專題5.28 二次函數(shù)y=ax²+bx+c(a≠0)最值（鞏固篇）（專項練習）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（蘇科版）

專題5.28二次函數(shù)最值（鞏固篇）（專項練習）一、單選題1．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．10 B．22 C．34 D．1422．已知二次函數(shù)，當時，y有最小值7，最大值11，則的值為（

）A．3 B．9 C． D．3．二次函數(shù)，當時，y的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．已知：二次函數(shù)，將該二次函數(shù)在軸上方的圖象沿軸翻折到軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)，當直線與新圖象有2個交點時，的取值范圍是（

）A． B．或 C．或 D．5．當時，二次函數(shù)的最小值為－1，則a的值為（

）A．-2 B．±2 C．2或 D．2或6．若式子不論取任何數(shù)總有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．7．已知二次函數(shù)，當時，y的最大值與最小值的差為6，則m的值為（

）A． B． C． D．8．已知二次函數(shù)（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足的情況下，與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（

）A．5或 B．3或 C．5或3 D．3或19．如圖，已知拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，下列結(jié)論不正確的是（

）A．拋物線的對稱軸為直線B．若，則C．y的最大值為1D．若軸交拋物線于點D，則10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說法錯誤的是（

）A．函數(shù)的最大值為4B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱C．當時，y隨x的增大而減小D．x＝1或是方程的兩個根11．二次函數(shù)y=ax2+2ax+3（a為常數(shù)，a≠0），當a-1≤x≤2時二次函數(shù)的函數(shù)值y恒小于4，則a的取值范圍為（

