專題12 圖形類規(guī)律探索（解析版）

專題12圖形類規(guī)律探索1．用正方形的白色水泥磚和灰色水泥磚按如圖所示的方式鋪人行道(1)第①個(gè)圖中有灰色水泥磚塊，第②個(gè)圖中有灰色水泥磚塊，第③個(gè)圖中有灰色水泥磚塊；(2)依次鋪下去，第n個(gè)圖中有灰色水泥磚塊．【答案】(1)4，7，10(2)（3n+1）【分析】（1）直接根據(jù)圖形得出灰色水泥磚的塊數(shù)即可；（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)得出變化規(guī)律為：3n+1，即可得出答案．(1)解：根據(jù)圖形可得圖①中有灰色水泥磚1+3=4塊，圖②中有灰色水泥磚1+2×3=7塊，圖③中有灰色水泥磚1+3×3=10塊；故答案為：4；7；10；(2)解：根據(jù)圖形可得圖①中有灰色水泥磚1+3=4塊，圖②中有灰色水泥磚1+2×3=7塊，圖③中有灰色水泥磚1+3×3=10塊；……依次鋪下去，第n個(gè)圖形中有灰色水泥磚（3n+1）塊；故答案為：（3n+1）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出發(fā)生變化的位置，并且觀察變化規(guī)律．注意由特殊到一般的分析方法．2．下面是一組有規(guī)律的圖案：（1）第1個(gè)圖案由4個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第2個(gè)圖案由個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，…，第10個(gè)圖案由個(gè)基礎(chǔ)圖形組成．（2）第n個(gè)圖案由個(gè)基礎(chǔ)圖形組成（用含n的代數(shù)式表示）．（3）在上面的圖案中，能否找得到一個(gè)由2020個(gè)基礎(chǔ)圖形組成的圖案？如果能，說(shuō)明是第幾個(gè)圖案；如果不能，說(shuō)明理由．【答案】（1）7，31；（2）（3n＋1）；（3）能，第2020個(gè)【分析】（1）根據(jù)圖（1）、圖（2）、圖（3）的基礎(chǔ)圖形個(gè)數(shù)進(jìn)行歸納總結(jié)，尋找規(guī)律，即可；（2）根據(jù)（1）得到的規(guī)律，即可寫出表達(dá)式；（3）能，因?yàn)榈趎個(gè)圖形有3n＋1個(gè)基礎(chǔ)圖形構(gòu)成，把2020代入，即可得3n＋1＝2020，解方程得n的整數(shù)解．【詳解】解：（1）由圖形得出，第二個(gè)圖形有7個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，第10個(gè)圖形有31個(gè)基礎(chǔ)圖形組成．故答案為：7，31；（2）通過(guò)（1）的結(jié)論尋找規(guī)律為，第n個(gè)圖形有（3n＋1）個(gè)基礎(chǔ)圖形組成．故答案為：（3n＋1）；（3）能，由（2）的結(jié)論推出第n個(gè)圖案由3n＋1個(gè)基礎(chǔ)圖形組成，列方程得：3n＋1＝2020，解得：n＝673，所以能找到一個(gè)有2020個(gè)基礎(chǔ)圖形組成的圖案．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類找規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．3．探究規(guī)律：將棋子按下面的方式擺出正方形．（1）按圖示規(guī)律，第（6）圖需要_______個(gè)棋子；（2）按照這種方式擺下去，擺第（為正整數(shù)）個(gè)正方形需要_______個(gè)棋子；（3）按照這種方式擺下去，擺第個(gè)正方形需要多少個(gè)棋子？【答案】（1）；（2）；（3）8080個(gè)【分析】（1）圖（1）可看作，圖（2）可看作，圖（3）可看作，據(jù)此可得：圖（6）可看作；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，圖可看作；（3）根據(jù)（2）的規(guī)律，圖可看作，將2020代入求解即可．【詳解】解：解：根據(jù)題中圖形可：第一個(gè)正文形需要個(gè)棋子；第二個(gè)正文形需要個(gè)棋子；第三個(gè)正文形需要個(gè)棋子；第四個(gè)正文形需要個(gè)棋子；第五個(gè)正文形需要個(gè)棋子；第六個(gè)正文形需要個(gè)棋子；第個(gè)正文形需要個(gè)棋子；則：（1）第（6）圖需要個(gè)棋子；（2）按照這種方式擺下去，擺第（為正整數(shù)）個(gè)正方形需要個(gè)棋子；（3）當(dāng)時(shí)，即：擺第個(gè)正方形時(shí)需要個(gè)棋子．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形類規(guī)律探索，讀懂題意，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒．（1）若搭5個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（2）若搭n個(gè)這樣的正方形，這需要根火柴棒；（3）若現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個(gè)這樣的正方形，還需要火柴棒多少根？