專題4.6 構(gòu)造函數(shù)解決抽象不等式及比較大小（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題4.6構(gòu)造函數(shù)解決抽象不等式及比較大小題型一構(gòu)造函數(shù)型可導(dǎo)函數(shù)題型二構(gòu)造函數(shù)型可導(dǎo)函數(shù)題型三構(gòu)造函數(shù)型可導(dǎo)函數(shù)題型四導(dǎo)函數(shù)帶常數(shù)型題型五比較大小題型一 構(gòu)造函數(shù)型可導(dǎo)函數(shù)例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，分情況討論并求解即可.【詳解】因為，所以，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，又是定義在R上的偶函數(shù)，所以是定義在R上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，且．不等式整理可得：，即，當(dāng)時，，則，解得；當(dāng)時，，則，解得，又，所以．綜上，不等式的解集為．故選：A．例2．（2023春·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，又當(dāng)時，，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，并判斷出為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，將所求的式子轉(zhuǎn)化為，從而得到，解出的范圍.【詳解】由，，設(shè)所以，即為上的偶函數(shù)當(dāng)時，，因為，所以則在區(qū)間上單調(diào)遞增所以即即等價于，即解得．故選：A.練習(xí)1．（2023·遼寧·遼寧實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對任意有，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，計算，，轉(zhuǎn)化得到，根據(jù)單調(diào)性得到答案.【詳解】設(shè)，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.，則，即，故.，即，即，故，解得.故選：B.練習(xí)2．（2023·高二單元測試）設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則當(dāng)時（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于AB，利用特殊函數(shù)法，舉反練習(xí)即可排除；對于CD，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得在上單調(diào)遞減，從而得以判斷.【詳解】對于AB，不妨設(shè)，，則，，滿足題意，若，則，故A錯誤，若，則，故B錯誤；對于CD，因為，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，即，所以，由得，則，故C正確；由得，則，故D錯誤.故選：C.練習(xí)3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到函數(shù)的單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化為解不等式即得解.【詳解】令，所以，所以為上的增函數(shù)，由，所以，則不等式等價于，則不等式的解為。故選：C.練習(xí)4．（2023·貴州遵義·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，由已知可推得為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不等式變形可得，.根據(jù)二倍角的余弦公式，可得出.然后根據(jù)的奇偶性和單調(diào)性，可推得，平方求解不等式，即可得出答案.【詳解】由已知可推得，.令，則，所以，所以，為偶函數(shù).又，因為當(dāng)時，，所以，，所以在上單調(diào)遞增.又為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減.由可得，.因為，所以，.因為在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，所以有，平方整理可得，，解得.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知得出函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性.練習(xí)5．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？计谥校┤魹槎x在上的連續(xù)不斷的函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，．若，則的取值范圍___________．【答案】【分析】由已知當(dāng)時，，可構(gòu)造函數(shù)，可得為奇函數(shù)，又，得在上是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解．【詳解】，，設(shè)，則，則，為奇函數(shù)，又當(dāng)時，，在上是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，又,等價于，即，，解得,故的取值范圍為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是要根據(jù)當(dāng)時，的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即構(gòu)造函數(shù)，繼而證明該函數(shù)為奇函數(shù)，再結(jié)合單調(diào)性解決問題.題型二 構(gòu)造函數(shù)型可導(dǎo)函數(shù)例3．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】或【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可判斷，是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，在減函數(shù)，把原不等式轉(zhuǎn)化為解不等式，進而，解之即得答案.【詳解】令，則，由當(dāng)時，，所以當(dāng)時，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以是偶函數(shù)，在遞減，所以，，即不等式等價為，所以，所以或.故答案為：或.例4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，進而確定正確答案.【詳解】設(shè)，則，因為恒成立，所以，所以在單調(diào)遞增，則，，，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即，所以，即．故選：B練習(xí)6．（2023春·四川雅安·高二雅安中學(xué)?？计谥校┮阎桥己瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，．若時，，則使得不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，求導(dǎo)得，進而可得時，單調(diào)遞增，由于為偶函數(shù)，推出為奇函數(shù)，進而可得在上單調(diào)遞增，由于，則，由于，則，推出，即可得出答案．【詳解】設(shè)，，由題意得時，，單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，因為，所以，所以，所以，故選：C．練習(xí)7．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谀┰O(shè)定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，不等式等價于，即，結(jié)合單調(diào)性即可得解.【詳解】因為，所以令，則，即在定義域上單調(diào)遞減，又，所以，因為，所以不等式等價于，即，所以，即不等式的解集為.故選：D練習(xí)8．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)校考二模）已知是定義在上的奇函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，若，則不等式的解集是________．【答案】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，利用條件求得的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性即可解得不等式解集.【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，其中為奇函數(shù)且，則，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，且，，當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故，當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，，可得．綜上所述，不等式的解集為．故答案為：練習(xí)9．（2023春·天津南開·高二天津二十五中校考階段練習(xí)）設(shè)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，當(dāng)時，且則不等式的解集是________.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知，利用函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)進行求解.【詳解】設(shè)，則，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，即是上的奇函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，，又，所以，所以，不等式等價于，解得或，不等式的解集是解集為.故答案為：.練習(xí)10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，滿足，，，當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】令，由及可得，，從而得關(guān)于對稱，再令，則原不等式等價于，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞增，再由得關(guān)于對稱，從而得在上單調(diào)遞增且有，從而得答案.【詳解】解：令，因為，所以，所以（為常數(shù)），又因為，所以，所以＝0，即，則函數(shù)關(guān)于對稱，令，則原不等式等價于，當(dāng)時，因為，則，此時單調(diào)遞增．因為，所以函數(shù)關(guān)于對稱，則函數(shù)在時單調(diào)遞增，又因為，則，，所以的解集為，即原不等式的解集為．故答案為：．題型三 構(gòu)造函數(shù)型可導(dǎo)函數(shù)例5．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依題意令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，不等式，可轉(zhuǎn)化為，即，即可得出答案．