專題提升02 角平分線有關(guān)的全等證明模型（原卷版）

八年級數(shù)學上分層優(yōu)化堂堂清十二章全等三角形12.3三角形全等的重要模型角平分線有關(guān)的全等證明模型學習目標：會利用角平分線構(gòu)造全等三角形證明和計算；2、提高推理能力，獲得成功的體驗，增強學習的自信心。老師對你說：全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型--角平分線模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。全等三角形的對應邊相等,對應角相等是證線段相等或角相等的重要依據(jù),在解題過程中若不能直接運用,則需要通過作輔助線來構(gòu)造全等三角形，若已知條件中存在角平分線可利用角平分線條件作輔助線構(gòu)造全等三角形進而解決問題。模型一過角平分線上的點向角兩邊作垂線。過點D作DF⊥BC，交BC于點F△BED≌△BFD（AAS）方法：利用角平分線性質(zhì)，取角平分線上一點，向被平分的角的兩邊作垂線注：銳角三角形的垂線在中線線段上；鈍角三角形的垂線在中線線段的延長線上。目的：構(gòu)造一組全等三角形【例1-1】如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點，若，求的度數(shù)．【例1-2】如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o【例1-3】如圖，在中，，、分別是、的平分線，、相交于點，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系.針對性訓練11.在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，且∠EDF＋∠EAF＝180°，求證DE＝DF．2.已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．模型2截長補短構(gòu)造全等三角形截長補短在BC在截取BF=BE延長BC至點F，使BF=AE△BED≌△BFD（SAS）△BED≌△BFD（SAS）【例2-1】在△ABC中，∠ACB=2∠B，（1）如圖①，當∠C=90°，AD為∠ABC的角平分線時，在AB上截取AE=AC，連接DE，易證AB=AC+CD．請證明AB=AC+CD；（2）①如圖②，當∠C≠90°，AD為∠BAC的角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論，不要求證明；②如圖③，當∠C≠90°，AD為△ABC的外角平分線時，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想并證明．【例2-2】已知：如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求證：AB＝AC＋CD．【例2-3】如圖，△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點，連接DE、DF，∠EDF＋∠BAC＝180°．求證：DE＝DF．針對性訓練21.已知：如圖，，，分別平分和，點E在上．用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當∠ABC＝90°時，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．鞏固提高1.如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且∠EBF=60°，求證：EF=AE+CF。2．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD．3．（1）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝60°，請?zhí)骄繄D中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是什么？小明探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連結(jié)AG．先證明△ABE≌△ADG，得AE＝AG；再由條件可得∠EAF＝∠GAF，證明△AEF≌△AGF，進而可得線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展應用：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．問（1）中的線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．4.如圖所示，已知B（﹣2，0），C（2，0），A為y軸正半軸上的一點，點D為第二象限一動點，點E在BD的延長線上，CD交AB于點F，且∠BDC＝∠BAC．(1)求證：∠ABD＝∠ACD；(2)求證：AD平分∠CDE；(3)若在D點運動的過程中，始終有DC＝DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．5.已知：如圖1，在中，是的平分線．E是線段上一點（點E不與點A，點D重合），滿足．（1）如圖2，若，且，則________，_______．（2）求證：．（3）如圖3，若，請直接寫出和的數(shù)量關(guān)系．6.如圖①，是四邊形的一個外角，//，，點在的延長線上，，，垂足為．(1)求證：①平分；②．(2)如圖②，若，，．求的度數(shù)．7.已知：在四邊形中，于E，且．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)