【答案】（1）16；（2）3n+1；（3）還需要火柴83根．【分析】（1）根據(jù)搭1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)正方形所需火柴棒數(shù)，即可找到搭5個(gè)正方形所需火柴棒數(shù)；（2）根據(jù)圖形中火柴棒數(shù)目的變化，可找出搭n個(gè)這樣的正方形需要（3n+1）根火柴棒；（3）由（2）計(jì)算出搭701個(gè)這樣的正方形所需要的火柴棒數(shù)，從而可求解．【詳解】解：（1）∵搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒，∴搭4個(gè)正方形需要13根火柴棒，搭5個(gè)正方形需要16根火柴棒．故答案為：16；（2）∵搭一個(gè)正方形需要4根火柴棒，搭2個(gè)正方形需要7根火柴棒，搭3個(gè)正方形需要10根火柴棒，…，∴搭n個(gè)這樣的正方形需要（3n+1）根火柴棒．故答案為：（3n+1）；（3）3×701+1=2104，2104-2021=83，答：現(xiàn)在有2021根火柴棒，要搭701個(gè)這樣的正方形，還需要火柴83根．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)圖形中火柴棒數(shù)目的變化，找出搭5個(gè)正方形所需火柴棒數(shù)；（2）根據(jù)圖形中火柴棒數(shù)目的變化，找出火柴棒數(shù)目變化的規(guī)律；（3）根據(jù)規(guī)律解題．5．用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）第6個(gè)圖形有顆黑色棋子；

（2）寫出第n個(gè)圖形有顆黑色棋子；（3）是否存在某個(gè)圖形有2012顆黑色棋子？若存在，求出是第幾個(gè)圖形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）21；（2）3n+3；（3）不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，代入n=6求值即可；（2）根據(jù)（1）所找出的規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示即可求出答案；（3）令（2）題得到的代數(shù)式等于2012后求得n為正整數(shù)就可以，否則不可以．【詳解】解：解：第一個(gè)圖需棋子6，第二個(gè)圖需棋子9，第三個(gè)圖需棋子12，第四個(gè)圖需棋子15，第五個(gè)圖需棋子18，…第n個(gè)圖需棋子3（n+1）枚．（1）當(dāng)n=6時(shí)，3×（6+1）=21；（2）第n個(gè)圖需棋子3（n+1）枚．（3）設(shè)第n個(gè)圖形有2012顆黑色棋子，根據(jù)（1）得3（n+1）=2012解得n=，所以不存在某個(gè)圖形有2012顆黑色棋子．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并發(fā)現(xiàn)其圖形的變化規(guī)律．6．如圖，在邊長(zhǎng)都為a的正方形內(nèi)分別排列著一些大小相等的圓．（1）根據(jù)圖中的規(guī)律，第4個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是，第n個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是．（2）如果把正方形內(nèi)除去圓的部分都涂上陰影．①用含a的代數(shù)式分別表示第1個(gè)正方形中和第3個(gè)正方形中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）②若a＝10，請(qǐng)直接寫出第2014個(gè)正方形中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）【答案】（1）16，n2個(gè)；（2）①第一個(gè)a2；第三個(gè)a2；②100﹣25π．【分析】（1）先根據(jù)題中已知的三個(gè)圖形找到其中的規(guī)律，即可得出答案；（2）①利用陰影部分的面積等于正方形面積減去圓的面積即可得出答案；②從①中找到陰影部分面積存在的規(guī)律，利用規(guī)律即可求出答案.【詳解】解：（1）圖形①圓的個(gè)數(shù)是1，圖形②圓的個(gè)數(shù)是4，圖形③圓的個(gè)數(shù)是9，圖形④圓的個(gè)數(shù)是16，…；第n個(gè)正方形中圓的個(gè)數(shù)為n2個(gè)；（2）①第一個(gè)S陰影＝a2﹣π?（）2＝a2；第二個(gè)S陰影＝a2﹣4?π?（）2＝a2；第三個(gè)S陰影＝a2﹣9?π?（）2＝a2；②從以上計(jì)算看出三個(gè)圖形中陰影部分的面積均相等，與圓的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)．第n圖形中陰影部分的面積是S陰影＝a2﹣n2?π?（）2＝a2；當(dāng)a＝10，第2014個(gè)陰影部分的面積為×102＝100﹣25π．