【詳解】解：依題意令，則，所以在上單調(diào)遞減，對于不等式，顯然，則，即，又，所以，所以，即，所以，解得，即關(guān)于的不等式的解集為.故選：B．例6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)得到的單調(diào)性，再變形不等式由單調(diào)性求解即可.【詳解】由題知，函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，即，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，解得，所以不等式的解集為，故選：B練習(xí)11．（2023春·四川綿陽·高二校考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，由已知得出在上單調(diào)遞減，結(jié)合進一步計算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因為，所以在上單調(diào)遞減.因為，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故不等式的解集為.故選：B.練習(xí)12．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）已知定義域為的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項不等式.【詳解】，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，所以，，故A不正確；所以，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C.練習(xí)13．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都存在，且，則必有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】通過分析不等式，構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)后得出單調(diào)性，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，，由，得．設(shè)函數(shù)，則，∴在上單調(diào)遞增，從而．即，即．故選：A.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與不等式的綜合，考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．練習(xí)14．（2023春·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)滿足，且，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由導(dǎo)數(shù)公式得出，從而得出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式可化為，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不等式可化為，即，解得.故選：A練習(xí)15．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)、是定義域為的可導(dǎo)函數(shù)，且，都有，，若、滿足，則當(dāng)時下列選項一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可知新函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，由此可知，即可判斷出A、B選項；構(gòu)造和可判斷出C、D選項.【詳解】由題意：，設(shè)，則，由得，因為，所以，又、是定義域為的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，故，B錯誤，，A錯誤；，因為，不知道正負(fù)，所以C不一定成立；，即，D正確.故選：D.題型四 導(dǎo)函數(shù)帶常數(shù)型例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)的定義域是，，，其導(dǎo)函數(shù)為，對定義域內(nèi)的任意，都有成立，則不等式（2）的解集為______.【答案】【分析】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為增函數(shù)，將不等式化為（2），利用單調(diào)性即可求解.【詳解】當(dāng)時，由，得，即．令，則在，，上也為偶函數(shù)，且當(dāng)時，總成立，在上是增函數(shù)．不等式（2）可化為（2），則，又，，，解得，，．故答案為：【點睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.例8．（2022秋·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考期中）已知定義域為的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，滿足,則的解集為_________．【答案】【分析】令，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)條件可得單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，進而利用單調(diào)性和奇偶性求解．【詳解】的解集為的解集，令，則，因為，所以當(dāng)時有，所以，即當(dāng)時，單調(diào)遞增，又因為，所以，所以的解集為的解集，由單調(diào)性可知，又因為為偶函數(shù)，所以解集為練習(xí)16．（2022春·安徽滁州·高二?？计谀┰O(shè)是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再將不等式轉(zhuǎn)化為，即求解.【詳解】因為滿足，，令，則，所以在R上是增函數(shù)，又，則，不等式可化為，即，所以，所不等式的解集是，故選：C練習(xí)17．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集是______．【答案】【分析】不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性解函數(shù)不等式.【詳解】不等式轉(zhuǎn)化為，令，則，在上單調(diào)遞減，，，的解集為，即不等式的解集為.故答案為：練習(xí)18．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且，，若關(guān)于的方程有個不等實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將已知等式變形為，即，令，可知，結(jié)合可得，由此得到解析式，將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點的問題，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最值，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】，由得：，則，令，則，，又，，則；，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，當(dāng)時，恒成立，大致圖象如下圖所示，則當(dāng)時，與有兩個不同交點，即當(dāng)時，方程有兩個不等實數(shù)根.故選：D.練習(xí)19．（2023春·河南鄭州·高二河南省實驗中學(xué)?？计谥校┰O(shè)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，由此求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，，即，，在上單調(diào)遞減，又，不等式，即，，原不等式的解集為.故選：D【點睛】有關(guān)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)有關(guān)的不等式問題，求解方法是通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等進行研究，由此對問題進行求解.練習(xí)20．（2023春·湖北黃岡·高二浠水縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，并判斷其單調(diào)性，結(jié)合可得的解集，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則,∵，∴,而,故,∴在R上單調(diào)遞增，又，故，∴的解集為，即不等式的解集為，故選：B【點睛】方法點睛：像此類給出一個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式的問題，要能根據(jù)所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，從而利用其單調(diào)性求得答案.題型五 比較大小例9．（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，即可得，從而得出大小，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，即可得，從而得出大小，即可得結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，，所以，，所以單調(diào)遞增，則，所以，則；，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，故.故選：C.例10．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，得到，，求得且，再令，求得，得到的單調(diào)性，求得，得出，再令，求得，得出單調(diào)遞增，結(jié)合，求得.【詳解】令函數(shù)，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，又由，，可得，，令，可得當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，可得，所以，再令，可得，所以單調(diào)遞增，可得，即，可得，即，綜上可得，.故選：B.練習(xí)21．（2023春·遼寧·高二鳳城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性來比較，構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性來比較即可.【詳解】由，設(shè)，，∴，當(dāng)時，∴在上單調(diào)遞減，∴，即所以；由設(shè)，則，所以，當(dāng)時，，所以，所以在單調(diào)遞減，又，所以，因為，所以，即，所以，故選：C.練習(xí)22．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性與最大值，再由當(dāng)且時，設(shè)且，求得，即可求解.【詳解】解：由，令函數(shù)，可得，當(dāng)，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)，可得，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得極大值，即為最大值，函數(shù)的圖形，如圖所示，對于函數(shù)，當(dāng)且時，.