新課標(biāo)高中物理模型與方法專題14“等效重力場(chǎng)”模型（解析版）

專題14“等效重力場(chǎng)”模型目錄TOC\o"1-3"\h\u一.“等效重力場(chǎng)”模型解法綜述 1二．“等效重力場(chǎng)”中的直線運(yùn)動(dòng)模型 1三．“等效重力場(chǎng)”中的拋體類運(yùn)動(dòng)模型 4四．“等效重力場(chǎng)”中的單擺類模型 10五．“等效重力場(chǎng)”中的圓周運(yùn)動(dòng)類模型 15一.“等效重力場(chǎng)”模型解法綜述將一個(gè)過程或事物變換成另一個(gè)規(guī)律相同的過程和或事物進(jìn)行分析和研究就是等效法．中學(xué)物理中常見的等效變換有組合等效法（如幾個(gè)串、并聯(lián)電阻器的總電阻）；疊加等效法（如矢量的合成與分解）；整體等效法（如將平拋運(yùn)動(dòng)等效為一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)自由落體運(yùn)動(dòng)）；過程等效法（如將熱傳遞改變物體的內(nèi)能等效為做功改變物體的內(nèi)能）“等效重力場(chǎng)”建立方法——概念的全面類比為了方便后續(xù)處理方法的遷移，必須首先搞清“等效重力場(chǎng)”中的部分概念與復(fù)合之前的相關(guān)概念之間關(guān)系．具體對(duì)應(yīng)如下：等效重力場(chǎng)重力場(chǎng)、電場(chǎng)疊加而成的復(fù)合場(chǎng)等效重力重力、電場(chǎng)力的合力等效重力加速度等效重力與物體質(zhì)量的比值等效“最低點(diǎn)”物體自由時(shí)能處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的位置等效“最高點(diǎn)”物體圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)與等效“最低點(diǎn)”關(guān)于圓心對(duì)稱的位置等效重力勢(shì)能等效重力大小與物體沿等效重力場(chǎng)方向“高度”的乘積二．“等效重力場(chǎng)”中的直線運(yùn)動(dòng)模型【運(yùn)動(dòng)模型】如圖所示，在離坡底為L的山坡上的C點(diǎn)樹直固定一根直桿，桿高也是L．桿上端A到坡底B之間有一光滑細(xì)繩，一個(gè)帶電量為q、質(zhì)量為m的物體穿心于繩上，整個(gè)系統(tǒng)處在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，已知細(xì)線與豎直方向的夾角θ=30o．若物體從A點(diǎn)由靜止開始沿繩無摩擦的滑下，設(shè)細(xì)繩始終沒有發(fā)生形變，求物體在細(xì)繩上滑行的時(shí)間．（g=10m/s2，sin37o=0.6，cos37o=0.8）EEABC因細(xì)繩始終沒有發(fā)生形變，故知在垂直繩的方向上沒有壓力存在，即帶電小球受到的重力和電場(chǎng)力的合力方向沿繩的方向．建立“等效重力場(chǎng)”如圖所示AABCg'“等效重力場(chǎng)”的“等效重力加速度”，方向：與豎直方向的夾角，大?。簬щ娦∏蜓乩K做初速度為零，加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②兩式解得“等效重力場(chǎng)”的直線運(yùn)動(dòng)的幾種常見情況勻速直線運(yùn)動(dòng)勻加速直線運(yùn)動(dòng)勻減速直線運(yùn)動(dòng)θθv0mgqEθθv0mgqEF合θθv0mgqEF合【模型演練1】.(2020·浙江寧波市重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖所示，相距為d的平行板A和B之間有電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．電場(chǎng)中C點(diǎn)距B板的距離為0.3d，D點(diǎn)距A板的距離為0.2d，有一個(gè)質(zhì)量為m的帶電微粒沿圖中虛線所示的直線從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，若重力加速度為g，則下列說法正確的是()A．該微粒在D點(diǎn)時(shí)的電勢(shì)能比在C點(diǎn)時(shí)的大B．該微粒做勻變速直線運(yùn)動(dòng)C．在此過程中電場(chǎng)力對(duì)微粒做的功為0.5mgdD．該微粒帶正電，所帶電荷量大小為q＝eq\f(mg,E)【答案】C【解析】由題知，微粒沿直線運(yùn)動(dòng)，可知重力和電場(chǎng)力二力平衡，微粒做勻速直線運(yùn)動(dòng)，微粒帶負(fù)電，B、D錯(cuò)誤；微粒從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，A錯(cuò)誤；此過程中電場(chǎng)力對(duì)微粒做的功為W＝Fx＝mg(d－0.3d－0.2d)＝0.5mgd，C正確．【模型演練2】(2020·浙江金華十校4月模擬)如圖所示，質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電小滑塊(可視為質(zhì)點(diǎn))，從絕緣斜面頂端由靜止開始勻加速下滑，下滑高度為2h后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域，再下滑高度h后到達(dá)斜面底端，勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域有理想邊界，電場(chǎng)強(qiáng)度E方向豎直向下，且qE＝mg，小滑塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ恒定．