【點(diǎn)睛】本題主要結(jié)合圓的面積和正方形面積考查推理論證能力，找到題目中存在的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.7．如圖，是用長(zhǎng)度相同的小木棒按一定規(guī)律搭成的圖形．圖①用5根小木棒搭了一個(gè)五邊形；圖②用9根小木棒搭了兩個(gè)五邊形；圖③用13根小木棒搭了三個(gè)五邊形；……（1）按此規(guī)律搭下去，搭第n個(gè)圖形用了根小木棒；（直接寫出結(jié)果）（2）是否存在某個(gè)圖恰好用了2019根小木棒？如果存在，試求是第幾個(gè)圖形？如果不存在，試求用2019根小木棒按圖示規(guī)律最多能搭多少個(gè)五邊形？還剩余多少根小木棒？【答案】（1）4n+1（2）不存在，最多能搭504個(gè)五邊形，還剩2個(gè)木棒【分析】（1）根據(jù)觀察得到，每增加一個(gè)五邊形，則增加4個(gè)邊，根據(jù)該規(guī)律找到通項(xiàng)公式公式.（2）令（1）得到的的通項(xiàng)公式等于2019，去求解，結(jié)果為整數(shù)則恰好存在，不為整數(shù)時(shí)，即求出余數(shù)即可.【詳解】（1）根據(jù)觀察得到，每增加一個(gè)五邊形，則增加4個(gè)邊，第一個(gè)圖形5個(gè)邊，第二個(gè)圖形5+4=9個(gè)邊，第三個(gè)圖形5+4+4=5+4×2=13各邊，第四個(gè)圖形5+4+4+4=5+4×3=17個(gè)邊，按照此規(guī)律則第n個(gè)圖形有5+（n-1）×4=4n+1個(gè)邊.則第n個(gè)圖形用了4n+1個(gè)木棒.（2）令4n+1=2019，則4n=2018，此時(shí)n=504余2，故只能擺出504個(gè)五邊形，504個(gè)五邊形需要4×504+1=2017個(gè)木棒，2019-2017=2，則還剩2個(gè)木棒.【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)有關(guān)的圖形規(guī)律，解題關(guān)鍵在于充分觀察圖形之間邊長(zhǎng)的和與差的關(guān)系，然后找到對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式即可.8．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：經(jīng)觀察可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，照此規(guī)律，圖（7）比圖（6）多出_____個(gè)“樹枝”．【答案】80.【分析】結(jié)合題意，通過(guò)觀察已知圖形可以發(fā)現(xiàn)：圖（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，圖（5）比圖（4）多20個(gè)樹枝；以此類推可得圖（n）比圖（n-1）多出10×2n﹣4，將n=7代入，故圖（7）比圖（6）多出80個(gè)“樹枝”．【詳解】因?yàn)閳D（1）有1個(gè)“樹枝”，圖（2）有3“樹枝”，圖（3）有8樹枝”，…，則可得（2）比圖（1）多出2個(gè)“樹枝”，圖（3）比圖（2）多出5個(gè)“樹枝”，圖（4）比圖（3）多出10個(gè)“樹枝”，圖（5）比圖（4）多20個(gè)樹枝，從（2）圖開始，圖（n）比圖（n-1）多出10×2n﹣4，將n=7代入，則第（7）個(gè)圖比第（6）個(gè)圖多：10×23＝80個(gè)故答案為80．【點(diǎn)睛】本題考查圖形類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)D形類變化規(guī)律的基本方法，仔細(xì)觀察，找出規(guī)律.9．如圖，三角形ABC內(nèi)部有若干個(gè)點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及三角形ABC的頂點(diǎn)A、B、C把原三角形分割成一些小的三角形（互相不重疊）：填寫下表：（2）原三角形能否被分割成2013個(gè)小三角形？若能，求此時(shí)三角形ABC內(nèi)部有多少個(gè)點(diǎn)？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）由題意得三角形ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)1234…分割成的三角形的個(gè)數(shù)3579…2n+1（2）能，1006.【詳解】試題分析：（1）觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)：內(nèi)部每多一個(gè)點(diǎn)，則多2個(gè)三角形，則易得到；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列方程求解即可．（1）由題意得三角形ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)1234…分割成的三角形的個(gè)數(shù)3579…2n+1（2）由題意得，解得所以原三角形能被分割成2013個(gè)小三角形，此時(shí)三角形ABC內(nèi)部有1006個(gè)點(diǎn).