數學讀書報告

數學建模讀書報告------讀《數學中的美》（吳振奎、吳旻著）五月中旬我閱讀了吳振奎、吳旻兩位先生所著的《數學中的美》一書，書中從簡潔、和諧、奇異三個方面記述了數學的各個分支中的美。書中包含了從初等數學到高等數學的各方面知識。此書從哲學范疇出發(fā)，配以數學實例去解釋數學潛在規(guī)律，探索運用美學原理指導數學創(chuàng)造、發(fā)現的途徑，這對數學的教、學、研究均有裨益；另外，通過數學美學的研究，也就是對美學乃至哲學自身的一種豐富。此書中的數學思路新穎獨特，讀了之后對我的思維拓展極有裨益。其中很多內容對學習數學建模，領悟數學思想很有幫助?，F錄讀書筆記如下，作為《數學建?！氛n程的結業(yè)作業(yè)。引言數學，如果正確的看，不但擁有真理，而且也具有至高的美。------羅素最有益的即是最美的------蘇格拉底數學能促進人們對美的特性：數值、比例、秩序等的認識。------亞里士多德人們對美認識的幾種模式：美是絕對觀念在具體事物和現象中的表現或體現；美是有意向的，從主觀上認識事物的結果；美是生活的本質同作為美的尺度的人相比，或者同他的事跡需要、同他的理想和關于美好生活觀念相比較的結果；美是自然現象的自然屬性.美的基本類別(客觀來源)有二:自然美和社會美.美的社會形態(tài)也有二:藝術美和科學美(更確切的是科技美).藝術美是藝術家通過藝術形象再現生活中的美;科學美主要指理論美,其內涵是指結構美和公式美.黃金分割的問題::五角星里建筑業(yè)人體的黃金比例,人的肚臍是人體長的黃金分割點,而膝蓋是人體肚臍以下部分的黃金分割點葉子在莖上的排布是呈螺旋狀的,相鄰的兩片在與莖垂直的平面上的投影夾角是137度28分.猶太民族是個善于經營和智慧的民族,他們的經濟學家巴特萊(Pateler)在總結事物祝辭時提出:正方形內切圓面積與正方形除去其內切圓后剩下的部分(四個角)面積比為78:22稱為宇宙大法則.空氣中的氮與氧之比為78:22:人的十個指頭中利用率最高的只有兩個:拇指與食指。人身體成分中水分與其它物質的比為78:22.任何特定的群體中,重要的因子通常只占少數,而不重要的因子則往往占少數.曾有人問科學大師愛因斯坦(A.Einstein):何謂世界第八奇跡?愛因斯坦答道:符合成長.這個概念在經濟活動中體現為”72法則”.在衡量收益公式中常數72是一個奇妙的數字:資本增加一倍的年數=72÷預期投資報酬率或投資報酬率=72÷資本增加一年所需年數.美女的數量化標準:眼睛的寬度占眼睛所在面部位置的3/10;下巴長度占臉長的1/5;從眼珠到眼眉的距離是臉長的1/10;從正面端詳,眼珠豎長占臉長的1/14;鼻部面積占臉整個面積的5%以下;嘴站嘴所在臉部寬度的50%.數學美的特征是什么?概括起來講有簡潔性、和諧性和奇異性.具體地有:簡潔性:符號美,抽象美,統一美;和諧美:和諧美,對稱美,形式美;奇異美:奇異美,有限美,神秘美(朦朧美),常數每.數學的簡潔性數學簡化了思維過程并使之更可靠.------弗賴伊(T.C.Fry)算學中所謂美的問題,是指一個難以解決的問題;而所謂美的解答,這是指對于困難和復雜問題的簡單回答.------狄德羅宇宙之大、粒子之微、火箭之速、畫工之巧、地球質變、生物之謎。日用之繁、……無不可用數學表述.------華羅庚數學是上帝用來書寫宇宙的文字.------伽利略數學中人們對于簡潔的追求是永無止境的:建立公理體系人們試圖找出最少的幾條(摒棄任何多余的贅物);命題的證明人們力求嚴謹、簡練(因而人們對某些命題證明不斷地在改進);計算方法盡量便捷、明快(因而人們不斷地在探索計算方法的創(chuàng)新);……數學拒絕繁冗.數學的簡潔性在人們生活中屢見不鮮:錢幣種類只須有一分、貳分、伍分、一角、二角、五角、醫(yī)院、二元、五元、十元、……，就可以簡單的致富任何數目的款項.