則下列說法正確的是()A．滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后的加速度大小之比為1∶2B．滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后的加速度大小保持不變C．滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后兩個(gè)階段的滑行時(shí)間之比為(eq\r(2)＋1)∶1D．滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后兩個(gè)階段滑行時(shí)的摩擦力做功之比為2∶1【答案】A【解析】設(shè)斜面傾角為θ，由牛頓第二定律可知滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前加速度為a1＝eq\f(mgsinθ－μmgcosθ,m)＝gsinθ－μgcosθ滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域后加速度為a2＝eq\f(mg＋qEsinθ－μmg＋qEcosθ,m)由于qE＝mg，則a2＝2(gsinθ－μgcosθ)＝2a1則滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后的加速度大小之比為1∶2，故A正確，B錯(cuò)誤；設(shè)滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前瞬間的速度為v0，則有v02＝2a1·eq\f(2h,sinθ)滑塊到達(dá)斜面底端時(shí)的速度有v2－v02＝2a2·eq\f(h,sinθ)且a2＝2a1，則v＝eq\r(2)v0，由公式x＝eq\f(v0＋vt,2)t可得滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后兩個(gè)階段的滑行時(shí)間之比為eq\f(t1,t2)＝2(eq\r(2)＋1)，故C錯(cuò)誤；滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后的摩擦力分別為Ff1＝μmgcosθ，F(xiàn)f2＝μ(mg＋qE)cosθ＝2μmgcosθ由功定義式W＝Fx可知，滑塊進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)區(qū)域前后兩個(gè)階段滑行時(shí)的摩擦力做功之比為1∶1，故D錯(cuò)誤．【典例分析3】(2020·陜西榆林市高三第一次模擬)如圖，平行板電容器兩個(gè)極板與水平地面成2α角，在平行板間存在著勻強(qiáng)電場(chǎng)，直線CD是兩板間一條垂直于板的直線，豎直線EF與CD交于O點(diǎn)，一個(gè)帶電小球沿著∠FOD的角平分線從A點(diǎn)經(jīng)O點(diǎn)向B點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g.則在此過程中，下列說法正確的是()A．小球帶正電B．小球可能做勻加速直線運(yùn)動(dòng)C．小球加速度大小為gcosαD．小球重力勢(shì)能的增加量等于電勢(shì)能的增加量【答案】D【解析】帶電小球沿著∠FOD的角平分線從A點(diǎn)經(jīng)O點(diǎn)向B點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，所以小球所受合外力沿BA方向，又由于小球受重力，所以電場(chǎng)力的方向由O到D，由于此電場(chǎng)的方向未知，所以小球的電性不能確定，小球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，故A、B錯(cuò)誤；由題圖可知，由于OA是角平分線，且小球的加速度方向由O到A，據(jù)幾何關(guān)系可知a＝2gcosα，故C錯(cuò)誤；由分析可知，小球所受重力大小等于電場(chǎng)力大小，運(yùn)動(dòng)的位移與重力、電場(chǎng)力的夾角相同，所以二力做的功相同，據(jù)功能關(guān)系可知，小球重力勢(shì)能的增加量等于電勢(shì)能的增加量，故D正確．三．“等效重力場(chǎng)”中的拋體類運(yùn)動(dòng)模型【運(yùn)動(dòng)模型】如圖所示，在電場(chǎng)強(qiáng)度為E的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)中，以初速度為豎直向上發(fā)射一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電小球，求小球在運(yùn)動(dòng)過程中具有的最小速度．vv0E建立等效重力場(chǎng)如圖所示，等效重力加速度θθxyg'v）g設(shè)與豎直方向的夾角為θ，則其中則小球在“等效重力場(chǎng)”中做斜拋運(yùn)動(dòng)當(dāng)小球在y軸方向的速度減小到零，即時(shí)，兩者的合速度即為運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度【模型演練1】.(2020·河南高三二模)如圖所示，在電場(chǎng)強(qiáng)度方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的粒子從A點(diǎn)以初速度v0豎直向上拋出，粒子運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度方向水平，大小也為v0，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．