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文檔簡介

第十一章全等三角形全等三角形學習目標1.知道什么是全等形、全等三角形;2.能熟練找出全等三角形的對應元素,能用符號正確地表示兩個三角形全等;3.掌握全等三角形的性質.重點:全等三角形的概念、性質。難點:對應邊和對應角的確定。自主學習一、全等形、全等三角形的概念閱讀課本P2內(nèi)容,回答課本思考問題,并完成下面填空:1.能夠完全重合的兩個圖形叫做.全等圖形的特征:全等圖形的和都相同.2.能夠完全重合的兩個三角形叫做.二、全等三角形的對應元素及表示閱讀課本P3第一個思考及下面兩段內(nèi)容,完成下面填空:1.平移翻折旋轉啟示:一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后,變化了,但、都沒有改變,所以平移、翻折、旋轉前后的圖形,這也是我們通過運動的方法尋全等的一種策略.2.全等三角形的對應元素(1)對應頂點(三個)---重合的頂點(2)對應邊(三條)---重合的邊(3)對應角(三個)---重合的角請同學們寫出上圖甲、乙、丙的對應頂點、對應邊、對應角圖甲:對應邊是:對應頂點是:對應角是:圖乙:對應邊是:對應頂點是:對應角是:圖丙:對應頂點是:對應邊是:對應角是:尋找對應元素的規(guī)律(1)有公共邊的,公共邊是對應邊;(2)有公共角的,公共角是對應角;(3)有對頂角的,對頂角是對應角;(4)全等三角形對應角所對的邊是對應邊,兩個對應角所夾的邊是對應邊;(5)全等三角形對應邊所對的角是對應角,兩條對應邊所夾的角是對應角。3.“全等”用“≌”表示,讀作“全等于”如圖甲記作:△ABC≌△DEF讀作:△ABC全等于△DEF如圖乙記作:讀作:如圖丙記作:