符號美數學也是一種語言,且是現存的結構與內容的結構與內容方面最完美的語言.……可以說,自然用這個語言講話;造世主已用它說過話,而世界的保護者繼續(xù)用它講話.------C·戴爾曼古代數學的漫長歷程、今日數學的飛速發(fā)展；17世紀、18世紀歐洲數學的興起、我國近千年數學發(fā)展的緩慢，這些在某種程度上也都歸咎于數學符號的運用得是否得當，簡練、方便的數學符號對于書寫、運算、推理來講，都是何等方便!我們還指出一點:數學符號的產生也對數學發(fā)展的背景有著致密的聯系,同一概念開始往往運用不同的符號表示,人們在使用過程中不斷對其進行鑒別已確定優(yōu)勢(實用性、方便性、簡潔性等)------這里面也蘊含一個審美的過程.著名的”六人相識問題”(拉姆塞(Ramsey)定理的特征):任何6個人中必可從中找出3人,使得他們要么彼此都相識,要么彼此都不相識.抽象美就其本質而言,數學使抽象的;世紀上他的抽象比邏輯的抽象更高一階.------G.Chrystal自然幾乎不可能不對數學推理的美抱有偏愛.------C.N.楊數學雖不是研究現實事物的質,但任意事物必有量和形,,這樣兩種事物如有相同的量和形,便可用相同的數學方法,因而數學必然也必須抽象.物理、化學、工程乃至許多科學技術領域中的基本原理,都是用數學語言表達的.萬有引力的思想、歷史上早就有之，但只有當牛頓用精確的數學公式表達時，才成為科學中最重要、最著名的萬有引力定律.愛因斯坦的廣義相對論的產生與表達,也得益于黎曼(Rimann)幾何所提供的數學框架和手段.抽象的兩種含義:我們不容易想到(或意想不到)的;我們無法體驗到(或與現實脫節(jié))的.十七世紀，德國傳教士鮑威特（J.Bouvet）從中國將《易經》和兩幅術士們繪制的“易圖”，帶給了德國大數學家萊布尼茨，引起了萊布尼茨極大的興趣.從而發(fā)明了二進制.1924年巴拿赫(S.Banach)和塔斯基(A.Tarski)證明了:三維空間中任何兩個幾何體(從集合論的觀點看)都組成相等(Banach—Tarski悖論).數學的抽象美害在于它可以無矛盾的按照嚴格數學推理,得到一些我們無論如何也無法想象的,或者是在現實空間認為是不可能的事實.3、統一美天得一以清,地得一以寧,萬物得一以生.------古代道家語數學科學史統一的一體,其組織的活力依賴于其各部分之間的聯系.------D.西爾伯特世界的統一在于它的物質性.宇宙的統一性表現在為宇宙的統一美.因而能解釋宇宙統一的理論,即被認為是美的科學理論.比大格拉斯認為宇宙統一于”數”;狄摩克利特(Demokritos)認為宇宙統一于原子;柏拉圖(Plato)認為宇宙統一于理念世界;中國古人認為宇宙通過陰陽五行,統一于太一;笛卡爾認為宇宙統一于以太……統一也是數學內涵的一個特征,古往今來人們一直都在探索它,并試圖找到統一它們的辦法.笛卡爾通過解析幾何(即坐標方法)把幾何學、代數學、邏輯學統一起來；高斯從曲率的觀點把歐幾里得幾何、羅巴契夫斯基幾何和黎曼（G.F.B.Riemann）幾何統一起來了；克萊因（C.F.Klein）用變換群的觀點統一了19世紀發(fā)展起來的各種幾何學（該理論認為：不同的幾何只不過是在相應的變換群下的一種不變量）；拓撲學在分析學、代數學、幾何學中的滲透,特別是在微分幾何種種空間,產生了所謂拓撲空間的統一流形;統一也是數學家們永遠追求的目標之一.數學中的聯系絕非是一種巧合,而這恰恰反映了數學的本質.布爾巴基(這是一大批優(yōu)秀數學家組成的一個數學團體)的《數學原理》是迄今為止的全部數學,且使之趨于統一的大膽、優(yōu)秀嘗試.布爾巴基抽象出三種最基本的結構模型:代數結構:可以通過合成規(guī)則定義,反映集合中元素間的運算關系;序結構:由次序先后關系形成的結構;拓撲結構:給空間提供一個抽象的數字表示,反映集合各元素間親疏關系.數學需要統一,而統一由歷來為數學家們夢寐以求（對于其他學科也是如此）.