下列說法正確的是()A．粒子在該過程中克服電場(chǎng)力做功eq\f(1,2)mv02B．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為eq\f(2mg,q)C．粒子在A點(diǎn)的電勢(shì)能比在B點(diǎn)的電勢(shì)能大eq\f(1,2)mv02D．粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為eq\f(v0,g)【答案】CD【解析】豎直方向粒子在重力作用下做加速度為g的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，則v0＝gt，t＝eq\f(v0,g)，水平方向粒子在電場(chǎng)力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則v0＝at＝eq\f(Eq,m)t則a＝g；勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E＝eq\f(mg,q)，B錯(cuò)誤，D正確．從A到B電場(chǎng)力做正功W＝qE·eq\f(v\o\al(,02),2a)＝eq\f(1,2)mv02則電勢(shì)能減小eq\f(1,2)mv02，則粒子在A點(diǎn)的電勢(shì)能比在B點(diǎn)的電勢(shì)能大eq\f(1,2)mv02，C正確，A錯(cuò)誤．【模型演練2】(2021·廣東珠海一模)如圖所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，質(zhì)量為的帶電小球，以初速度v從點(diǎn)豎直向上運(yùn)動(dòng)，通過點(diǎn)時(shí)，速度大小為2v，方向與電場(chǎng)方向相反，則小球從運(yùn)動(dòng)到的過程A．動(dòng)能增加B．機(jī)械能增加C．重力勢(shì)能增加D．電勢(shì)能增加【答案】B【解析】帶電小球M到N過程動(dòng)能增量為，故A錯(cuò)誤；帶電小球在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向受重力做勻減速運(yùn)動(dòng)，水平方向受電場(chǎng)力做勻加速運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，可得，豎直方向的位移，水平方向的位移，因此有，對(duì)小球由動(dòng)能定理有，聯(lián)立上式可解得，，因此電場(chǎng)力做正功，機(jī)械能增加，故機(jī)械能增加，電勢(shì)能減少，故B正確D錯(cuò)誤，重力做負(fù)功重力勢(shì)能增加量為，故C錯(cuò)誤?！灸Ｐ脱菥?】（2021屆重慶巴蜀中學(xué)高三月考）勻強(qiáng)電場(chǎng)平行于紙面（未畫出），如圖，質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子以豎直向下的初速度v0開始在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)（記為t=0），t=t0時(shí)刻速度最小且為，圖中虛線為該離子的運(yùn)動(dòng)軌跡。不計(jì)重力，則下列說法正確的是（）A．勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向斜向左上方，與豎直方向夾角為60°B．勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為C．t=3t0時(shí)刻，離子的速度大小為D．從t=0到t=3t0，離子的位移為【答案】BCD【解析】A．設(shè)電場(chǎng)與豎直方向夾角為θ，粒子沿電場(chǎng)力方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，垂直電場(chǎng)力方向做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)沿電場(chǎng)力方的速度減為零時(shí)，粒子的速度最小，因最小值為，則由幾何關(guān)系可知?jiǎng)tθ=30°即勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向斜向左上方，與豎直方向夾角為30°，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．在沿電場(chǎng)方向上解得選項(xiàng)B正確；C．t=3t0時(shí)刻，離子沿電場(chǎng)方向的速度大小為（負(fù)號(hào)表示與初速度方向相反）此時(shí)的合速度選項(xiàng)C正確；D．從t=0到t=3t0，離子沿電場(chǎng)力方向的位移垂直電場(chǎng)力方向的位移為則總位移選項(xiàng)D正確；故選BCD?！灸Ｐ脱菥?】（2021·河北省武安三中高三上學(xué)期11月期中）在電場(chǎng)方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一帶電小球從A點(diǎn)豎直向上拋出，其運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，小球運(yùn)動(dòng)的軌跡上A、B兩點(diǎn)在同一水平線上，M為軌跡的最高點(diǎn)，小球拋出時(shí)的動(dòng)能為8.0J，在M點(diǎn)的動(dòng)能為6.0J，不計(jì)空氣的阻力，則（）A.