大學(xué)《微積分》課件4冪級(jí)數(shù)

§7.5冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)

的級(jí)數(shù)稱為(x

x0)的冪級(jí)數(shù)

其中a0

a1

a2

an

都是常數(shù)

叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù)

形如一、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域

當(dāng)x0

0時(shí)

上述冪級(jí)數(shù)成為稱為x的冪級(jí)數(shù)

冪級(jí)數(shù)

(x

x0)的冪級(jí)數(shù)提問

下列級(jí)數(shù)中哪些級(jí)數(shù)是冪級(jí)數(shù)？1

x

x2

x3

xn

下面我們主要討論x的冪級(jí)數(shù)給定上述冪級(jí)數(shù)變成若上述級(jí)數(shù)收斂，這稱為級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn).若上述級(jí)數(shù)發(fā)散，這稱為級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).全體收斂點(diǎn)的集合稱為級(jí)數(shù)的收斂域.根據(jù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂性的判別方法

對(duì)于冪級(jí)數(shù)nnnxa?￥=0,

設(shè)laannn=+￥?||lim1.

如何求收斂域呢？收斂半徑

若有正數(shù)R

使當(dāng)|x|

R時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

當(dāng)|x|

R時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散

則稱R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

開區(qū)間(

R

R)稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間

收斂域(

R

R)，[

R

R),(

R

R],[

R

R]之一.說明(1)冪級(jí)數(shù)只在x

0處收斂

則規(guī)定R

0

收斂域?yàn)辄c(diǎn)x

0

(2)冪級(jí)數(shù)對(duì)任何x都收斂

則記作R

收斂域?yàn)?

,

)

(3)當(dāng)0

R

時(shí)

要對(duì)點(diǎn)x

R處級(jí)數(shù)的斂散情況專門討論

以決定收斂域是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開區(qū)間

求冪級(jí)數(shù)收斂域的步驟首先求出收斂半徑R

如果0

R

則再判斷x

R時(shí)冪級(jí)數(shù)的斂散性

最后寫出收斂域

定理7

13(收斂半徑的確定)

(2)當(dāng)l

0時(shí)

R

(3)當(dāng)l

時(shí)

R

0

解

因?yàn)樗詢缂?jí)數(shù)的收斂半徑為R

1

因此

冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?

1,1]

解

因?yàn)樗詢缂?jí)數(shù)的收斂半徑為R

1

因此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?

1,1)

其和為在收斂域上，冪級(jí)數(shù)的和是關(guān)于x的函數(shù)S(x)，稱S(x)為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).

解

因?yàn)樗詢缂?jí)數(shù)的收斂半徑為R

收斂域?yàn)?

,

)

解

因?yàn)樵?jí)數(shù)可化為

級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

即

1

x

0時(shí)

因此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇

1,0)

所以冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R

因此當(dāng)|x

|

解

因?yàn)榫毩?xí)求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域收斂半徑，

收斂域收斂半徑，

收斂域收斂半徑，

收斂域二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1(冪級(jí)數(shù)的和)

R1及R2

則其收斂半徑R=min{R1,R2}

性質(zhì)2(和函數(shù)的連續(xù)性)區(qū)間(

R,R)內(nèi)

它的和函數(shù)S(x)是連續(xù)的

注：如果冪級(jí)數(shù)在x=

R或(x=

R)也收斂

則它的和函數(shù)S(x)在區(qū)間[

R,R)或(

R,R]是連續(xù)的

性質(zhì)3(逐項(xiàng)積分公式)

即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分

并且積分后級(jí)數(shù)的收斂半徑也是R

性質(zhì)4(逐項(xiàng)求導(dǎo)公式)

即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)微分

并且微分后級(jí)數(shù)的收斂半徑也是R

性質(zhì)3(逐項(xiàng)積分公式)

性質(zhì)4(逐項(xiàng)求導(dǎo)公式)

注：如果逐項(xiàng)積分或逐項(xiàng)求導(dǎo)后的冪級(jí)數(shù)在x=

R或(x=

R)處則在x=

R或x=R處上面的兩個(gè)等式也成立

收斂

收斂半徑為R

1

因此冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?

1,1)

在收斂域上，冪級(jí)數(shù)的和是關(guān)于x的函數(shù)S(x)，稱S(x)為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).在例2中，都是收斂的，并且給定一個(gè)x，級(jí)數(shù)都有一個(gè)確定的和與之對(duì)應(yīng)，的和為

解

因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?

1,1)

設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)

則

解

例7求級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：顯然，收斂域?yàn)?

1,1].–1<x<1兩邊積分得：又x=1時(shí)，收斂，則冪級(jí)數(shù)的和函