專題3.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題3.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)題型一指數(shù)冪的運算題型二指數(shù)函數(shù)的概念題型三指數(shù)函數(shù)的圖象問題題型四指數(shù)型函數(shù)過定點問題題型五指數(shù)函數(shù)的定義域和值域問題題型六利用指數(shù)的單調(diào)性解不等式或比較大小題型七由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)題型八指數(shù)函數(shù)的最值問題題型九指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用題型一 指數(shù)冪的運算例1．化簡【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，可得：.例2．（2022秋·高一課時練習(xí)）計算：(1)；(2)已知：，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)可求得所求代數(shù)式的值；（2）在等式兩邊平方可得出，再利用平方關(guān)系可求得，代入計算可得出的值.【詳解】（1）解：原式.（2）解：因為，則，所以，，所以，，可得，，因此，.練習(xí)1．（2022秋·高一課時練習(xí)）的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可.【詳解】解：故選：D.練習(xí)2．（2022秋·高三課時練習(xí)）化簡的結(jié)果為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式化簡即可.【詳解】=======故選：B練習(xí)3．（2022秋·高三課時練習(xí)）化簡求值：(1)；(2).【答案】(1)100(2)4【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算性質(zhì)運算求解即可.【詳解】（1）解：.（2）解：練習(xí)4．（2022秋·高三課時練習(xí)）已知，則的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪的運算即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又由立方差公式，，故選：A．練習(xí)5．（2022秋·高三課時練習(xí)）化簡：=______．（用分數(shù)指數(shù)冪表示）.【答案】【分析】先把根式轉(zhuǎn)化成指數(shù)冪的形式，再利用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則，即可求出結(jié)果.【詳解】因為.故答案為：.題型二 指數(shù)函數(shù)的概念例3．（2022秋·高三單元測試）（多選）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義判斷各項是否為指數(shù)函數(shù)即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)形式為且，顯然A、D不符合，C符合；對于B，且，故符合.故選：BC例4．（2021秋·高三課時練習(xí)）如果指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的值為__________.【答案】/0.5【分析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再計算的值.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，已知圖象過點，所以，解得，所以.所以.故答案為：.練習(xí)6．（2022秋·高三課時練習(xí)）若＋有意義，則a的取值范圍是()A． B．C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)根式、指數(shù)冪的性質(zhì)列不等式組求參數(shù)范圍即可.【詳解】由題設(shè)知：，可得.故選：D練習(xí)7．（2022秋·高三課時練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】形如(且)形式的為指數(shù)函數(shù)，以上滿足的條件的為AD.故選：AD.練習(xí)8．（2023秋·云南大理·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)（a>0且）的圖象過點（2,4），（4,2），則（

）A． B．=2 C．=3 D．=6【答案】AD【分析】將點（2,4），（4,2），代入求得的值.【詳解】由已知得，兩式相比得，所以，由得，所以，故選：AD．練習(xí)9．（2022秋·高一課時練習(xí)）若函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義列方程組求解即可.【詳解】因為函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，故選：C練習(xí)10．（2022秋·浙江溫州·高三?？计谥校ǘ噙x）若指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，代入已知點，求得函數(shù)解析式，明確函數(shù)單調(diào)性，逐項驗證可得答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，解得，即，易知在上單調(diào)遞減，對于A、B，由，則，故A錯誤，B正確；對于C，由，則，故C錯誤；對于D，由，則，故D正確.故選：BD.題型三 指數(shù)函數(shù)的圖象問題例5．（2022秋·內(nèi)蒙古興安盟·高三烏蘭浩特市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）若函數(shù)(且)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)(且)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，判斷a，b的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】解：因為函數(shù)(且)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限，所以，，所以是增函數(shù)，是減函數(shù)，則，，故選：BC.例6．（2021秋·高三課時練習(xí)）函數(shù)（）的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分和兩種情況求解即可.【詳解】當時，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A、B均不符合；當時，，因此，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合，D不符合．故選：C．練習(xí)11．（2022秋·河南商丘·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在且，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合，得到，再利用基本不等式求得，即可求解.【詳解】如圖所示，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象和題意，可得，所以，由，即，可得，由基本不等式可得，所以，所以.故選：B.練習(xí)12．（2022秋·高三單元測試）函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個數(shù)：，，，中的一個，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】由題圖，直線與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c，d，a，b，而.