從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)電勢(shì)能增加2JB.小球水平位移x1與x2的比值1：4C.小球落到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能24JD.小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中動(dòng)能有可能小于6J【答案】D【解析】將小球的運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直方向正交分解，水平分運(yùn)動(dòng)為初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，豎直分運(yùn)動(dòng)為勻變速直線運(yùn)動(dòng)；

A．從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)過程中，電場(chǎng)力做正功，電勢(shì)能減小，故A錯(cuò)誤；B．對(duì)于初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在連續(xù)相等的時(shí)間間隔內(nèi)位移之比為1：3，故B錯(cuò)誤；

C．設(shè)物體在B動(dòng)能為EkB，水平分速度為VBx，豎直分速度為VBy。

由豎直方向運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性知mVBy2=8J對(duì)于水平分運(yùn)動(dòng)Fx1=mVMx2-mVAX2F（x1+x2）=mVBx2-mVAX2x1：x2=1：3解得：Fx1=6J；F（x1+x2）=24J故EkB=m（VBy2+VBx2）=32J故C錯(cuò)誤；D．由于合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，設(shè)小球所受的電場(chǎng)力為F，重力為G，則有：Fx1=6JGh=8J所以：由右圖可得：

所以則小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過程中速度最小時(shí)速度一定與等效G’垂直，即圖中的P點(diǎn)，故故D正確。故選D?！灸Ｐ脱菥?】（2021·江西省五校高三上學(xué)期12月月考）從地面以v0斜向上拋出一個(gè)質(zhì)量為m的小球，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，小球具有的動(dòng)能與勢(shì)能之比是9∶16，取地面為重力勢(shì)能參考面，不計(jì)空氣阻力．現(xiàn)在此空間加上一個(gè)平行于小球平拋平面的水平電場(chǎng)，以相同的初速度拋出帶上正電荷量為q的原小球，小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與拋出時(shí)動(dòng)能相等．求：(1)無電場(chǎng)時(shí)，小球上升到最高點(diǎn)的時(shí)間；(2)后來加上的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大?。敬鸢浮?1)eq\f(4v0,5g)(2)eq\f(mg,2q)或eq\f(2mg,q)【解析】(1)無電場(chǎng)時(shí)，當(dāng)小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，小球具有的動(dòng)能與勢(shì)能之比是9∶16.將小球的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，則由veq\o\al(2,y)＝2gh，得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,y)＝mgheq\f(1,2)mveq\o\al(2,x)∶eq\f(1,2)mveq\o\al(2,y)＝9∶16解得拋出時(shí)：vx∶vy＝3∶4所以豎直方向的初速度vy＝eq\f(4,5)v0豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，有vy＝gt，解得t＝eq\f(4v0,5g)(2)設(shè)后來加上的電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與剛拋出時(shí)的動(dòng)能相等，若電場(chǎng)力的方向與小球初速度的水平分量方向相同，則有eq\f(E1q,m)t＋eq\f(3,5)v0＝v0，解得E1＝eq\f(mg,2q)若電場(chǎng)力的方向與小球初速度的水平分量方向相反，則有－eq\f(E2q,m)t＋eq\f(3,5)v0＝－v0，解得E2＝eq\f(2mg,q)四．“等效重力場(chǎng)”中的單擺類模型【模型構(gòu)建】如圖所示，在沿水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一固定點(diǎn)O，用一根長度L=0.4m的絕緣細(xì)繩把質(zhì)量為m=0.10kg、帶有正電荷的金屬小球懸掛在O點(diǎn)，小球靜止在B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ=37o．