專題6.1 平面向量的線性運算基本定理及坐標表示（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題6.1平面向量的線性運算，基本定理及坐標表示題型一平面向量的基本概念題型二平面向量的線性運算題型三已知平面向量的線性運算求參數(shù)題型四向量共線與三點共線題型五平面向量共線定理的推論題型六平面向量的坐標運算題型七平面向量基本定理題型一 平面向量的基本概念例1．（2023春·北京海淀·高三人大附中?？计谥校┫铝姓f法中不正確的是（

）A．向量的模可以比較大小 B．平行向量就是共線向量C．對于任意向量，必有 D．對于任意向量，必有【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的模、平行向量、共線向量的定義即可判斷AB；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可判斷CD.【詳解】A：向量的模表示向量的長度，為數(shù)量，是可以比較大小的，故A正確；B：平行向量就是共線向量，故B正確；C：由，得，故C正確；D：，，又，所以，故D錯誤.故選：D.例2．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中?？计谥校ǘ噙x）下列有關(guān)向量命題，正確的是（

）A．若，則B．已知，且，則C．若，，則D．若，則且【答案】CD【分析】根據(jù)向量的模，數(shù)量積，向量相等的概念判斷各選項．【詳解】對于A：若，，此時滿足，但是，故A錯誤；對于B：若，且與垂直，此時，但不一定等于，故B錯誤；對于C：若，，則，故C正確；對于D：若，則且與同向，故D正確；故選：CD練習(xí)1．（2023春·吉林·高三長春吉大附中實驗學(xué)校校考期中）下列向量中不是單位向量的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)單位向量的定義，一一判斷各選項中的向量，即得答案.【詳解】由于，故，即為單位向量；，則，故不是單位向量；，則，為單位向量；根據(jù)單位向量的定義可知為單位向量，故選：B練習(xí)2．（2023春·陜西寶雞·高三統(tǒng)考期中）以下結(jié)論中錯誤的是（

）A．若，則B．若向量，則點與點不重合C．方向為東偏南的向量與北偏西的向量是共線向量D．若與是平行向量，則【答案】D【分析】利用向量共線的基本定理可判定A、C、D選項，利用向量相等的性質(zhì)可以判斷B選項.【詳解】對于A選項，若，則，則，故A說法正確；對于B選項，若向量，則兩向量的起點都是A，點與點不重合，故B說法正確；對于C選項，方向為東偏南的向量與北偏西的向量可知，兩個向量方向相反，是共線向量，故C說法正確；對于D選項，若與是平行向量，則，兩向量的模長不一定相等，故D說法錯誤；故選：D.練習(xí)3．（2023春·四川成都·高三成都市第十八中學(xué)校校考期中）（多選）下列敘述中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知非零向量與且//，則與的方向相同或相反D．對任一非零向量是一個單位向量【答案】CD【分析】A注意即可判斷；B根據(jù)向量的性質(zhì)判斷；C由共線向量的定義判斷；D由單位向量的定義判斷.【詳解】A：若時，不一定有，錯誤；B：向量不能比較大小，錯誤；C：非零向量與且//，則與的方向相同或相反，正確；D：非零向量，則是一個單位向量，正確.故選：CD練習(xí)4．（2023春·安徽六安·高三六安二中校考期中）下列說法錯誤的是（

）A．若ABCD為平行四邊形，則 B．若，，則C．互為相反向量的兩個向量模相等 D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念和線性運算逐項分析判斷.【詳解】對于A：若ABCD為平行四邊形，則，故A正確；對于B：若，則與任何向量均平行，可得，，但不一定平行，故B錯誤；對于C：相反向量：模長相等，方向相反的向量互為相反向量，所以互為相反向量的兩個向量模相等，故C正確；對于D：因為，故D正確；故選：B.練習(xí)5．（2023春·陜西西安·高三西安市第八十三中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）下列說法正確的是（