）A． B． C．或 D．或12．已知二次函數(shù)（a、b是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點和，且當時，函數(shù)的最小值為，最大值為1，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）的值為______，圖象的頂點坐標為______；（2）若點在該二次函數(shù)圖象上，且點到軸的距離小于，則的取值范圍為______．14．如圖，P是拋物線y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一點，過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B，則四邊形OAPB周長的最大值為______．15．如圖，四邊形的兩條對角線互相垂直，且，則四邊形面積的最大值為_____．16．一個斜拋物體的水平運動距離記為x（m），對應(yīng)的高度記為y（m），y是關(guān)于x的二次函數(shù)．已知當x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝3；當x=4時，y＝0．該斜拋物體的所能達到的最大高度是_______m．17．如圖，點O是正方形ABCD的對稱中心，射線OM，ON分別交正方形的邊AD，CD于E，F(xiàn)兩點，連接EF，已知，．（1）以點E，O，F(xiàn)，D為頂點的圖形的面積為_________；（2）線段EF的最小值是_________．18．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，P為對角線BD上一動點，F(xiàn)為射線AD上一點，若AP＝PF，則△APF的面積最大值為_______19．平面直角坐標系中，已知點，且實數(shù)m，n滿足，則點P到原點O的距離的最小值為______．20．已知二次函數(shù)（是常數(shù)），當時，函數(shù)的最大值是，則的值為________．21．如圖，已知拋物線與x軸相交于于點，，與軸的交于點．點在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，設(shè)的面積為．下列結(jié)論：①；②；③，其中，正確結(jié)論的序號是________．（所有正確的序號都填上）22．已知拋物線．（1）當m＝0時，點（2，4）_____（填“在”或“不在”）該拋物線上；（2）該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移動到最高處時，該拋物線的頂點坐標為____．23．若x＋y＝5，則xy＋1的最大值為______．24．已知拋物線過點，兩點，若線段的長不大于2，則代數(shù)式的最小值是________．三、解答題25．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知點，拋物線的對稱軸是直線，連接、．(1)用含a的代數(shù)式求；(2)若，求拋物線的函數(shù)表達式：(3)在（2）的條件下，當時，y的最小值是-2，求m的值．26．已知關(guān)于的一元二次方程，有兩個不相等的實數(shù)根，．(1)求的取值范圍；(2)當時，解這個方程；(3)若，是方程的兩個實數(shù)根，設(shè)，試求的最小值．參考答案1．C【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴當x=6時，xy-2有最大值，最大值為34，故選：C．【點撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，會利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值是解答的關(guān)鍵．2．B【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸為直線，再分①和②兩種情況，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值與最小值，據(jù)此建立方程組求出的值，由此即可得．解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，①當時，則當時，隨的增大而減?。划敃r，隨的增大而增大，所以當時，取得最小值；當時，取得最大值，所以，解得，符合題設(shè)，則此時；②當時，則當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小，所以當時，取得最大值；當時，取得最小值，所以，解得，符合題設(shè)，則此時；綜上，的值為9，故選：B．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)先求解函數(shù)的最大值，再分別計算當時，當時，從而可得答案．解：二次函數(shù)，所以函數(shù)有最大值，而，當時，當時，當時，y的取值范圍為故選C【點撥】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握“二次函數(shù)的增減性”是解本題的關(guān)鍵．4．C【分析】畫出翻折前后的圖象，求出原圖象的頂點坐標，利用翻折的性質(zhì)求出原頂點翻折后對應(yīng)點的坐標，上下移動，觀察與新圖象的交點情況，即可得出答案解：二次函數(shù)的圖象及翻折后的圖象如下圖如所示，，二次函數(shù)圖象的頂點C的坐標為，翻折后頂點C對應(yīng)點的坐標為，觀察圖象可知，當或時，與新圖象有2個交點，故答案為：C．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出原拋物線頂點翻折后對應(yīng)點的坐標．5．A【分析】將二次函數(shù)化成頂點式，再分類討論求最值即可．解：y=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2．拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-a．∴當-a≤1時，即a≥-1，當1≤x≤3時，y隨x的增大而增大，當x=1時，y有最小值=1+2a+3=4+2a，∴4+2a=-1，∴a=-，不合題意，舍去．當1<-a<3時，x=-a，y有最小值3-a2．∴3-a2=-1．∴a2=4，∵1<-a<3，∴a=-2．當-a≥3時，即a≤-3，當1≤x≤3，y隨x的增大而減少．∴當x=3時，y有最小值=9+6a+3=12+6a．∴12+6a=-1．∴a=-．∵a≤-3．∴不合題意，舍去．綜上：a=-2．故選：A．【點撥】本題考查二次函數(shù)的最值，對a的范圍進行分類討論是求解本題的關(guān)鍵．6．D【分析】利用根號下的非負性，以及分母不為進行求解，只需恒成立，即只需函數(shù)的最小值大于．解：若對任意總有意義，則恒成立，的最小值為，，即．故選：D．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的最值，根號下的非負性，分母不能為，解決本題的關(guān)鍵是求出二次函數(shù)的最小值．7．A【分析】將二次函數(shù)解析式配成頂點式，根據(jù)自變量的取值范圍求出最大值和最小值，即可求解．解：由，可得，∵m＜0，∴當x=-1時，函數(shù)有最大值，且，在范圍內(nèi)，函數(shù)先遞增再遞減，則：當x=-3時，y=3+6m，當x=2時，y=3+16m，∵m＜0，∴函數(shù)的最小值為：，∵，∴，∴解得，故選：A．【點撥】本題考查了根據(jù)自變量的取值范圍求解二次函數(shù)的最值的問題，將二次函數(shù)的解析式配成頂點式是解答本題的關(guān)鍵．8．A【分析】由解析式可知該函數(shù)在時取得最小值1、時，隨的增大而增大、當時，隨的增大而減小，根據(jù)時，函數(shù)的最小值為5可分如下兩種情況：①若，時，取得最小值5；②若，當時，取得最小值5，分別列出關(guān)于的方程求解即可．解：當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，①若，時，取得最小值5，可得：，解得：或（舍；②若，當時，取得最小值5，可得：，解得：或（舍．綜上，的值為或5，故選：A．【點撥】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】從圖象得到、、，結(jié)合拋物線對稱性求對稱軸、利用待定系數(shù)法求表達式、根據(jù)拋物線圖象和性質(zhì)逐項判定即可．解：A、根據(jù)拋物線與x軸交于點、，可得出對稱軸，該選項不符合題意；B、根據(jù)拋物線的對稱軸為，開口向下可知：當時，隨增大而增大；當時，隨增大而減小，所以當，無法判斷與的大小，該選項符合題意；C、根據(jù)拋物線與x軸交于點、，可設(shè)交點式，再根據(jù)拋物線與y軸交于點，代值求解得，即拋物線表達式為，當時，的最大值為1，該選項不符合題意；D、若軸交拋物線于點D，則、關(guān)于對稱軸對稱，從而得到，則，該選項不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及到圖象上點的對稱性、待定系數(shù)法求表達式、二次函數(shù)增減性比較大小、二次函數(shù)最值等知識點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出、二次函數(shù)對稱軸為以及二次函數(shù)的頂點坐標，再逐項分析四個選項即可得出結(jié)論．解：觀察二次函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：開口向下，，拋物線的頂點坐標為，對稱軸為，與軸的一個交點為．A、，二次函數(shù)的最大值為頂點的縱坐標，即函數(shù)的最大值是4，選項正確，不符合題意；B、二次函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，選項正確，不符合題意；C、當時，隨的增大而增大，選項錯誤，符合題意；D、二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)圖象與軸有一個交點，二次函數(shù)與軸的另一個交點為．x＝1或是方程的兩個根，選項正確，不符合題意．故選：C．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐條分析四個選項．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，結(jié)合函數(shù)圖象以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解．11．D【分析】先求得對稱軸為x=-1，再分a>0和a<0兩種情況討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．解：對于二次函數(shù)y=ax2+2ax+3，其函數(shù)圖象的對稱軸為x=-=-1，當a>0時，a-1>-1，開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減少，當a-1≤x≤2時，函數(shù)y的值在x=2時，取得最大值，∴a×22+2a×2+3<4，解得：a<，∴a的取值范圍為；當a<0時，a-1<-1，開口向下，當a-1≤x≤2時，函數(shù)y的值在頂點時，取得最大值，∴a×(-1)2+2a×(-1)+3<4，解得：a>-1，∴a的取值范圍為；綜上，a的取值范圍為或，故選：D．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用已知條件畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法解答是解題的關(guān)鍵．12．C【分析】求出二次函數(shù)的解析式，確定函數(shù)的最值，根據(jù)所給函數(shù)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解即可．解：二次函數(shù)（、是常數(shù)，）的圖象經(jīng)過點和，∴，解得：，∴，∴二次函數(shù)的頂點坐標為，最大值為1，∵當時，函數(shù)的最小值為，最大值為1，∴令，則，解得：，，∴，故選：C．【點撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．13．