現(xiàn)將小球拉至位置A使細(xì)線水平后由靜止釋放：OOABCEθL+建立“等效重力場(chǎng)”如圖所示，“等效重力加速度”，θg'OAθg'OABCθA'C'+由A、C點(diǎn)分別做繩OB的垂線，交點(diǎn)分別為A'、C'，由動(dòng)能定理得帶電小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)等效重力做功代入數(shù)值得m/s當(dāng)帶電小球擺到B點(diǎn)時(shí)，繩上的拉力最大，設(shè)該時(shí)小球的速度為，繩上的拉力為，則=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②兩式子得N【模型演練1】（2021年云南省昆明市三診一模21題）如圖甲所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球用長為、不可伸長的輕繩懸掛于點(diǎn)?，F(xiàn)對(duì)小球施加水平恒力使其從靜止開始運(yùn)動(dòng)，輕繩拉力大小隨繩轉(zhuǎn)過的角度變化的曲線如圖乙所示，圖中為已知量，重力加速度為，下列說法正確的是（）A.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最大B.小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的加速度大小為C.小球運(yùn)動(dòng)過程中輕繩拉力的最大值為D.小球從開始運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，增加的機(jī)械能為【答案】BC【解析】水平恒力與重力合成出一個(gè)新力場(chǎng)（因?yàn)閮蓚€(gè)力的方向和大小都不變），得到力場(chǎng)，力場(chǎng)為等效重力場(chǎng)模型，受力分析如圖所示A．除重力之外只有在做功，當(dāng)小球到達(dá)水平位置時(shí)，做功最多，所以當(dāng)小球到達(dá)水平位置時(shí)機(jī)械能最大（繩子拉力與小球速度垂直，不做功），故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，速度為，設(shè)其加速度為，據(jù)牛二定律得解得，據(jù)加速度的合成與分解得故B選項(xiàng)正確；C．由圖可知，當(dāng)時(shí)，輕繩拉力達(dá)到最大值，輕繩的拉力與的合力為小球運(yùn)動(dòng)提供向心力，則有由動(dòng)能定理得其中聯(lián)立上式，解得因?yàn)閯傞_始時(shí)小球是靜止的，則有故故C選項(xiàng)正確；D．小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，增加的機(jī)械能為水平恒力所做的功，即故D選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選BC?！灸Ｐ脱菥?】.(多選)如圖，一根不可伸長的絕緣細(xì)線一端固定于O點(diǎn)，另一端系一帶電小球，置于水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，現(xiàn)把細(xì)線水平拉直，小球從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)最低點(diǎn)B后，小球擺到C點(diǎn)時(shí)速度為0，則()A．小球在B點(diǎn)時(shí)的速度最大B．小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)的過程中，機(jī)械能一直在減小C．小球在B點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力最大D．從B點(diǎn)到C點(diǎn)的過程中小球的電勢(shì)能一直增大【答案】BD【解析】小球受到電場(chǎng)力與重力、細(xì)線的拉力的作用，在復(fù)合場(chǎng)(電場(chǎng)和重力場(chǎng))中擺動(dòng)，當(dāng)重力與電場(chǎng)力的合力與細(xì)線的拉力在同一條直線上時(shí)，小球處于等效最低點(diǎn)，此時(shí)小球的速度最大，對(duì)細(xì)線的拉力最大，故A、C錯(cuò)誤；從A到B的過程中電場(chǎng)力對(duì)小球做負(fù)功，小球的機(jī)械能減小，故B正確；從B到C的過程中克服電場(chǎng)力做功，小球的電勢(shì)能一直增大，D正確．【模型演練3】(多選)(2020·四川樂山市第一次調(diào)查研究)如圖所示，在豎直平面內(nèi)有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一根長為L的絕緣細(xì)線，細(xì)線一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的帶電小球．小球靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向成θ角，此時(shí)讓小球獲得初速度且恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g.下列說法正確的是()A．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f(mgtanθ,q)B．小球動(dòng)能的最小值為Ek＝eq\f(mgL,2cosθ)C．小球運(yùn)動(dòng)至圓周軌跡的最高點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最小D．