專題三反比例函數(shù)試題的解題思路

專題三反比例函數(shù)試題的解題思路一、方法簡(jiǎn)述初中學(xué)生首先學(xué)習(xí)的曲線就是反比例函數(shù)的圖象，中考的反比例函數(shù)試題一般是與一次函數(shù)相結(jié)合，由于解析式的特征，不但能以函數(shù)圖象為載體考查幾何，而且能夠以解析式為載體考查代數(shù)，如分式的變形運(yùn)算等，是中考的熱門題型，解決此類問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想以及代入法，代定系數(shù)法的靈活應(yīng)用。二、常用方法1.求反比例函數(shù)解析式的方法：①求反比例函數(shù)圖象經(jīng)過一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用代入法；②利用幾何圖形的數(shù)量關(guān)系來確定；③利用實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系來確定；2.從反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，作兩坐標(biāo)軸的垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為；3.反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)（，）、（，），則。三、典例分析例1：如圖，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（1）當(dāng)為何值時(shí)？；（2）把直線平移，使平移后的直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求平移后得到的直線解析式.解：（1）根據(jù)圖象，當(dāng)或時(shí)，（2）∵∴∴(1，-2)根據(jù)題意得：…解得：直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（0，-1）、（-1，0)方法一：設(shè)把直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為該直線與軸相交于，于軸相交于,則（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直線為或方法二：設(shè)把直線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為即該直線與軸相交于，于軸相交于,則（0，）∵∥∴∴=解得：，所以平移后所得到的直線為或評(píng)析：第（1）小題，實(shí)際上是求直線在雙曲線上方部分的自變量的取值范圍，所以要先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)圖象就可以直接寫出自變量的取值范圍；第（2）小題只要求出平移后的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題就迎刃而解，要注意平移方向與平移距離之間的關(guān)系。例2：探索發(fā)現(xiàn)：如圖，過的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線間的距離叫的“水平寬（）”，中間的直線在三角形內(nèi)部的線段叫做的“鉛垂高（）”，我們可以得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.（不必證明）圖圖4圖3圖2圖1ODCBAxyyxCOBAyxOCBADCBAha應(yīng)用求值：（1）如圖，、是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，，且，點(diǎn)（，）.求：的面積； （2）如圖，直線與雙曲線（）相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，的面積為6，求：的值；（3）如圖，、是雙曲線（）在第一象限上的兩點(diǎn)，⊥軸于交于點(diǎn)，，，求：的值及的面積.解：（1）過作∥軸交直線于如圖：當(dāng)時(shí)，（2），當(dāng)時(shí)，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.∵∴∴設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為∴(，)，∴解方程得：∴(，)（3）∵，,∴∴∵∴∴∴∴(，)∴直線為，設(shè)點(diǎn)（，），則，或（不合題意舍去）所以的水平寬為3.評(píng)析：“探索發(fā)現(xiàn)----應(yīng)用求值”與“閱讀理解----創(chuàng)新應(yīng)用”類似，解題時(shí)，要認(rèn)真閱讀“閱讀理解”部分的內(nèi)容，確實(shí)理解所用的知識(shí)、方法，并作為應(yīng)用中的借鑒；把新的三角形面積計(jì)算方法應(yīng)用在直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差，就是水平寬，、（或、）兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差便為鉛垂高。四、強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖，一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形（陰影部分）的面積是，與反比例函數(shù)的圖形相交于點(diǎn)（,）和（，），求的值.yxOABCED2.如圖，已知直線與軸交于點(diǎn)，與雙曲線交于（，）、（，）兩點(diǎn).軸于點(diǎn)，∥軸且與軸交于點(diǎn).yxOABCED（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；（2）判斷四邊形的形狀，并說明理由.3.已知反比例函數(shù)(為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)(，）．（1）求的值；（2）如圖，過點(diǎn)作直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．4.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于一、三象限內(nèi)的．兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（,)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），。（l）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）在軸上有一點(diǎn)（點(diǎn)除外），使得與的面積相等，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．5.如圖，在矩形中，、兩邊分別在軸、軸的正半軸上，，，過邊上的點(diǎn)，沿著翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，反比例函數(shù)在第一象限上的圖象經(jīng)過點(diǎn)與相交于點(diǎn).（1）求證：四邊形是正方形；（2）點(diǎn)是否為正方形的中心？請(qǐng)說明理由.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，(，)、（，），四邊形是矩形，、分別是、邊上的點(diǎn)，沿著折疊矩形，點(diǎn)恰好落在軸上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處．（1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？并說明理由；（3）點(diǎn)是（2）中反比例函數(shù)的圖象與原矩形的邊的交點(diǎn)，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)。7.探索發(fā)現(xiàn)：如圖1，過的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線間的距離叫做的“水平寬（）”，中間的直線在三角形內(nèi)部的線段叫做的“鉛垂高（）”，我們可以得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.（不必證明）應(yīng)用求值：（1）如圖2，在直角坐標(biāo)系中，(，)、（，）,點(diǎn)在第一象限，軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，.求：（2）①如圖3，、是反比例函數(shù)的圖象在第一象限上的兩點(diǎn)，過作軸于，交于，，連接，，點(diǎn)的橫作標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值.②如圖3，、是①中反比例函數(shù)圖象上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，、的橫作標(biāo)分別為、（），，求：的值.8.如圖，等邊△和等邊△的一邊都在軸上，雙曲線經(jīng)過邊的中點(diǎn)和的中點(diǎn)，已知等邊△的邊長(zhǎng)為．(1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；(2)求等邊△的邊長(zhǎng)．9.如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作∥軸交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)（），分別過點(diǎn)、作軸的垂線，垂足為、，連接交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn).（1）求：矩形的面積（用含的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)恰好是矩形的中心.①求：的值②若，其它的條件不變，判斷的形狀