故選：C．練習(xí)13．（2023秋·河南安陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，函數(shù)，則與在同一坐標系中的圖像可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷圖像的形狀.【詳解】當時，為增函數(shù)，的圖像的對稱軸為直線，A選項錯誤，C選項正確；當時，為減函數(shù)，的圖像的對稱軸為直線，B選項錯誤，D選項錯誤．故選：C練習(xí)14．（2023秋·湖南婁底·高三校聯(lián)考期末）（多選）函數(shù)的圖象的大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】化簡得，分、，分別討論和的單調(diào)性及取值范圍，即可得答案.【詳解】解：因為，當時，在上單調(diào)遞增，且當趨于時，趨于；在上單調(diào)遞減，當趨于時，趨于,故排除D；當時，在上單調(diào)遞減，當趨于時，趨于；在上單調(diào)遞增，當趨于時，趨于,故排除C.故選：AB.練習(xí)15．（2022秋·上海徐匯·高一上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎獙崝?shù)a，b滿足等式，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在同一坐標系內(nèi)分別畫出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象即可判斷.【詳解】由題意，在同一坐標系內(nèi)分別畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：由圖象知，當時，，所以選項正確；作出直線，當時，若，則，所以選項正確；當時，若，則，所以選項正確．所以不可能成立的是，故選：．題型四 指數(shù)型函數(shù)過定點問題例7．（2023秋·吉林松原·高三松原市實驗高級中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)且的圖象恒過定點，點又在冪函數(shù)的圖象上，則的值為______.【答案】【分析】由已知可得，待定系數(shù)法設(shè)出，代入求出，即可求出的值.【詳解】由可得，，所以.設(shè)，由可得，，所以，即有，所以.故答案為：.例8．（2020秋·廣東梅州·高三?？计谥校┖瘮?shù)（，且）的圖象過定點P，則點P的坐標是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象過定點的知識即得.【詳解】當時，，所以.故選：A.練習(xí)16．（2022秋·高三課時練習(xí)）函數(shù)（且）的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令指數(shù)為零，求出的值，代入函數(shù)解析式可得出函數(shù)圖象所過定點的坐標.【詳解】對于函數(shù)，則，可得，則，所以，函數(shù)（且）的圖象恒過定點坐標為.故選：C.練習(xí)17．（2023秋·四川眉山·高三眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)?？计谀┮阎獌绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點______．【答案】【分析】先設(shè)出，代入點可得，則可得到，令即可得定點.【詳解】設(shè)，則由已知，得，，，令，得，則所以函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點.故答案為：.練習(xí)18．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)且，當任意變化時，的圖像恒過點，則實數(shù)___________.【答案】【分析】根據(jù)的圖像恒過點，由求解.【詳解】解：因為的圖像恒過點，所以，當任意變化時，該式恒成立，所以，即.故答案為：-1練習(xí)19．（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三鐵路一中?？计谥校┮阎瘮?shù)（，且）的圖象過定點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指數(shù)函數(shù)過定點，可求得，即有，再根據(jù)指數(shù)冪的運算法則即可求得答案.【詳解】解：因為指數(shù)函數(shù)過定點,所以（，且）的圖象過定點，所以，所以，所以.故選：D練習(xí)20．（2022秋·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的圖像恒過定點，若點的坐標滿足方程，則的最小值__________．【答案】【分析】先判斷出，代入得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求得.【詳解】令，解得：.由可得：函數(shù)的圖像恒過定點.因為點的坐標滿足方程，所以.因為，所以.所以（當且僅當，即時等號成立）所以的最小值為.故答案為：題型五 指數(shù)函數(shù)的定義域和值域問題例9．（2021·全國·高一專題練習(xí)）定義區(qū)間（）的長度為．已知函數(shù)的定義域為，值域為，則區(qū)間的長度的最大值與最小值的差為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】作出函數(shù)在值域為上的圖象，由圖象可得出長度最小和最大的區(qū)間，由此可得結(jié)論．【詳解】如圖是函數(shù)在值域為[1，2]上的圖象．使函數(shù)的值域為[1，2]的定義域區(qū)間中，長度最小的區(qū)間為或[0，1]，長度最大的區(qū)間為，從而由定義可知區(qū)間的長度的最大值與最小值的差為．故選：B例10．（2022秋·高三單元測試）若定義運算，則函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)定義寫出在對應(yīng)區(qū)間上的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求值域.【詳解】若，即時；若，即時；綜上，值域為.故選：A練習(xí)21．（2023秋·河南許昌·高三?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大4，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得最大值和最小值，列方程可得結(jié)果.【詳解】∵在R上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，∴當x=2時，取得最小值為4；當x=a時，取得最大值為，∴，解得：a=3.故選：C.練習(xí)22．（2022秋·高三課時練習(xí)）函數(shù)的定義域為_________.【答案】【分析】根據(jù)解析式，列出使解析式有意義條件，解出x的取值范圍.【詳解】由題意可得，解得：，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：.練習(xí)23．（2023春·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校校考開學(xué)考試）（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．定義域為 B．值域為C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】ABD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域與值域可判斷AB；根據(jù)指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD.