北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

通州區(qū)2023—2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)解析式可得直線斜率為，再由傾斜角與斜率之間的關(guān)系可得.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，將直線化為斜截式可得，即直線斜率為；所以，又，所以.故選：A2.已知，，則（）A. B. C. D.12【答案】D【解析】【分析】由空間向量模長的坐標表示代入計算即可求得結(jié)果.【詳解】由，可得，所以.故選：D3.已知，，，則等于（）A.-4 B.-6 C.-7 D.-8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算法則進行運算即可.【詳解】因為，，，所以，則，故選：B4.已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)含【答案】C【解析】【分析】依題意將圓的一般方程化為標準方程求出兩圓圓心和半徑，比較圓心距與兩半徑之差、之和的關(guān)系即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意將化為標準方程可得，即圓心，半徑；由可知圓心，半徑；此時圓心距為，；顯然，即兩圓相交.故選：C5.設(shè)直線：，：.則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】求出時的值，即可判定.【詳解】因為直線：，：，故時，有，解得，或者，當(dāng)時，：，：，；當(dāng)時，：，即，：，則兩直線重合，故時，，則“”是“”的充要條件，故選：6.已知為矩形，點在線段上，且滿足，則滿足條件的點有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.4個【答案】C【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè)出點坐標，算出坐標，由得到，構(gòu)建方程求解即可.【詳解】以為原點，為軸，為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，可得,因為點在線段上，所以可設(shè)，所以,又，所以，可得，解得；，即滿足條件的點P有2個.故選：C.7.如圖，四面體中，，，，為的中點，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算，以為基底表示出向量即可.【詳解】由題可知，由為的中點，為的中點可得，即，即，所以，即.故選：D8.在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，，分別為，的中點，則和夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正四面體性質(zhì)取的中點為，即可知即為異面直線和的夾角的平面角,計算出各邊長利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】連接，取的中點為，連接，如下圖所示：由正四面體的棱長為1可得，又分別是的中點，所以，且，所以即為異面直線和的夾角的平面角，又易知，且，所以，因此，即和夾角的余弦值為.故選：A9.如圖，在平行六面體中，，，，，與相交于點.則的長為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】把兩邊平方并展開，根據(jù)向量數(shù)量積的定義計算即可.【詳解】因為,所以,則，即的長為故選：10.過直線上一點作圓的兩條切線，，切點分別為A，B，當(dāng)直線，關(guān)于對稱時，線段的長為（）A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點的連線垂直于直線，利用這一關(guān)系即可求得切線段的長.【詳解】如圖所示，圓心,連接,因為直線，關(guān)于直線對稱，所以垂直于直線，故而,則,故選：第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知直線經(jīng)過點A(0,4)和點B（1，2），則直線AB的斜率為_____________.【答案】【解析】【詳解】由兩點間斜率計算公式可得，故答案為.12.在正三棱柱中，，則直線到平面的距離為_______【答案】【解析】【分析】先作出直線上的點到平面的垂線段，然后利用勾股定理求出垂線段的長度即可.【詳解】在正三棱柱中，在底面內(nèi)作，因為平面底面，平面底面，所以平面，因為，平面，平面，所以平面，所以即為直線到平面的距離，因為為等邊三角形，且，所以直線到平面的距離為.故答案為：.13.在空間直角坐標系中，已知，，.則與的夾角的余弦值為___________；在的投影向量___________.【答案】①.##0.5②.【解析】【分析】先根據(jù)空間向量的坐標運算求出與的坐標，然后由向量夾角的運算公式和投影向量的計算公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，，所以，在的投影向量為.故答案為：；.14.若直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的一個可能取值是_________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】畫出圖象，結(jié)合圖象確定一個公共點時的位置，求出相應(yīng)的的值，數(shù)形結(jié)合可得答案.【詳解】曲線表示圓心在原點，半徑為的圓的上半部分，如圖所示，有圖可知，當(dāng)直線在和之間移動或與半圓相切，即處于的位置時，直線與圓恰好有一個公共點，當(dāng)直線在時，經(jīng)過點，所以，當(dāng)直線在時，經(jīng)過點，所以，當(dāng)直線與半圓相切時，，所以，或者（舍），故或者.故答案為:15.在棱長為1的正方體中，點滿足，其中，.給出下列四個結(jié)論：①所有滿足條件的點組成的區(qū)域面積為1；②當(dāng)時，三棱錐的體積為定值；③當(dāng)時，點到距離的最小值為1；④當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面.則所有正確結(jié)論的序號為__________.【答案】①②③【解析】【分析】對于①，根據(jù)條件得點在正方形內(nèi)，即可判斷；對于②，點在線段上，從而點到平面的距離為定值，為定值，從而三棱錐的體積為定值；對于③，點在線段上，當(dāng)點與重合時，即為到距離的最小值為，從而判斷；對于④，由題點在線段上，當(dāng)平面時，可得，與矛盾，從而即可判斷.