）A．平行向量不一定是共線向量B．向量的長度與向量的長度相等C．是與非零向量共線的單位向量D．若四邊形滿足，則四邊形是矩形【答案】BC【分析】根據(jù)共線向量的概念，可判斷A不正確；根據(jù)相反向量概念，可判定B正確；由向量是與非零向量同向的單位向量，可判定C不正確；由，得到四邊形是平行四邊形，可判定D不正確.【詳解】對于A中，根據(jù)共線向量的概念，可得平行向量一定是共線向量，所以A不正確；對于B中，向量與向量是相反向量，可得，所以B正確；對于C中，根據(jù)單位向量概念，向量是與非零向量同向的單位向量，也是與向量共線的單位向量，所以C正確；對于D中，四邊形滿足，則四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，所以D正確.故選：BC.題型二 平面向量的線性運算例3．（2023春·吉林·高三校聯(lián)考期中）已知，，E為的中點，記，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算即可結(jié)合圖形關(guān)系求解.【詳解】由得,所以,故選：B例4．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中校考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算結(jié)果錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量運算的幾何意義，結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】因為四邊形為平行四邊形，對A，，正確；對B，，錯誤；對C，，正確；對D，，正確.故選：B.練習(xí)6．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）化簡（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用向量加法、減法運算求解即可.【詳解】故選：C.練習(xí)7．（2023春·吉林長春·高三東北師大附中?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，BC＝2AD，DE＝EC，設(shè)，，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】取BC中點F，先征得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合平面向量基本運算求解即可.【詳解】取BC中點F，連接AF，如圖所示，

又因為，，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.故選：D.練習(xí)8．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性表示和加減法運算即可求解.【詳解】如圖，因為，所以是線段的四等分點，且,所以,故A,B錯誤；由，可得，故C正確，D錯誤，故選:C.練習(xí)9．（2023春·北京·高三匯文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則計算出結(jié)果.【詳解】.故選：D練習(xí)10．（2023春·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)校考期中）下列式子中，不能化簡為的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量加減法法則化簡各式，即可得答案.【詳解】A：；B：；C：；D：；故選：B題型三 已知平面向量的線性運算求參數(shù)例5．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，是邊上一點，且是上一點，若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量基本定理用表示，又因為三點共線，利用系數(shù)和為1求解結(jié)果.【詳解】由，得出，由得，因為三點共線，所以，解得.故選：D.例6．（2023·北京·高一專題練習(xí)）在中，M，N分別是AB，AC的中點，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】將分別用表示，根據(jù)平面向量基本定理即可求解.【詳解】,,故，故，解得.所以.故選:A.練習(xí)11．（2023·江蘇南京·南京師大附中?？寄M預(yù)測）已知的邊的中點為，點在所在平面內(nèi)，且，若，則（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】D【分析】利用平面向量的線性運算可將轉(zhuǎn)化為，則得到的值，進而即可求解．【詳解】因為，邊的中點為，所以，因為，所以，所以，所以，即，因為，所以，，故.故選：D．練習(xí)12．（2023春·浙江杭州·高三杭師大附中?？计谥校┢叫兴倪呅蜛BCD中，點E滿足，則（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算結(jié)合平面向量基本定理分析求解.【詳解】由題意可得：，即，則.故選：D.練習(xí)13．（2023春·陜西·高三校聯(lián)考期中）如圖，在平行四邊形中，.(1)若，試用表示；(2)若與交于點，且，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)平面向量加減法的運算規(guī)則計算；(2)先求出AG與GF的比值，以作為基底，將根據(jù)向量平行的運算規(guī)則計算.【詳解】（1）由題意可知，，所以，；（2）若，則，，由題意可知三點共線，，，由，可得，解得；綜上，（1），；（2）.練習(xí)14．（2023春·四川成都·高一校考期中）在中，點，滿足，，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由已知得，由此能求出結(jié)果．【詳解】在中，點，滿足，，，，，．故選：B．練習(xí)15．（2023春·廣東佛山·高三校考階段練習(xí)）已知在中，點為邊的中點，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用平面向量基本定理求得的值，進而求得的值.【詳解】在中，，又點為邊的中點，則，則又，則，則故選：C題型四 向量共線與三點共線例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系中，，分別是與軸、軸方向相同的單位向量，已知，，，若與共線，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．1 C．3 D．2【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的正交分解得到，，的坐標，然后利用坐標運算得到和的坐標，最后根據(jù)向量共線列方程求即可.【詳解】解：根據(jù)題意，，，；，；與共線；；解得．故選：A．例8．（2023春·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谥校┮阎瞧矫鎯?nèi)四個互不相同的點，為不共線向量，，，，則（