小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一周的過程中，其電勢(shì)能先減小后增大【答案】AB【解析】小球靜止時(shí)懸線與豎直方向成θ角，對(duì)小球受力分析，小球受重力、拉力和電場(chǎng)力，三力平衡，根據(jù)平衡條件，有：mgtanθ＝qE，解得E＝eq\f(mgtanθ,q)，選項(xiàng)A正確；小球恰能繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在等效最高點(diǎn)A速度最小，根據(jù)牛頓第二定律，有：eq\f(mg,cosθ)＝meq\f(v2,L)，則最小動(dòng)能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(mgL,2cosθ)，選項(xiàng)B正確；小球的機(jī)械能和電勢(shì)能之和守恒，則小球運(yùn)動(dòng)至電勢(shì)能最大的位置機(jī)械能最小，小球帶負(fù)電，則小球運(yùn)動(dòng)到圓周軌跡的最左端點(diǎn)時(shí)機(jī)械能最小，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；小球從初始位置開始，在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一周的過程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功，再做正功，則其電勢(shì)能先減小后增大，再減小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【模型演練4】(多選)(2021·河南鄭州市線上測(cè)試)如圖所示，在地面上方的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為＋q的小球，系在一根長為l的絕緣細(xì)線一端，可以在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．AB為圓周的水平直徑，CD為豎直直徑．已知重力加速度為g，電場(chǎng)強(qiáng)度為eq\f(mg,q)，下列說法正確的是()A．若小球在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，則它運(yùn)動(dòng)的最小速度為eq\r(gl)B．若小球在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最大C．若將小球在A點(diǎn)由靜止開始釋放，它將在ACBD圓弧上往復(fù)運(yùn)動(dòng)D．若去掉細(xì)線，將小球在A點(diǎn)以大小為eq\r(gl)的速度豎直向上拋出，它將能夠到達(dá)B點(diǎn)【答案】BD【解析】由于電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f(mg,q)，故有mg＝qE，則等效最低點(diǎn)在BC圓弧中點(diǎn)，重力和電場(chǎng)力的合力為eq\r(2)mg，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式eq\r(2)mg＝meq\f(v2,l)，小球在等效最高點(diǎn)的最小速度為v＝eq\r(\r(2)gl)，故A錯(cuò)誤；除重力和彈力外其他力做功等于機(jī)械能的增加量，若小球在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力做功最多，故到B點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能最大，故B正確；小球所受合力方向與電場(chǎng)方向夾角為45°斜向下，故若將小球在A點(diǎn)由靜止開始釋放，它將沿合力方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤；若去掉細(xì)線，將小球在A點(diǎn)以大小為eq\r(gl)的速度豎直向上拋出，小球在豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，加速度為－g，水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為g，當(dāng)豎直方向上的位移為0時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝2eq\f(v0,g)＝eq\f(2\r(gl),g)＝2eq\r(\f(l,g))，水平位移x＝eq\f(1,2)gt2＝2l，則小球能運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，故D正確．五．“等效重力場(chǎng)”中的圓周運(yùn)動(dòng)類模型【模型構(gòu)建】如圖所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角為30°的斜面，AC部分為豎直平面上半徑為R的圓軌道，斜面與圓軌道相切．整個(gè)裝置處于場(chǎng)強(qiáng)為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．現(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶正電，電量為小球，要使小球能安全通過圓軌道，在O點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？