數學中的巧合很多:比如e與π這兩個看上去似乎風馬牛不相及的常數（超越數）的表達式中,有很多令人不解的數字現象位數12345…13…1718…21…34…π31415…9…23…6…2…e27182…9…23…6…2….e和π的十進制小數中,平均每個十位,發(fā)現一次重合.另外π中會出現27132,而e中又會有31415等數字排列.圓錐曲線與物理或航天學中的三個宇宙速度問題有關:當物體運動分別達到該速度時,它們的軌跡便是相應的原準曲線(大自然同大數學家一樣,總是以通等重要性把理論與應用統一起來):速度第一宇宙速度第二宇宙速度第三宇宙速度軌道橢圓拋物線雙曲線我們還知道:三種幾何學(歐幾里得幾何、羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何)可以在高斯曲率的觀點下統一成一種幾何的三種不同情形.幾何體系平行公理三角形內角和空間類型曲率k歐幾里得幾何過直線外一點最多可作一條直線與已知直線平行=180度平面=0羅巴切布斯基幾何過直線外一點至少可以做兩條直線與已知直線不相交<180度雙曲線<0黎曼幾何任何兩條直線有唯一交點>180度橢圓>0數學美的和諧所謂＂數學的和諧＂不僅是宇宙的特點,原子的特點,也是生命的特點,人的特點.------高爾基數學構造了人類智慧的最壯麗的紀念碑。------T.Thomson宇宙概念常常在哲學家腦子里被表現為和諧------因為宇宙是和諧的.藝術的和諧人們可以”感覺到”,數學以致科學的和諧人們同樣可以”感覺”,有時甚至是直覺.和諧美我指的是本質的美,它來自自然各部分的和諧的秩序,并且純智力都能夠領悟它.------龐加萊數學的許多”藝術形式”是由精致的、”無噪聲的”結果所組成的.------R.W.哈明美是和諧的.和諧性也是數學美的特征之一.和諧即雅致、嚴謹或形式結構的無矛盾性.德國數學家康托爾創(chuàng)立了”集合論”,這是現代數學的基礎,也是現代數學誕生的標志.1902年,英國數理邏輯學家羅素在《數學原理》中提出一個足以說明”集合論本身是自相矛盾的”例子------羅素悖論:試把集合分成兩類:自己為自己元素者為甲類;自己不是自己元素者為乙類.這樣,一個集合要么屬于甲,要么屬于乙,二者必居其一,且僅居其一.試問:乙類集合的全體屬于哪一類?若乙屬于甲,,由甲的定義則有乙屬于乙,這和乙屬于甲矛盾;若乙屬于乙,則仍以甲的定義應該有乙屬于甲也矛盾.由于哲學觀點不同,由此便產生了數學的幾大派:邏輯主義學派(代表者羅素、懷德海等)；直覺主義學派(代表人物科羅內可(L.Kronecker)等);形式主義學派(代表人物希爾伯特等).人們意識到:如果說化學、物理學與生物學的結合,打開了生物學的大門的話,那么數學與物理學的結合將揭開微宏觀世界的奧秘.對稱美對稱是一個廣闊的主題,在藝術和自然兩方面都意義重大.數學則是他的根本.------H.Weyl雖然數學沒有明顯地提到善和美,但善和美也不能和數學完全分離.因為美德主要形式就是秩序、勻稱和確定性,這些正是數學所研究的原則.------亞里士多德自古以來,人們就已經討論”對稱原理”之一------左和右之間的對稱.物理學定律一直顯示左右之間完全對稱.這種對稱在"量子力學”中可以形成一種守恒定律,即宇稱守恒,他和左右對稱原理完全相同.英美幾位物理學家日前提出的關于宇宙起源的新學說一鳴驚人:在五維空間按中存在我們的宇宙和另外一個”隱藏’的宇宙(對稱的宇宙).新理論是由美國普林斯頓大學、賓夕法尼亞大學和英國劍橋大學的物理學家們共同提出的.它們認為,我們宇宙和一個隱藏的宇宙共同鑲嵌在五維空間中.在我們的宇宙早期,這兩個宇宙發(fā)生了一次相撞事故,相撞產生的能量生成了我們宇宙中的物質和能量.形式美只有音樂堪與數學媲美.------A.H.