）A．M，N，P三點共線 B．M，N，Q三點共線 C．M，P，Q三點共線 D．N，P，Q三點共線【答案】B【分析】根據(jù)共線定理即可判斷各項.【詳解】對于A，令，即，所以，所以不存在，使得，A錯誤；對于B，由于，，所以，所以，又相交于點，故M、N、Q三點共線.B正確；對于C，，令，即，所以，所以不存在，使得，C錯誤；對于D，令，即，所以，所以不存在，使得，D錯誤.故選：B練習(xí)16．（2021春·高三課時練習(xí)）已知為平面內(nèi)所有向量的一組基底，，，，則與共線的條件為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】由題意可得存在使得，得到關(guān)于的方程組，根據(jù)方程組求解即可.【詳解】因為為平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以不共線，且不為零向量，由與共線可得使得，即，又因為不共線，所以，所以，故選：A練習(xí)17．（2023春·四川成都·高三川大附中?？计谥校┰O(shè)，是兩個不共線的非零向量，則“與共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用向量共線定理即可判斷.【詳解】“與共線”等價于.因為，是兩個不共線的非零向量，所以，解得：.所以“與共線”是“”的必要不充分條件.故選：B練習(xí)18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，中任意兩個都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量共線定理即可得到相關(guān)方程組，解出即可.【詳解】∵與共線，∴存在實數(shù)，使得.①又∵與共線，∴存在實數(shù)，使得.②由①得，.∴，∴即.∴故選：D.練習(xí)19．（2023春·陜西西安·高三交大附中?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)向量、是不共線的兩個平面向量，已知，其中，，若P、Q、R三點共線，則角的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】三點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，再由向量共線的列式求出值判斷作答.【詳解】因為三點共線，即共線，則存在實數(shù)使得，因此，又不共線，于是，解得，又，所以或.故選：CD練習(xí)20．（2022春·高一課時練習(xí)）已知三點共線，是直線外一點，若，則________．【答案】1【分析】根據(jù)平面向量的線性運算即可求解.【詳解】因為三點共線，則存在唯一實數(shù)對，使得，又，所以1．故答案為：1.題型五 平面向量共線定理的推論例9．（2023春·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？计谥校┮阎c共線于直線，對直線外任意一點，都有，則的最小值為________．【答案】【分析】先由A、B、C三點共線，得到，利用基本不等式“1”的妙用求最值.【詳解】由題意，A、B、C三點共線所以存在實數(shù)λ使得，即，所以而所以則，所以當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號．因此的最小值為．故答案為：．例10．（2022秋·江西宜春·高三校聯(lián)考期末）△ABC中，D為AB上一點且滿足，若P為CD線段上一點，且滿足（，為正實數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最小值為3【答案】D【分析】由向量對應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系用表示判斷A；由題設(shè)可得，結(jié)合共線有，結(jié)合基本不等式“1”的代換等判斷B、C、D.【詳解】由，A錯誤；由，則，因為共線，所以，則，B錯誤；而，僅當(dāng)，即時等號成立，故，即，故的最大值為，C錯誤；，僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為3，D正確.故選：D.練習(xí)21．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學(xué)?？级＃┲校cM是BC的中點，點N為AB上一點，AM與CN交于點D，且，.則（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量基本定理得到，結(jié)合平面向量共線定理得推論得到，求出.【詳解】因為點M是BC的中點，所以，故，則，故，因為三點共線，所以存在使得，即，則，所以，解得：.故選：A練習(xí)22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為線段上的任意一點，為直線外一點，關(guān)于點的對稱點為，若，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】依題意可得、、三點共線，即可得到，再由，即可得到，從而得解.【詳解】解：依題意可得、、三點共線，所以，又關(guān)于點的對稱點為，所以，又，所以，所以，，則.故選：C練習(xí)23．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知是平行四邊形對角線上的一點，且，其中，寫出滿足條件的與的一組的值__________．【答案】（答案不唯一，滿足或即可）【分析】若在上可得，若在上，根據(jù)共線定理的推論得到，填寫符合題意的答案即可.【詳解】因為，若在上，則，又，所以，若在上，即、、三點共線，又，則．故答案為：（答案不唯一，滿足或即可）練習(xí)24．