2.9 有理數(shù)的乘方（解析版）

2022-2023學年七年級數(shù)學上冊章節(jié)同步實驗班培優(yōu)題型變式訓練（北師大版）2.9有理數(shù)的乘方題型導航有有理數(shù)的乘方有理數(shù)的乘方運算題型1有理數(shù)的乘方運算有理數(shù)乘方的逆運算題型2有理數(shù)乘方的逆運算乘方運算的符號規(guī)律題型3乘方運算的符號規(guī)律有理數(shù)乘方的應(yīng)用題型4有理數(shù)乘方的應(yīng)用題型變式【題型1】有理數(shù)否乘方運算1．（2021·甘肅·模擬預測）（﹣2）2＝（）A． B． C．4 D．﹣4【答案】C【分析】直接運用有理數(shù)的乘方運算法則進行計算即可．【詳解】原式＝4，故選：C．【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)乘方的運算法則．【變式1-1】2．（2021·江西·崇義縣章源實驗中學七年級期中）計算：（－1）2021+12021=_______．【答案】0【分析】根據(jù)“-1的奇數(shù)次冪是-1”，“1的任何次冪都是1”即可進行計算．【詳解】∵（－1）2021=-1，12021=1，∴（－1）2021+12021=-1+1=0，故答案為：0．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘方，掌握“-1的偶次冪是1，-1的奇次冪是-1”是解題關(guān)鍵．【題型2】有理數(shù)乘方運算的逆運算1．（2022·全國·七年級課時練習）計算的結(jié)果是（）A．9 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)乘方的逆運算進行計算．【詳解】解：原式=故選B【點睛】本題主要考查有理數(shù)乘方的運算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握乘方運算是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】2．（2021·湖北十堰·七年級階段練習）若，則的值是(

)．A．-l B．O C．1 D．2021【答案】A【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)，分別求出a與b的值，帶入即可求出．【詳解】解：由題意得：a?2=0，b?1=0，解得a=2，b=1，所以(b?a)2021=(1?2)2021=(?1)2021=?1．故選：A．【點睛】本題主要考查整數(shù)指數(shù)冪和絕對值的概念，以及負數(shù)的奇次指數(shù)冪為負數(shù)，偶次冪為正數(shù)．整數(shù)指數(shù)冪與絕對值的值是非負數(shù)，由題干中兩個式子相加為0可知，兩個式子本身都為0，熟練掌握是解決問題的關(guān)鍵．【題型3】乘方運算的符號規(guī)律1．（2022·江蘇·七年級專題練習）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對值的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：x不一定是正數(shù)；x2不一定是正數(shù)；一定是正數(shù)；x2+2一定是正數(shù)；|x+2|不一定是正數(shù)；所以值一定是正數(shù)的有2個，故選：B．【點睛】本題考查了非負數(shù)，絕對值．掌握非負數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】2．（2021·四川·瀘縣太伏鎮(zhèn)太伏初級中學校七年級階段練習）若，則的值是（