考點(diǎn)：找規(guī)律-圖形的變化點(diǎn)評(píng)：解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意及圖形特征找到規(guī)律，再把這個(gè)規(guī)律應(yīng)用于解題.10．把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案中有1個(gè)黑色三角形，第②個(gè)圖案中有3個(gè)黑色三角形，第③個(gè)圖案中有6個(gè)黑色三角形…按此規(guī)律排列下去，解答下列問(wèn)題：(1)第④個(gè)圖案中有______個(gè)黑色三角形．(2)求第?個(gè)圖案中有多少個(gè)黑色三角形？（用含n的代數(shù)式表示）(3)求第100個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)．【答案】(1)10(2)n（n+1）(3)5050【分析】（1）第④個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有（1+2+3+4）個(gè)；（2）根據(jù)圖形的變化規(guī)律總結(jié)出第n個(gè)圖形黑色三角的個(gè)數(shù)為n（n+1）；（3）把n＝100代入（2）中得到的式子即可．(1)解：由圖形的變化規(guī)律知，第④個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4＝10，故答案是：10；(2)解：∵第①個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1，第②個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2＝3，第③個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3＝6，第④個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+4＝10，…，∴第n個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)有：1+2+3+…+n＝n（n+1），答：第?個(gè)圖案中有n（n+1）個(gè)黑色三角形；(3)解：當(dāng)n＝100時(shí)，n（n+1）＝＝5050（個(gè)），答：第100個(gè)圖案中黑色三角形的個(gè)數(shù)是5050．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律和一元二次方程的應(yīng)用，歸納出第n個(gè)圖形黑色三角的個(gè)數(shù)為n（n+1）是解題的關(guān)鍵．11．【教材回顧】課本88頁(yè)，有這樣一段文字：人們通過(guò)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)，如果早晨天空中有棉絮狀的高積云，那么午后常有雷雨降臨，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨臨”的諺語(yǔ)．在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)常用這樣的方法探究規(guī)律．【數(shù)學(xué)問(wèn)題】三角形有3個(gè)頂點(diǎn)，如果在它的內(nèi)部再畫n個(gè)點(diǎn)，并以這（n+3）個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫三角形，那么最多可以剪得多少個(gè)這樣的三角形？【問(wèn)題探究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以從n＝1，2，3等具體的、簡(jiǎn)單的情形入手，搜索最多可以剪得的三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律．三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)圖形最多剪出的小三角形個(gè)數(shù)1325374……a………………【問(wèn)題解決】（1）表格中的a＝；（2）你發(fā)現(xiàn)的變化規(guī)律是：三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加個(gè)；（3）猜想：當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得個(gè)三角形；像這樣通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單情形的觀察、分析，從特殊到一般地探索這類現(xiàn)象的規(guī)律、提出猜想的思想方法稱為歸納．