EER300mgqENR300EOB3R300O運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：小球先在斜面上運(yùn)動(dòng)，受重力、電場(chǎng)力、支持力，然后在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，受到重力、電場(chǎng)力，軌道作用力，且要求能安全通過圓軌道．對(duì)應(yīng)聯(lián)想：在重力場(chǎng)中，小球先在水平面上運(yùn)動(dòng)，重力不作功，后在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的模型：過山車．等效分析：如圖所示，對(duì)小球受電場(chǎng)力和重力，將電場(chǎng)力與重力合成視為等效重力，大小，，得，于是重效重力方向?yàn)榇怪毙泵嫦蛳?，得到小球在斜面上運(yùn)動(dòng)，等效重力不做功，小球運(yùn)動(dòng)可類比為重力場(chǎng)中過山車模型．規(guī)律應(yīng)用：分析重力中過山車運(yùn)動(dòng)，要過圓軌道存在一個(gè)最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)滿足重力當(dāng)好提供向心力，只要過最高點(diǎn)點(diǎn)就能安全通過圓軌道．如果將斜面順時(shí)針轉(zhuǎn)過300，就成了如圖3-3所示的過山車模型，最高點(diǎn)應(yīng)為等效重力方向上直徑對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B，則B點(diǎn)應(yīng)滿足“重力”當(dāng)好提供向心力即：假設(shè)以最小初速度v0運(yùn)動(dòng)，小球在斜面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入圓軌道后只有重力作功，則根據(jù)動(dòng)能定理：解得：【模型演練1】(2020·福建龍巖市高三上學(xué)期期末)如圖所示，在豎直平面內(nèi)固定的圓形絕緣軌道的圓心為O、半徑為r、內(nèi)壁光滑，A、B兩點(diǎn)分別是圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)．該區(qū)間存在方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一質(zhì)量為m的帶電小球(可視為質(zhì)點(diǎn))恰好能靜止在C點(diǎn)．若在C點(diǎn)給小球一個(gè)初速度使它在軌道內(nèi)側(cè)恰好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)(小球的電荷量不變)．已知C、O、D在同一直線上，它們的連線與豎直方向的夾角θ＝60°，重力加速度為g.求：(1)小球所受的電場(chǎng)力F的大小；(2)小球做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)的速度大小及在A點(diǎn)對(duì)軌道壓力的大?。敬鸢浮?1)eq\r(3)mg(2)eq\r(2gr)9mg【解析】(1)小球在C點(diǎn)靜止，受力分析如圖所示由平衡條件得F＝mgtan60°解得：F＝eq\r(3)mg(2)小球在光滑軌道內(nèi)側(cè)恰好做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)小球速度最小，對(duì)軌道的壓力為零，則eq\f(mg,cos60°)＝meq\f(vD2,r)解得小球在D點(diǎn)的速度vD＝eq\r(2gr)小球由軌道上A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得－mgr(1＋cosθ)－Frsinθ＝eq\f(1,2)mvD2－eq\f(1,2)mvA2解得小球在A點(diǎn)的速度vA＝2eq\r(2gr)小球在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：FNA－mg＝meq\f(vA2,r)解得：FNA＝9mg根據(jù)牛頓第三定律得：小球?qū)壍赖膲毫Υ笮镕NA′＝9mg.【模型演練2】(2021·河南高三二模)如圖所示，abc是豎直面內(nèi)的光滑固定軌道，ab段水平，長度為2R；bc段是半徑為R的四分之一圓弧，與ab相切于b點(diǎn)．一質(zhì)量為m的小球，始終受到與重力大小相等的水平外力F的作用，自a點(diǎn)處從靜止開始向右運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g.小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn)的過程中，以下說法正確的是()A．重力與水平外力合力的沖量等于小球的動(dòng)量變化量B．小球?qū)A弧軌道b點(diǎn)和c點(diǎn)壓力大小都為5mgC．小球機(jī)械能增量為3mgRD．小球在到達(dá)c點(diǎn)前的最大動(dòng)能為(eq\r(2)＋1)mgR【答案】BD.