）A．－2 B．－3 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入所求代數(shù)式計算即可．【詳解】解：∵，∴x?2＝0，3y＋2＝0，解得：x＝2，y＝，∴．故選：C．【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．【題型4】有理數(shù)乘方的應(yīng)用1．（2022·江蘇·七年級專題練習）對正整數(shù)n，記1×2×…×n＝n！若M＝1！×2！×…×10！，則M的正因數(shù)中共有完全立方數(shù)（）個．A．468 B．684 C．846 D．648【答案】A【分析】先把原式化為M＝238×317×57×74，然后分別討論238，317，57，74含有的立方數(shù)約數(shù)，最后求出M含有立方數(shù)約數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10！，∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10＝238×317×57×74，所以238含有的立方數(shù)約數(shù)有1、23、26…236共13個，317含有的立方數(shù)約數(shù)有1、33、36…315共6個，57含有的立方數(shù)約數(shù)有1、53、56共3個，74含有的立方數(shù)約數(shù)有1、73共2個，所以M含有立方數(shù)約數(shù)為13×6×3×2＝468，故選：A．【點睛】本題主要考查了完全平方數(shù)的問題，解題的關(guān)鍵是把M分解為M＝238×317×57×74的形式．【變式4-1】2．（2021·全國·七年級期中）已知|x|＝2，y2＝9，且|x﹣y|＝y(tǒng)﹣x，則x﹣y＝_____．【答案】﹣1或﹣5【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的乘方求出x、y，再根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)判斷出x﹣y＜0，確定x、y的值，再代入計算即可求解．【詳解】解：∵|x|＝2，y2＝9，∴x＝±2，y＝±3，∵|x﹣y|＝y(tǒng)﹣x，∴x﹣y＜0，也就是x＜y，∴x=﹣2，y=3或x=2，y=3，當x=﹣2，y=3時，x﹣y＝﹣2﹣3＝﹣5，當x=2，y=3時，x﹣y＝2﹣3＝﹣1，綜上所述，x﹣y＝﹣1或﹣5．故答案為：﹣1或﹣5．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法，有理數(shù)的乘方，絕對值的性質(zhì)，判斷出x、y的對應(yīng)情況是解題的關(guān)鍵．專項訓練一．選擇題1．（2022·廣東·中考真題）計算的結(jié)果是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】D【分析】利用乘方的意義計算即可．【詳解】解：故選：D．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，熟練掌握乘方的意義是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·七年級課時練習）下列計算結(jié)果為負數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求一個數(shù)的相反數(shù)、去絕對值符號法則、有理數(shù)的乘方運算，即可一一判定．【詳解】解：A、，結(jié)果為正數(shù)，故該選項不符合題意；B、，結(jié)果為正數(shù)，故該選項不符合題意；C、，結(jié)果為負數(shù)，故該選項符合題意；D、，結(jié)果為正數(shù)，故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了求一個數(shù)的相反數(shù)、去絕對值符號法則、有理數(shù)的乘方運算，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·七年級課時練習）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為15，則第1次輸出的結(jié)果為18，第2次輸出的結(jié)果為9，…，第2021次輸出的結(jié)果為（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【分析】首先分別求出第3次、第4次、第5次、第6次、第7次、第8次輸出的結(jié)果各是多少，總結(jié)出規(guī)律，然后判斷出第2021次輸出的結(jié)果為多少即可．【詳解】第1次輸出的結(jié)果為：15+3＝18，第2次輸出的結(jié)果為：×18＝9，第3次輸出的結(jié)果為：9+3＝12，第4次輸出的結(jié)果為：×12＝6，第5次輸出的結(jié)果為：×6＝3，第6次輸出的結(jié)果為：3+3＝6，第7次輸出的結(jié)果為：×6＝3，第8次輸出的結(jié)果為：3+3＝6，第9次輸出的結(jié)果為：×6＝3，…，從第4次開始，以6，3依次循環(huán)，并且第n次(n＞3)時，如果n-3為偶數(shù)，則輸出結(jié)果為3，如果n-3為奇數(shù)，則輸出結(jié)果為6，∵（2021﹣3）÷2＝2018÷2＝1009，∴第2021次輸出的結(jié)果為3．故選：A．【點睛】此題考查了程序圖的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中程序的運算規(guī)律．4．（2022·全國·七年級專題練習）觀察下列三組數(shù)的運算：，；，；，．聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律．下列用字母表示的式子：①當時，；②當時，．其中表示的規(guī)律正確的是（

）A．① B．② C．①、②都正確 D．①、②都不正確【答案】B【分析】根據(jù)三組數(shù)的運算的規(guī)律逐個判斷即可得．【詳解】解：由三組數(shù)的運算得：，，，歸納類推得：當時，，式子①錯誤；由三組數(shù)的運算得：，，，歸納類推得：當時，，式子②正確；故選：B．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．5．（2022·河北·邢臺市開元中學七年級期末）計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)乘方的意義進行簡便運算，再根據(jù)有理數(shù)乘法計算即可．【詳解】解：，==，=，=，故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是熟練依據(jù)乘方的意義進行簡便運算，準確進行計算．二、填空題6．（2022·全國·七年級課時練習）已知有理數(shù)x、y滿足，則代數(shù)式的值為______．【答案】1【分析】利用絕對值及平方的非負性先求出x、y值，再代入即可．【詳解】解：∵，且，∴，，即：，，解得：，，∴，故答案為：1．【點睛】本題主要考查的是絕對值及平方的非負性求值，屬于初中?？碱}型，掌握其解題步驟是解題的關(guān)鍵．7．（2022·全國·七年級）若│x＋3∣＋(y－2)=0，則=_________．【答案】-1【分析】直接利用非負數(shù)的性質(zhì)得出x，y的值，進而得出答案．【詳解】解：∵∣x＋3∣＋(y－2)=0，∴x+3=0，y-2=0，∴x=-3，y=2，∴==-1，故答案為：-1．【點睛】此題主要考查了非負數(shù)的性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．8．（2019·全國·七年級課時練習）計算：（1）________；（2）________.【答案】