【詳解】如圖所示，對于①，因為，，，所以點在正方形內(nèi)（包括正方形），而正方形的面積為，故①正確；對于②，時，，所以,故點在線段上，由題易得平面,所以上的點到平面的距離都相等，又,所以三棱錐的體積為定值，故②正確；對于③，時，，所以,所以點在線段上，連接,由題意可得，平面,平面,,當(dāng)點與重合時，即為到距離的最小值為，故③正確；對于④，當(dāng)時，，取的中點,的中點,則點在線段上，若平面，則平面,必有,因為平面，平面，所以,,所以平面，則有,又,所以,與矛盾，故不存在滿足題意的點，④錯誤，故答案為：①②③.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.已知直線，直線，設(shè)直線與的交點為A，點P的坐標為.（1）求點A的坐標；（2）求經(jīng)過點P且與直線平行的直線方程；（3）求以為直徑的圓的方程.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）解兩直線方程構(gòu)成的方程組即可得解；（2）求出直線的斜率，然后利用點斜式即可求出直線方程；（3）根據(jù)中點坐標公式求出圓心坐標，再利用兩點距離公式求出半徑，進而可得圓的方程.【小問1詳解】由解得，所以直線與的交點為.【小問2詳解】由得直線的斜率為，又點P的坐標為，所以經(jīng)過點P且與直線平行的直線方程為，即.【小問3詳解】因為，，所以的中點坐標為，，所以以為直徑的圓的方程為.17.已知直線，圓.（1）若直線與圓相交，求實數(shù)m的取值范圍；（2）在（1）的條件下，設(shè)直線與圓交于A，B兩點.（i）求線段的垂直平分線的方程；（ii）若，求m的值.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）由題意，根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑列式求解即可；（2）（i）由題意線段的垂直平分線經(jīng)過圓心，從而可直接求得直線方程；（ii）由弦長列式求解即可.【小問1詳解】由得，所以當(dāng)時，表示以為圓心，以為半徑的圓，由于直線與圓相交，所以圓心到直線的距離，所以，即實數(shù)m的取值范圍為.【小問2詳解】（i）由題意，線段的垂直平分線經(jīng)過圓心，斜率為，所以線段的垂直平分線的方程為，即.（ii）由于圓心到直線的距離，，所以由得，解得.18.如圖，在五面體中，平面為正方形，平面平面，.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.（1）求證：平面；（2）若，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的大小.條件①：；條件②：.【答案】（1）證明見詳解（2）選條件①；選條件②【解析】【分析】（1）根據(jù)條件知，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直接坐標系，求出兩個平面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值即可求出夾角的大小.【小問1詳解】因為在五面體中，平面為正方形，所以,又平面，平面,故平面；【小問2詳解】若選條件①：根據(jù)已知條件可得：,因為，,平面,平面,所以平面,因為平面,所以,則以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直接坐標系如下圖所示，因為，，所以則,由知，平面，平面,又平面平面,所以,所以,所以即.因為平面,所以平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為，則，令則，設(shè)平面與平面夾角為，則,又，則即平面與平面夾角的大小為若選條件②：由知，平面，平面,又平面平面,所以,過點作,交于點,則四邊形為平行四邊形，又，，則,又因為，則,故,即，則,則以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直接坐標系如下圖所示，因為，，所以則,又,所以即.因為平面,所以平面的法向量為,設(shè)平面法向量為，則，令則，設(shè)平面與平面夾角為，則,又，則即平面與平面夾角的大小為19.如圖，在正方體中，分別是棱，，，的中點.（1）求證：四點共面；（2）求與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見詳解（2）（3）【解析】【分析】（1）取的中點連接，先證四點共面，再證四點共面，又這兩個平面重合，即可證明；（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，與法向量夾角的余弦值的絕對值即為所求；（3）利用點到平面距離向量表示公式計算即可.【小問1詳解】如圖，取的中點連接,因為分別是棱，，，的中點，易得,,所以,所以四點共面，又,所以，則四點共面，而過不共線的的三點的平面具有唯一性，則平面與平面重合，故四點共面.【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方形的的邊長為則則，設(shè)是平面的法向量，則，取,則所以，所以與平面所成角的正弦值為【小問3詳解】由（2）知平面的法向量，又所以點到平面的距離為，即到平面的距離為20.已知四邊形為正方形，為，的交點，現(xiàn)將三角形沿折起到位置，使得，得到三棱錐.（1）求證：平面平面；（2）棱上是否存在點，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在滿足題意的點，且【解析】【分析】（1）由平面與平面垂直的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出平面與平面的法向量，然后根據(jù)求面面角的方法即可列式求解.【小問1詳解】因為四邊形為正方形，所以，，所以折起后，，，由于折起前有，且折起后，所以折起后有，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，，，所以以為原點，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，則，，，假設(shè)存在滿足題意的點，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，，即，易知平面的一個法向量為，因為平面與平面夾角的余弦值為，所以，解得，所以在棱上存在點，使平面與平面夾角余弦值為，且為棱的中點，所以.21.長度為6的線段，設(shè)線段中點為G，線段的兩個端點P和Q分別在x軸和y軸上滑動.（1）求點G的軌跡方程；（2）設(shè)點G的軌跡與x軸交點分別為A，B（A點在左），與y軸交點分別為C，D（C點在上），設(shè)H為第一象限內(nèi)點G的軌跡上的動點，直線與直線交于點M，直線與直線交于點N.試判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）