（2023春·廣東深圳·高三深圳市高級中學(xué)校考期中）如圖所示，在中，為邊上一點，且，過的直線與直線相交于點，與直線相交于點（，兩點不重合）.(1)用，表示；(2)若，，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運算法則計算可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用，表示，根據(jù)、、三點共線找出等量關(guān)系，再利用基本不等式計算可得；【詳解】（1）因為，所以，化簡得；（2）因為，，，所以，由圖可知，又因為、、三點共線，所以，所以，當(dāng)，即時，取最小值.練習(xí)25．（2023秋·遼寧撫順·高三撫順一中校考期末）在平行四邊形中，分別為上的點，且，連接，與交于點，若，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的加法，結(jié)合共線向量定理的推論求解作答.【詳解】在中，不共線，因為，則有，又三點共線，于是得，解得，所以的值為.故答案為：題型六 平面向量的坐標運算例11．（湖南省名校2023屆高三考前仿真模擬（二）數(shù)學(xué)試題）（多選）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A選項根據(jù)向量的數(shù)量積運算判斷；B選項根據(jù)模長公式計算；C選項利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長公式計算；D選項根據(jù)向量的加法進行判斷.【詳解】因為，所以，則A正確；，則B正確；因為//，所以設(shè)，因為，所以，解得，所以或，故C錯誤；，故D錯誤．故選：AB例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知向量，，若向量，則可使成立的可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)，由平面向量的坐標運算可得用表示，逐項檢驗看是否滿足即可得答案.【詳解】設(shè)，由向量，，若向量，則，解得，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，．故選：AC．練習(xí)26．（2023春·貴州遵義·高三遵義市南白中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量，，.(1)求；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的坐標運算可求得向量的坐標；（2）求出向量、的坐標，利用平面向量共線的坐標表示可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）解：因為，，.所以，.（2）解：由已知可得，，因為，則，解得.練習(xí)27．（2023春·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點.(1)求以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；(2)若實數(shù)，滿足，求的值.【答案】(1)和(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標運算及模的坐標公式分別求出，，即可得解；（2）先分別求出，再根據(jù)向量相等的坐標表示即可得解.【詳解】（1）由，，，，所以以線段為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長分別為和；（2）∵，∴，所以.練習(xí)28．（2023·貴州黔東南·凱里一中校考模擬預(yù)測）若向量，，，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的坐標運算與平行充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值.【詳解】，因為，所以，解得.故選：A.練習(xí)29．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，則實數(shù)m的值為（

）．A． B． C． D．1【答案】D【分析】先求得的坐標，再由求解.【詳解】解：因為向量，，所以，又因為，所以，解得，故選：D練習(xí)30．（2023春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)校考期中）已知向量，，若，則m＝______．【答案】1【分析】根據(jù)向量的坐標運算可得向量，，再利用模長公式整理即可計算出.【詳解】根據(jù)題意可知，,,所以，由可得，整理可得，解得.故答案為：1題型七 平面向量基本定理例13．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知點O為坐標原點，，，點P在線段AB上，且，則點P的坐標為______．【答案】【分析】解設(shè)點坐標，根據(jù)已知得出，利用直線方程，解設(shè)點坐標，再根據(jù)，得出答案即可.【詳解】由題知，，設(shè)，，，，，，，，，則直線方程為，設(shè)點坐標為，，，，求解可得，，，即點坐標為.故答案為：例14．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）在下列各組向量中，能作為平面的基底的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】判斷兩個向量是否共線即可，不共線的兩個向量才能作為基底.【詳解】對于A，因為，所以，故兩向量不能作為基底；對于B，因為，所以兩向量不共線，故兩向量能作為基底；對于C，因為，所以，故兩向量不能作