-7

-81【分析】直接根據(jù)有理數(shù)的混合運算法則進行計算即可.【詳解】（1）原式=0-7=-7；（2）-81×（-）×（-）=-81；【點睛】此題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.9．（2022·甘肅武威·七年級期末）若有理數(shù)等于它的倒數(shù)，則________．【答案】1【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可得到，然后依據(jù)偶次方的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題意，得或．當時，；當時，．綜上，．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了倒數(shù)的定義、有理數(shù)的乘方，依據(jù)倒數(shù)的定義求得a的值是解題的關(guān)鍵．10．（2021·全國·課時練習）下列說法：①有理數(shù)除了正數(shù)，就是負數(shù)；②相反數(shù)大于本身的數(shù)是負數(shù)；③立方等于本身的數(shù)是；④若，則其中正確的有：_______（填序號）．【答案】②【分析】據(jù)有理數(shù)的概念和乘方運算逐個檢查，找出正確說法作答．【詳解】對于①，有理數(shù)除了正數(shù)和負數(shù)之外還有0，故①錯誤；對于②，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)，故②正確；對于③，由，，得立方等于本身的數(shù)不只有，故③錯誤；對于④，由，但，得④錯誤．故答案為：②．【點睛】此題考查有理數(shù)的分類，相反數(shù)的意義，乘方的意義和絕對值的性質(zhì)．其關(guān)鍵是要對相關(guān)知識的熟練掌握．11．（2022·全國·七年級課時練習）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個位數(shù)字是__________．【答案】8【分析】先根據(jù)已知等式發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字是以為一循環(huán)，再根據(jù)即可得．【詳解】因為，，，，，，…，所以個位數(shù)字是以為一循環(huán)，且，又因為，，所以的結(jié)果的個位數(shù)字是8，故答案為：8．【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方的規(guī)律型問題，根據(jù)已知等式正確發(fā)現(xiàn)個位數(shù)字的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．12．（2022·全國·七年級課時練習）已知，數(shù)軸上A，B，C三點對應(yīng)的有理數(shù)分別為a，b，c．其中點A在點B左側(cè)，A，B兩點間的距離為2，且a，b，c滿足，則a＝____．對數(shù)軸上任意一點P，點P對應(yīng)數(shù)x，若存在x使的值最小，則x的值為_________．【答案】

－1

1【分析】根據(jù)絕對值和平方的非負性即可求第一空；根據(jù)絕對值與數(shù)軸的關(guān)系可以解出第2問．【詳解】∵，∴即∵點A在點B左側(cè)，A，B兩點間的距離為2，∴∵表示x與-1，1和2022三個數(shù)的距離之和，∴當x取中間值1時，和為最小值為2023；故答案為：-1,1【點睛】本題考查了數(shù)軸上的點之間的距離與絕對值的關(guān)系、絕對值和平方的非負性，根據(jù)絕對值的定義得出表示x與-1，1和2022三個數(shù)的距離之和是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2022·江蘇·七年級專題練習）如圖是某種細胞分裂示意圖，這種細胞每過30分鐘便由1個分裂成2個．根據(jù)此規(guī)律可得：（1）這樣的一個細胞經(jīng)過第四個30分鐘后可分裂成個細胞；（2）這樣的一個細胞經(jīng)過3小時后可分裂成個細胞；（3）這樣的一個細胞經(jīng)過（為正整數(shù)）小時后可分裂成個細胞．【答案】（1）16；（2）64；（3）【分析】（1）由題意可知該細胞分裂呈指數(shù)增長，因此寫出表達式求解即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，以及3小時對應(yīng)6個30分鐘，求解即可；（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：由題意，第個30分鐘后，細胞分裂為個，（1）第四個30分鐘后可分裂成個，故答案為：16；（2）3小時即為6個30分鐘，則經(jīng)過3小時后可分裂成個，故答案為：64；（3）（為正整數(shù)）小時即為個30分鐘，則經(jīng)過小時后可分裂成個，故答案為：．【點睛】本題考查有理數(shù)乘方運算的應(yīng)用，理解題意，準確總結(jié)出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．14．（2022·全國·七年級專題練習）計算：（1）與；（2）與．【答案】（1）256；-256；（2）．【分析】（1）直接運用乘方的運算法則計算即可；（2）直接運用乘方的運算法則計算即可．【詳解】解：（1）．（2）．【點睛】本題主要考查了乘方的運用法則，理解乘方的運算法則成為解答本題的關(guān)鍵．15．（2022·全國·七年級專題練習）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合內(nèi)、、、、、、（每兩個1之間一次多一個0）、正分數(shù)集合：{…}非負整數(shù)集合：{…}正有理數(shù)集合：{…}．【答案】、；、、；、、、【分析】根據(jù)有理數(shù)的有關(guān)分類，求解即可．【詳解】解：，，∴、為正分數(shù)、、為非負整數(shù)、、、為正有理數(shù)故答案為：、；、、；、、、【點睛】此題考查了有理數(shù)的有關(guān)分類，涉及了乘方、相反數(shù)和絕對值的求解，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的有關(guān)分類．16．（2022·全國·七年級）計算：（﹣2）2+|﹣10|﹣（﹣1）2020．【答案】13【分析】原式先計算乘方運算，再計算加減運算即可求出值．【詳解】解：原式＝4+10﹣1＝14﹣1＝13．【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方、有理數(shù)的加減法、絕對值等知識，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．17．（2022·全國·七年級課時練習）給出下面六個數(shù)，，，，0，．(1)其中正有理數(shù)是______，分數(shù)有______．（將符合條件的數(shù)都填在橫線上）(2)先把表示上面各數(shù)的點在數(shù)軸上表示出來，再按從小到大的順利，用“＜”號把它們連接起來．【答案】(1)-（-2.5），（-1）2022；-（-2.5），?(2)在數(shù)軸上表示見解析，-22＜-|-2|＜-＜0＜（-1）2022＜-（-2.5）【分析】（1）根據(jù)正有理數(shù)，分數(shù)的意義判斷即可．（2）在數(shù)軸上準確找到各數(shù)對應(yīng)的點即可解答．(1)解：∵，，，，∴正有理數(shù)是-（-2.5），（-1）2