù)的數(shù)學猜想：三角形的內角和是180°。教師肯定學生的想法后，提出問題：“那你要用什么方法驗證任意三角形的內角和是180°呢？”“三角形的個數(shù)是無限的，需要驗證哪些三角形的內角和，才能代表所有三角形的內角和呢？”學生已經(jīng)學習了三角形的分類，一致達成共識，選取銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形進行分工操作探究。剛開始，多數(shù)學生用量一量、算一算的方法，發(fā)現(xiàn)得出的數(shù)據(jù)有時會存在偏差，比180°大些或小些，意識到用度量的方法驗證，得到的結果不統(tǒng)一。這時，教師啟發(fā)學生：“180°是什么角？能不能找到比度量更精確的驗證方法呢？”問題驅動思考，直觀的學習材料豐富了學生的想象空間，為學生提供了不同的思維路徑。有的學生分別撕或剪下三角形的三個內角，拼成平角；有的學生通過折一折，把三角形的三個內角拼成平角。學生在動手操作、直觀體驗、交流表達的活動中，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗，自主探索數(shù)學規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程，感受成功的喜悅和學習的快樂，增強了學習自信心。二、依托幾何直觀，感悟數(shù)學思想隱性的數(shù)學思想方法蘊涵于數(shù)學知識體系中，數(shù)學思想方法是形成學生良好認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。依托幾何直觀，可以讓無形的數(shù)學思想“顯形”，變得具體化、生動化、形象化，激發(fā)學生的學習熱情，促進學生的主動理解，自覺建構新知體系。在教學“植樹問題”時，出示：同學們在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？學生通過畫線段圖、列式計算，自主探索植樹問題的三種情況：兩端都栽，棵數(shù)=間隔數(shù)＋1；兩端都不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)-1；只栽一端，棵數(shù)=間隔數(shù)。但課后練習的反饋情況暴露出學生并未能真正理解“植樹問題模型”，無法正確運用“間隔數(shù)加1”“間隔數(shù)減1”“棵數(shù)等于間隔數(shù)”解決實際問題。究其原因是課堂上教師關注了學生的活動體驗，卻忽視了結合直觀引導學生理解“都是求棵數(shù)，為什么要加1，減1或不加不減的數(shù)學本質”。所以，教師在教學過程中要引導學生觀察直觀圖（如圖1～3），充分借助直觀圖上的點（樹）和段（間隔），采用手指比劃、畫箭號等直觀學習方法，建立棵數(shù)與間隔數(shù)之間的一一對應關系，理清知識間的內在聯(lián)系，促進學生對知識的本質理解，建構清晰完整的數(shù)學模型，進而能綜合運用所學知識靈活、正確地解決問題。教學“平行與垂直”，讓學生展開想象：把一張紙想象成一個無限大的平面，然后把想象的兩條直線的位置關系畫在紙上。教師收集代表性作品，標上序號?！澳銈兡芙o這些直線進行分類嗎？”學生通過觀察，進行第一次分類，直觀地根據(jù)“兩條直線表面有無交叉”分成兩類。“直線有什么特點呢？”“直線沒有端點，可以向兩端無限延長?！痹诮處煹膯l(fā)下，學生通過畫延長線，發(fā)現(xiàn)有些沒有交叉的兩條直線，畫延長線后可以相交于一點；而有一些是無論怎么延長都不會相交，經(jīng)歷第二次分類：同一平面內，兩條直線的位置關系存在“相交和不相交”兩種情況。教師順勢引導學生學習“平行”的概念。緊接著教師又問：“這些相交的直線還可以進行分類嗎？”學生通過議一議、量一量，進行第三次分類發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交的角，可以分為直角和不是直角兩類。此時進行“互相垂直”概念的學習水到渠成。借助直觀材料的感性支撐，學生經(jīng)歷“剝筍式”的分類學習探究過程，不僅理清了同一平面內兩條直線的位置關系，逐步抽象出數(shù)學概念，還學會了運用分類的數(shù)學思想發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題。三、活用幾何直觀，解析數(shù)量關系徐利治先生指出：“幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系，產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知?！辫b于小學生的心理認知和思維水平，純文字呈現(xiàn)的問題，對他們而言，有時顯得抽象難懂，很難憑文字信息直接理解數(shù)量關系，不知從何入手思考問題，思路不清，解題不暢。如何突破這一“瓶頸”呢？在解決問題的過程中，教師應培養(yǎng)學生在理解題意的基礎上，養(yǎng)成自覺畫圖、分析思考的學習習慣，借助圖形理解數(shù)量關系，把復雜的數(shù)學問題簡單化，勾連已知和未知之間的通道，尋求解決問題的突破口，探索解決問題的思路，提高學生的數(shù)學思維水平。例如，教學“行程問題”：甲、乙兩車同時從A、B兩地相對開出，甲、乙兩車速度比為7∶5，在距中點12千米處相遇。A、B兩地相距多少千米？學生根據(jù)文字信息，抓住關鍵句，理解題意：甲車速度比乙車快，它們相向而行，相遇時，甲車行的路程比全程的一半多12千米，而乙車行的路程比全程的一半少12千米。行駛時間相同，兩車的速度比是7∶5，那么路程比也是7∶5，全程12份。接著畫線段圖（如圖4），把抽象的數(shù)量關系轉化為具體形象的圖形表征，“看圖說話”，幫助理解，問題也就迎刃而解了。方法1：從線段圖直觀理解甲車行的路程是全程的７/12，超過中點12千米，12千米對應的是全程的（７/12-1/2），A、B兩地相距：12÷（７/12-1/2）。方法2：從線段圖也可直觀理解乙車行的路程是全程的5/12，還要再行12千米才能到達中點，12千米對應的是全程的（1/2-5/12），A、B兩地相距：12÷（1/2-5/12）。但有的學生錯誤地理解，認為甲車比乙車多行的路程是12千米，列出錯誤的算式：12÷（7-5）×（7+5）。如何讓學生形象理解“甲車比乙車多行的路程是2個12千米呢？”教師運用教學智慧，另辟蹊徑，畫出線段圖（如圖5），啟發(fā)學生換角度思考問題：假設甲、乙兩車是同向而行。教師借助線段圖進行分析講解，學生不難理解“甲車行的路程是7份，乙車行的是5份，甲車和乙車的路程差是2個12千米，即24千米?！彪S即列出正確的算式：12×2÷（7-5）×（7+5）。還有的學生受到線段圖的直觀啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)一份路程是12千米，全程是12份，A、B兩地相距：12×12=14