懷德海在形式數學中,每一步驟或為允許的,或為不正確的.------J.W.圖恩畢達哥拉斯學派及其崇拜者還研究了多角數的美妙性質,比如他們發(fā)現:每個死角數是兩個相繼三角數之和;第n-1個三角數與第n個k角數之和為第n個k+1角數;………………17世紀初,法國業(yè)余數學家費馬在研究多角性質是提出猜想:每個正整數均可至多用三個三角數和、四個四角數和、……、k個k角數和表示.我們再來看看”幻方大王”弗里安遜(Frianson)制作的九階幻方,堪稱一絕:其性質:虛線框出的帶圓圈的25個數字,恰好構成一個五階幻方(幻和值為205);虛線框中沒有圓圈上的數字恰好構成一個四階幻方(幻和值為164);425868641844345026654451177782610126795321696346205273523313967556073655749413325179222715435159477530623619136129376707256457137281680324838748118142440虛線框內數字(包括邊界上的數字)全為奇數;框外數字全部為偶數;幻方中奇數的末位數字與水平軸線對稱;偶數的末位數字業(yè)余水平軸線對稱.數學美的奇異性美在于奇特而令人驚異.------培根邏輯是貧乏的,而數學是最多產的母親.------Anonymous奇異性是數學美的一個重要特性.奇異性包括兩個方面內容:一是奇妙,二是變異.數學中不少結論巧妙無比,令人贊嘆,正是因為這一點數學才有無窮的魅力.奇異美在繪畫與數學中,美又客觀標準.畫家講究結構、線條、造型、肌理,而數學家則講究真實、正確、新奇、普遍、……------哈爾摩斯審美趣味和數學趣味是一致或相同.------貝爾數學中有許多變異現象,它們往往與人們預期的結果相反(有些則是人們沒有認清而作出的錯誤判斷,有些則是有悖于通常認識的結論),令人失望之余,也給了人們探索它們的動力(這是人類與生俱來的沖動所致).年輕的挪威數學家阿貝爾(N.H.Abel)證明了:一般五次和五次以上代數方程的結不能用公式給出.有限美十進制技術的發(fā)明恐怕是科學史上最重要的成就.------H.Lebesque科學需要一種能夠簡練地、合乎邏輯地表達的語言，這種語言便是數學……------阿爾芬自然的終極秘密是用一種我們還不能閱讀的語言書寫，數學為這種原文提供了注釋。------O.G.Sutton世界是無限的,宇宙是無限的,數學血液是無限的.唯一性在數學上有時是很重要的.比如整數的質因數分解,為了保證分解時的唯一性,人們不得不犧牲1這個按照定義原本屬于質數的數,結果是:1既不是質數,也不是合數.這樣一來,便保證了整數的質因數分解或表成質因數乘積時唯一.神秘每(朦朧美)數學和詩歌都具有永恒的性質.------R.D.Carmichael哪里有數,哪里就有美.------Proclus數學關注抽象,卻閉口不談時空宇宙.------O.G.Sutton數學中有許多新奇、巧妙而又神秘的東西吸引著人們,這是數學的趣味魅力所在，它們“像甜蜜的笛聲誘惑了如此眾多的‘老鼠’，跳進了數學的深河”.《說文》中對數的解釋如下:一,性初太始,道立于一,造分天地,化成萬物;二,地之數也;三,天、地、人之道也；四,陰數也;五,五行也;六,《易》之數也;………………詩,以其簡練的語言,深邃的意境,給人以無窮的遐想.古人還以文字為游戲:如《晚秋即景》正念反念煙霞映水碧迢迢暮色求生一雁遙前岑落輝殘晚照邊城古樹冷蕭蕭蕭蕭冷樹古城邊晚照殘輝落岑前遙雁一聲秋色暮迢迢碧水映霞煙有趣的是數學中也有回文質數，所謂回文質數就是指某數為質數，而該數的各數字倒過來寫也是質數.卡特(Card)經計算發(fā)現:回文質數與無重回文質數個數如下表:位數兩位三位四位五位……“對”數413102684……常數美大哉言數.