【詳解】函數(shù)，可得函數(shù)定義域為，故A正確；設(shè)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，函數(shù)值域為，故B正確；在上是單調(diào)遞增的，而在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C錯誤；D正確．故選:ABD．練習(xí)24．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值域為________﹔函數(shù)圖象的對稱中心為_________.【答案】【分析】將函數(shù)的解析式變形為，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可求得的值域；利用函數(shù)對稱性的定義可求得函數(shù)的對稱中心的坐標.【詳解】因為，則，所以，，所以，函數(shù)的值域為，因為，則，因此，函數(shù)圖象的對稱中心為.故答案為：；.練習(xí)25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域為___________【答案】【分析】利用根號的性質(zhì)及指數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】由題，即，即，因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即故答案為：題型六 利用指數(shù)的單調(diào)性解不等式或比較大小例11．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性可解.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，易知函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)．因為不等式等價于，又，所以，所以由函數(shù)的單調(diào)性知，即，解得或，所以原不等式的解集為.故選：D例12．（2021秋·高三課時練習(xí)）已知>，則a，b的大小關(guān)系為____(用“<”連接).【答案】a<b【分析】由>，得到>，再利用函數(shù)y=是R上的減函數(shù)求解.【詳解】解：因為>，所以>，又函數(shù)y=是R上的減函數(shù)，所以a<b.故答案為：a<b練習(xí)26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】將三個指數(shù)冪化成同底指數(shù)冪，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因為，，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，所以所以，故選：C練習(xí)27．（2022秋·高三單元測試）（多選）下列結(jié)論正確的是（）A．對于，恒有B．是減函數(shù)C．對，，一定有D．是偶函數(shù)【答案】BD【分析】通過反練習(xí)可說明AC錯誤；根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義可得到BD正確.【詳解】對于A，當時，，A錯誤；對于B，為上的減函數(shù)，B正確；對于C，當，，C錯誤；對于D，的定義域為，，是偶函數(shù)，D正確.故選：BD.練習(xí)28．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）不等式的解集是________．【答案】【分析】結(jié)合換元法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】令，則可得，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得.故答案為：.練習(xí)29．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合N，再結(jié)合集合的交集運算求解.【詳解】由，則，得，解得，即，故.故選：C.練習(xí)30．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測）設(shè)全集，，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，得到，由真數(shù)大于0得到，再對四個選項一一判斷正誤.【詳解】因為，所以，解得，，由對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0可得，解得，故，AB選項，，，A錯誤，B正確；C選項，或，，C錯誤；D選項，或，故，D錯誤.故選：B題型七 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)例13．（2023·湖南長沙·湖南師大附中?？寄M預(yù)測）已知方程有實根；函數(shù)為增函數(shù)，則p是q的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】化簡命題，根據(jù)集合的包含關(guān)系可判斷.【詳解】方程有實根，故，函數(shù)為增函數(shù)，故，真包含于,p是q的必要不充分條件．故選：B例14．（2023秋·湖北武漢·高三武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，滿足對任意，都有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式可以確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】不妨設(shè)，由，因此該函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，于是有，故選：B練習(xí)31．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考開學(xué)考試）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則k的取值范圍是___________.【答案】【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，因此區(qū)間不在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可得．【詳解】是增函數(shù)，在上遞減，在上遞增，所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，因此由題意，解得．故答案為：．練習(xí)32．（2022秋·河南南陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)，若時，總有，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】由條件，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列不等式可求的取值范圍.【詳解】時，所以指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，因此.故的取值范圍是，故答案為：.練習(xí)33．（2022秋·高三課時練習(xí)）指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和題意可得：，解之即可求解.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，所以，解之可得：，則實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.練習(xí)34．（2022秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】或【分析】先明確且可看作由函數(shù)復(fù)合而成，分類討論和，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷，即可求得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意可知且可看作由函數(shù)復(fù)合而成，當時，為R上的增函數(shù)，若函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在上單調(diào)遞減，即；當時，為R上的遞減函數(shù)，若函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在上單調(diào)遞增，即，則，故實數(shù)a的取值范圍是或.