【解析】：根據(jù)動(dòng)量定理可知，重力、水平外力以及軌道支持力的合力的沖量等于小球的動(dòng)量變化量，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；從a到b，由動(dòng)能定理：2FR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,b)，則Nb－mg＝meq\f(veq\o\al(2,b),R)，解得Nb＝5mg；從a到c，由動(dòng)能定理：3FR－mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,c)，則Nb－mg＝meq\f(veq\o\al(2,c),R)，解得Nc＝5mg，vc＝2eq\r(gR)，選項(xiàng)B正確；小球離開c點(diǎn)后，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球從c點(diǎn)達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)間為t，則有：t＝eq\f(vc,g)＝2eq\r(\f(R,g))；此段時(shí)間內(nèi)水平方向的位移為：x＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)eq\f(F,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(R,g))))eq\s\up12(2)＝2R，所以小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到其軌跡最高點(diǎn)，小球在水平方向的位移為：L＝3R＋2R＝5R，此過程中小球的機(jī)械能增量為：ΔE＝FL＝mg×5R＝5mgR，故C錯(cuò)誤；小球在圓弧槽中運(yùn)動(dòng)過程中，在小球所受的重力、力F以及槽的支持力三力平衡的位置速度最大，動(dòng)能最大，由于F＝mg，則此位置與圓心的連線與豎直方向夾角為45°，由動(dòng)能定理：F·2R＋FRsin45°－mgR(1－cos45°)＝Ekm，解得Ekm＝(eq\r(2)＋1)mgR，選項(xiàng)D正確．【模型演練3】(多選)(2020·廣東深圳高級(jí)中學(xué)月考)如圖所示，豎直平面內(nèi)有固定的半徑為R的光滑絕緣圓形軌道，勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于軌道平面水平向左，P、Q分別為軌道上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，M、N是軌道上與圓心O等高的點(diǎn)．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電小球(可視為質(zhì)點(diǎn))在軌道內(nèi)運(yùn)動(dòng)，已知重力加速度為g，電場(chǎng)強(qiáng)度E＝eq\f(3mg,4q)，要使小球能沿軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則下列說法正確的是()A．小球在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能最小的位置，電勢(shì)能最大B．小球在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能最大的位置一定在M點(diǎn)C．小球過Q、P點(diǎn)時(shí)所受軌道彈力大小的差值為6mgD．小球過Q、P點(diǎn)時(shí)所受軌道彈力大小的差值為7.5mg【答案】BC【解析】根據(jù)等效場(chǎng)知識(shí)可得，電場(chǎng)力與重力的合力大小為mg等＝eq\r(mg2＋qE2)＝eq\f(5,4)mg，故等效重力加速度為g等＝eq\f(5,4)g，如圖所示，tanθ＝eq\f(qE,mg)＝eq\f(3,4)，即θ＝37°，若小球剛好能通過C點(diǎn)關(guān)于圓心O對(duì)稱的D點(diǎn)，那么小球就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．小球在D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能最小，但D點(diǎn)并非是其電勢(shì)能最大的位置，小球電勢(shì)能最大的位置在N點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；小球在軌道上運(yùn)動(dòng)的過程中遵守能量守恒定律，小球在軌道上M點(diǎn)的電勢(shì)能最小，機(jī)械能最大，選項(xiàng)B正確；小球過Q點(diǎn)和P點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律可得FQ－mg＝meq\f(vQ2,R)，F(xiàn)P＋mg＝meq\f(vP2,R)，小球從Q點(diǎn)到P點(diǎn)，由動(dòng)能定理可得－2mgR＝eq\f(1,2)mvP2－eq\f(1,2)mvQ2，聯(lián)立解得FQ－FP＝6mg，選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．【模型演練4】(2020·安徽皖江聯(lián)盟名校聯(lián)考)如圖所示，半徑為R＝0.4m半圓形絕緣光滑軌道BC與水平絕緣粗糙的軌道AB在B點(diǎn)平滑連接，軌道AB上方有電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E＝1.0×104N/C，方向向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量m＝0.1kg、電荷量q＝＋1.0×10－4C的帶電體(可視為質(zhì)點(diǎn))，在水平軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，若帶電體恰好可以沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，并在離開C點(diǎn)后，落回到水平面上的D點(diǎn)(圖中未畫出)，重力加速度g＝10m