【類比應(yīng)用】（1）四邊形有4個(gè)頂點(diǎn)，在它的內(nèi)部畫1個(gè)點(diǎn)，把四邊形剪成若干個(gè)小三角形，最多可以剪得個(gè)小三角形；（2）四邊形內(nèi)部每增加1個(gè)點(diǎn)，最多剪得的三角形增加個(gè)；（3）當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得個(gè)三角形；（4）m邊形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以剪得個(gè)三角形．【答案】問(wèn)題解決（1）9；（2）2；（3）2n+1；類比應(yīng)用（1）4；（2）2；（3）2n＋2；（4）2n+m-2【分析】問(wèn)題解決（1）利用表格中數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化可推出n=4時(shí)，最多剪得的三角形的個(gè)數(shù)；（2）利用（1）中數(shù)據(jù)得出三角形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律即可；（3）利用（2）中變化規(guī)律即可得出當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得三角形的個(gè)數(shù)；類比應(yīng)用（1）根據(jù)題意畫出一個(gè)四邊形，在四邊形內(nèi)任意畫一點(diǎn)，將該點(diǎn)與四個(gè)頂點(diǎn)相連接得到四個(gè)小三角形，即可得到答案；（2）將四邊形內(nèi)的點(diǎn)增加到兩個(gè)，連接所有點(diǎn)得到6個(gè)小三角形，以此類推找到規(guī)律即可求解；（3）利用（2）中變化規(guī)律得出當(dāng)四邊形形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得三角形的個(gè)數(shù)，進(jìn)而利用補(bǔ)項(xiàng)法求出答案；（4）根據(jù)問(wèn)題解決（3）以及類比應(yīng)用（3）找到的規(guī)律，再驗(yàn)證五邊形、六邊形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)可剪得三角形個(gè)數(shù)找到規(guī)律求解．【詳解】解：?jiǎn)栴}解決（1）∵當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多可以剪得3個(gè)三角形；當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多可以剪得5個(gè)三角形；當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，最多可以剪得7個(gè)三角形；∴當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí)，最多可以剪得9個(gè)三角形；故答案為9；（2）由（1）的結(jié)果可得出：三角形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加2個(gè)；故答案為2；（3）∵1×2+1=3，2×2+1=5，3×2+1=7，∴當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得(2n+1)個(gè)三角形；故答案為2n+1；類比應(yīng)用（1）根據(jù)題意當(dāng)四邊形內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以剪出4個(gè)小三角形；故答案為：4；（2）∵當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，最多可以剪得4個(gè)三角形；當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，最多可以剪得6個(gè)三角形；當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3時(shí)，最多可以剪得8個(gè)三角形；當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4時(shí)，最多可以剪得10個(gè)三角形；∴變化規(guī)律是：四邊形內(nèi)的點(diǎn)每增加1個(gè)，最多剪得的三角形增加2個(gè)；故答案為：2；（3）∵1×2＋2＝4，2×2＋2＝6，3×2＋2＝8，∴當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得2n＋2個(gè)三角形；故答案為：2n＋2；（4）當(dāng)三角形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得2n＋1個(gè)三角形；當(dāng)四邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得2n＋2個(gè)三角形；當(dāng)五邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得2n＋3個(gè)三角形；當(dāng)六邊形內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n時(shí)，最多可以剪得2n＋4個(gè)三角形；當(dāng)m邊形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，最多可以剪2n+m-2個(gè)三角形；故答案為：2n+m-2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形變化類，根據(jù)題意得出圖形中三角形個(gè)數(shù)變化規(guī)律以及根據(jù)三角形和四邊形得到的規(guī)律推斷多邊形的規(guī)律是解題關(guān)鍵．