故答案為：或.練習(xí)35．（2022秋·吉林長春·高三?？计谥校┤艉瘮?shù)為上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用分段函數(shù)分段處理的原則，結(jié)合一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的特點即可求解.【詳解】因為函數(shù)為上的增函數(shù)，所以，解得,所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.題型八 指數(shù)函數(shù)的最值問題例15．（2023·高三課時練習(xí)）已知函數(shù)在上的最小值是，最大值是，求的值.【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最值，再相加即可得解.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，所以最小值，最大值，所以.例16．（2022秋·河南·高三安陽一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合存在性質(zhì)的定義進行求解即可.【詳解】因為，，所以，，顯然在上單調(diào)遞減，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故選：D練習(xí)36．（2020秋·河北石家莊·高三石家莊市第十九中學(xué)?？计谥校┊敃r，函數(shù)的值域為_________.【答案】【解析】令，則，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，當時，函數(shù)，令，則，此時，當時，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.練習(xí)37．（2022春·海南省直轄縣級單位·高三海南二中?？奸_學(xué)考試）若指數(shù)函數(shù)在上的最大值和最小值的和是6,則（

）A．2或3 B．-3 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)為指數(shù)函數(shù)即可解得及的范圍,由于指數(shù)函數(shù)為單調(diào)函數(shù),其最值在端點處取得,列出等式即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題知為指數(shù)函數(shù),故,且,即在上的最大值和最小值的和是6,由于指數(shù)函數(shù)為單調(diào)函數(shù),故最值在端點處取得,即,解得:或(舍),綜上:.故選:C練習(xí)38．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┲笖?shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，則實數(shù)a的值是_________．【答案】3【分析】確定a的取值范圍，再分類求出最大值作答.【詳解】指數(shù)函數(shù)中，且，即且，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，不符合題意，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，解得，所以實數(shù)a的值是3.故答案為：3.練習(xí)39．（2022秋·福建泉州·高三石獅市石光中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）當時，有，（且），則實數(shù)的取值范圍可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】解析：時，（，且）.若，是增函數(shù)，則有，可得，故有；若，是減函數(shù)，則有，可得，故有，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：AC.練習(xí)40．（2022秋·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎坏仁綄τ诤愠闪?，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】設(shè)，，則題目轉(zhuǎn)化為在恒成立，求的最小值即可.【詳解】設(shè)，因為，則，不等式對于恒成立，等價于，即在恒成立，設(shè)，，令，（負舍），則根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為單調(diào)減函數(shù)，則，所以，故實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.題型九 指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用例17．（2022·河南鄭州·鄭州外國語學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸情況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是．要使物體的溫度變?yōu)?，還要經(jīng)過__________分鐘．【答案】120【分析】先把現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是代入公式，再列出此物體的溫度變?yōu)闀r的關(guān)系式，聯(lián)立二式組成方程組，解之即可求得要使物體的溫度變?yōu)?，還要經(jīng)過的時間.【詳解】∵現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是，∴，即①，要使物體的溫度變?yōu)椋瑒t，即②，聯(lián)立①②，，解得，故還要經(jīng)過分鐘．故答案為：120．例18．（2021秋·高三課時練習(xí)）碳14的半衰期為5730年，那么碳14的年衰變率為（

）A． B．25730 C． D．【答案】C【分析】令碳14的年衰變率為m，原有量為1，根據(jù)定義知，利用指數(shù)運算性質(zhì)求衰變率即可.【詳解】設(shè)碳14的年衰變率為m，原有量為1，則，故，所以碳14的年衰變率為.故選：C練習(xí)41．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知放射性元素氡的半衰期是3.83天，問：(1)經(jīng)過7.66天以后，氡元素會全部消失嗎？(2)要經(jīng)過多少天，剩下的氡元素只有現(xiàn)在的？(3)質(zhì)量為的氡經(jīng)天衰變后其質(zhì)量為，試用計算器求的值.【答案】(1)不會(2)(3)【分析】（1）利用半衰期是3.83天進而經(jīng)過2個半衰期后，氡元素還有原來的；（2）因為，所以要經(jīng)過3個半衰期；（3）利用半衰期為，得到，即，再利用計算器進行求解.【詳解】（1）解：不會，因為放射性元素氡的半衰期是3.83天，所以經(jīng)過天以后，氡元素還有原來的.（2）解：因為放射性元素氡的半衰期是3.83天，所以要使剩下的氡元素只有現(xiàn)在的，需經(jīng)過天.（3）解：因為放射性元素氡的半衰期是3.83天，所以，即，則利用計算器，得.練習(xí)42．（2023·全國·高三專題練習(xí)）20世紀60年代，地質(zhì)考古學(xué)家在阿拉斯加的一個洞穴中發(fā)現(xiàn)了古人類穿過的草鞋，實驗測得那只草鞋的含量大約是現(xiàn)生長同種草的含量的25%，已知的半衰期為5730年，試估計草鞋的編織年代．【答案】距發(fā)現(xiàn)有11460年的歷史.【分析】由題意分析，經(jīng)過兩個半衰期時間，即可求得.【詳解】由碳14