【分析】（1）把P（?2，3）代入中，即可求解；（2）由|m|＜2，結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，即可求n的范圍．解：（1）把P（?2，3）代入中，得：，∴a＝2，∴＝（x＋1）2＋2；∴圖象的頂點坐標為（?1，2）；

（2）點Q到y(tǒng)軸的距離小于2，∴|m|＜2，∴?2＜m＜2，∴當m=-1時，y的最小值=2，當m=2時，y的最大值=11，∴2≤n＜11．【點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，找到二次函數(shù)圖像的對稱軸，是解題的關(guān)鍵．14．．【分析】設(shè)P（x，x2?2x?3）（0<x<3），根據(jù)矩形的周長公式得到C＝?2＋．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值即可．解：∵y＝x2﹣2x﹣3，∴當y＝0時，x2﹣2x﹣3=0即（x+1）（x-3）＝0，解得

x＝-1或x＝3故設(shè)P（x，y），設(shè)P（x，x2﹣2x-3）（0<x<3），∵過點P分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為A、B，∴四邊形OAPB為矩形，∴四邊形OAPB周長C＝2PA+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴當x＝時，四邊形OAPB周長有最大值，最大值為．故答案為：．【點撥】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．15．8【分析】設(shè)BD=x，則AC=8－x，而四邊形的面積為S=，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最大值．解：如圖，設(shè)AC、BD交于點O設(shè)BD=x，則AC=8－x，其中0<x<8∵∴∵∴當x=4時，S有最大值8故答案為：8【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的面積，當四邊形的兩條對角線垂直時，其面積與菱形面積一樣，等于兩條對角線乘積的一半．把面積最大值轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題是關(guān)鍵．16．4【分析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝3；當x﹣4時，y＝0列方程組，可求出a、b、c的值，可得二次函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為頂點式即可得答案．解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為，∵x＝0時，y＝0；當x＝1時，y＝3；當x﹣4時，y＝0，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為，∴該斜拋物體的所能達到的最大高度是4m，故答案為：4【點撥】本題考查二次函數(shù)的最值，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)各種形式解析式的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．17．