12．圖1是一個(gè)三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖2；再分別連接圖2中間小三角形的中點(diǎn)得到圖3．（1）圖2有______個(gè)三角形；圖3中有_______個(gè)三角形（包含原三角形）（2）按上面方法繼續(xù)下去，第n個(gè)圖中有_______個(gè)三角形．（用n的代數(shù)式表示結(jié)論）（3）第100個(gè)圖形中有多少個(gè)三角形？【答案】（1）5，9；（2）（4n-3）；（3）397【分析】（1）正確數(shù)一下（2）（3）中，三角形的個(gè)數(shù)；（2）可以得到（3）比（2）增加了3個(gè)三角形，同理（4）比（3）增加了3個(gè)三角形，依此類推即可求解；（3）利用規(guī)律進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）圖2有5個(gè)三角形；圖3中有9個(gè)三角形，故答案是：5，9；（2）按上面方法繼續(xù)下去，可以得到（4）比（3）增加了4個(gè)三角形，依此類推，第個(gè)圖中有個(gè)三角形，故答案是：；（3）當(dāng)，，故答案為：（1）5，9；（2）；（3）397．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的敘述，求出幾個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)，從而求出規(guī)律．13．如圖，中間用相同的白色正方形瓷磚，四周用相同的黑色長(zhǎng)方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察圖形并解決下列問(wèn)題．（1）在圖4中，黑色瓷磚有塊，白色瓷磚有塊；（2）已知正方形白色瓷磚邊長(zhǎng)為1米，長(zhǎng)方形黑色瓷磚長(zhǎng)為1米，寬為0.5米．現(xiàn)準(zhǔn)備按照此圖案進(jìn)行裝修，瓷磚無(wú)需切割，恰好能完成鋪設(shè)．已知白色瓷磚每塊100元，黑色瓷磚每塊50元，貼瓷磚的費(fèi)用每平方米15元．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：①鋪設(shè)圖2需要的總費(fèi)用為元；②鋪設(shè)圖n需要的總費(fèi)用為多少元？（用含n的代數(shù)式表示）【答案】（1）20；20；（2）①1380；②．【分析】（1）通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出，第個(gè)圖形中，黑色瓷磚的塊數(shù)可以表示為，白瓷磚的塊數(shù)可以表示為，將代入即可求解；（2）①求得圖2的白瓷磚的塊數(shù)和黑色瓷磚的塊數(shù)，然后再求得占用的面積，根據(jù)費(fèi)用求解即可；②求得圖n的白瓷磚的塊數(shù)和黑色瓷磚的塊數(shù)，然后再求得占用的面積，根據(jù)費(fèi)用求解即可；【詳解】解：（1）通過(guò)觀察圖形可知，時(shí)，黑色瓷磚的塊數(shù)為8，白色瓷磚的塊數(shù)為2時(shí)，黑色瓷磚的塊數(shù)為12，白色瓷磚的塊數(shù)為6時(shí)，黑色瓷磚的塊數(shù)為16，白色瓷磚的塊數(shù)為12則第個(gè)圖形中，黑色瓷磚的塊數(shù)可以表示為，白瓷磚的塊數(shù)可以表示為當(dāng)時(shí)，黑色瓷磚的塊數(shù)為20，白瓷磚的塊數(shù)為20故答案為20，20（2）①圖2，黑色瓷磚的塊數(shù)為12，白色瓷磚的塊數(shù)為6，所占用的面積為（平方米）所需的費(fèi)用為（元）故答案為②第個(gè)圖形中，黑色瓷磚的塊數(shù)可以表示為，白瓷磚的塊數(shù)可以表示為占用的面積為所需的費(fèi)用為故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探索問(wèn)題，涉及了列代數(shù)式，整式的乘法等運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)前面圖形，找到規(guī)律．14．用黑白兩種顏色的瓷磚按下圖所示的方式鋪設(shè)地面，第1層為1塊白色瓷磚，第2層為3塊黑色瓷磚，第3層為5塊白色瓷磚……（1）第7層共有塊瓷磚，第n（n為正整數(shù)）層共有塊瓷磚；（2）若按圖示方式鋪設(shè)n（n為正整數(shù)）層瓷磚，求黑白兩種顏色瓷磚的數(shù)量差．【答案】（1）13，2n-1；（2）黑白兩種顏色瓷磚的數(shù)量差為．【分析】（1）根據(jù)題意即可得第7層共有2×7-1=13塊瓷磚；第n層共有（2n-1）塊瓷磚；（2）先計(jì)算前幾層黑白兩種顏色瓷磚的數(shù)量差，找到規(guī)律，即可求黑白兩種顏色瓷磚的數(shù)量差．【詳解】（1）根據(jù)題意可知：第1層為2×1-1=1塊白色瓷磚；第2層為2×2-1=3塊黑色瓷磚；第3層為2×3-1=5塊白色瓷磚；……第7層共有2×7-1=13塊瓷磚；所以第n層共有（2n-1）塊瓷磚；故答案為：13；（2n-1）；（2）當(dāng)時(shí)，白色-黑色；當(dāng)時(shí)，黑色-白色；當(dāng)時(shí)，白色-黑色；當(dāng)時(shí)，黑色-白色；當(dāng)時(shí)，白色-黑色；當(dāng)時(shí)，黑色-白色；，可得規(guī)律，層瓷磚，兩種顏色差為．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．15．將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）填寫下表：圖形序號(hào)12345小圓個(gè)數(shù)61016（2）照這樣的規(guī)律擺放，第99個(gè)這樣的圖形需要_______個(gè)小圓；（3）第n個(gè)這樣的圖形需要_______個(gè)小圓．【答案】（1）24，34；（2）9904；（3）n2+n+4【分析】（1）由題意可知：第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1×2+4=6；第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為2×3+4=10；第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為3×4+416；第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為4×5+4=24；第5個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為5×6+4=34；（2）由（1）的結(jié)論可求得第99個(gè)這樣的圖形需要多少個(gè)小圓即可；（3）由分析（1）、（2）可得第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為n（n+1）+4．【詳解】解：分析數(shù)據(jù)可得：第1個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1×2+4=6；第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為2×3+4=10；第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為3×4+4=16；第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為4×5+4=24；第5個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為5×6+4=34；故填表得：圖形序號(hào)12345小圓個(gè)數(shù)610162434（2）照這樣的規(guī)律擺放，第99個(gè)這樣的圖形需要小圓的個(gè)數(shù)為：99×100+4=9904（3）第n個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為n（n+1）+4=n2+n+4．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．16．用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片，按下圖方式拼正方形．第（1）個(gè)圖形中有1個(gè)正方形；第（2）個(gè)圖形有1+3＝4個(gè)小正方形；第（3）個(gè)圖形有1+3+5＝9個(gè)小正方形；第（4）個(gè)圖形有1+3+5+7＝16小正方形；……（1）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝（用含n的代數(shù)式表示）；（2）請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：①1+3+5+7+…+79；②81+83+85+…+399．【答案】（1）；（2）①1600；②38400【分析】（1）直接分別解各數(shù)據(jù)得出答案；（2）①利用（1）規(guī)律求出答案；②由以上規(guī)律可得原式可看作是2002-402．【詳解】解：第（1）個(gè)圖形中有1=12個(gè)正方形；第（2）個(gè)圖形有1＋3＝4=22個(gè)小正方形；第（3）個(gè)圖形有1＋3＋5＝9=32個(gè)小正方形；第（4）個(gè)圖形有1+3+5+7=16=42小正方形；……第n個(gè)圖形有1+3+5+…+(2n-1)=n2小正方形；（1）1+3+5+…+（2n-1）=n2；（2）①1＋3＋5＋7＋…＋79=402=1600；②81+83+85+…+399=(1＋3＋5＋7＋…＋399)-(1＋3＋5＋7＋…＋79)=2002-402=38400．【點(diǎn)睛】此題主要考查了圖形的變化類，正確得出數(shù)字