1

【分析】（1）連接AO，DO，證明，可得，求出即可求解；（2）設(shè)，則，由勾股定理可得，即可求EF的最小值．解：（1）連接AO，DO，∵，∴，∵四邊形ABCD是正方形，O是中心，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴故答案為：1；（2）設(shè)，則，，在中，，∴當時，EF有最小值，故答案為：．【點撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)求最值的方法是解題的關(guān)鍵．18．4【分析】作PM⊥AD與M，根據(jù)正方形的性質(zhì)易得PM＝DM，設(shè)PM＝DM＝x，則AM＝4?x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出AF＝2（4?x），由三角形面積公式得出S△APF，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．解：作PM⊥AD與M，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠ADB＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，∴PM＝DM，設(shè)PM＝DM＝x，則AM＝4?x，∵AP＝PF，∴AM＝FM＝4?x，∴AF＝2（4?x），∵S△APF＝AF?PM，∴S△APF＝×2（4?x）?x＝?x2＋4x＝?（x?2）2＋4，∴當x＝2時，S△APF有最大值4，故答案為：4【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．【分析】根據(jù)，可得，進而可知，由，進而根據(jù)兩點間距離公式進行求解即可．解：∵，∴，∴，∵，∴點P到原點距離為：，∴點P到原點O的距離的最小值為：，故答案為：．【點撥】本題考查二次函數(shù)的最值問題，點到原點的距離，能夠掌握數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．20．3或-6【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和當0≤x≤2時，y的最大值是2，利用分類討論的方法可以求得m的值，本題得以解決．解：二次函數(shù)y=-x2+mx+=-（x-）2+，當時，即m＞4，在0≤x≤2時，x=2時取得最大值，則2=-22+2m+，得（舍去）；當＜0時，即m＜0，在0≤x≤2時，x=0時取得最大值，則，得；當0≤≤2時，即0≤m≤4，在0≤x≤2時，x=時取得最大值，則，得，（舍去），由上可得，m的值是3或．故答案為：3或．【點撥】本題主要考查考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的方法解答．21．①②③【分析】中令y=0得：，得A（-1，0），B（3，0），從而判斷①；中令x=0得：y=6，得C（0，6），從而判斷②；過點作軸，交于點，求出BC的函數(shù)關(guān)系式，得出點的坐標為，點的坐標為，再列出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，最后求出其最大值，從而判斷③．解：∵拋物線與x軸相交于于點，，∴令y=0得：，解得：，∴A（-1，0），B（3，0），∴AB=4故①正確；∵拋物線與y軸相交于于點C，∴令x=0得：y=6，∴C（0，6），∴OC=6，故②正確；過點作軸，交于點，如圖1所示．設(shè)直線的解析式為，將、代入，得，解得，直線的解析式為．點在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，點的坐標為，則點的坐標為，，，當時，面積取最大值，最大值為．故③正確，故答案為：①②③．【點撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)等知識，熟練運用方程思想及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．22．

不在

（2，5）【分析】（1）將代入計算即可；（2）先用m表示出頂點坐標，然后確定頂點坐標縱坐標的最大時m的值，進而確定頂點坐標即可．解：（1）∵m＝0，∴拋物線解析式為將代入可得：．∴當m＝0時，點（2，4）不在拋物線上，故答案為：不在．（2）即∴拋物線的頂點坐標為：（,）∵當頂點移動到最高處時，即縱坐標取最大值而．∴當m=3時，縱坐標最大，即頂點移動到了最高處，此時頂點坐標為（2,5）．故答案為：（2，5）【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像上點的坐標特征、二次函數(shù)的最值等知識點，確定二次函數(shù)的頂點坐標成為解答本題的關(guān)鍵．23．【分析】由x＋y＝5得x＝5-y，代入xy＋1得（5-y）y＋1=-y2+5y+1，進而求出最值．解：由x＋y＝5得x＝5-y，∴xy＋1=（5-y）y＋1=-y2+5y+1=-（y-）2+，∵-1<0，∴當y=時，xy＋1有最大值，且最大值為．故答案為：．【點撥】本題考查一元二次方程的最值問題，用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)進而求最值解決問題的關(guān)鍵．24．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對稱軸，然后結(jié)合線段的長不大于2，求出的取值范圍，再根據(jù)的增減性，求出最小值．解：∵拋物線過點，兩點，∴對稱軸為：，∴頂點為，∴由題意可知，∵線段的長不大于2，∴，∴，∵當時，隨著的增大而增大．∴當時，有最小值，最小值為；故答案為：.【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據(jù)題意得出，求出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．25．(1)(2)y=x2+2x-3(3)【分析】（1）將點A的坐標代入拋物線表達式列等式，再根據(jù)對稱軸列等式，依此分別把b、c用含a的代數(shù)式表示，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)果，根據(jù)面積為6，建立方程求解即可；（3）分兩種情況討論，即①當m-1≥-1時，②當m-1＜-1時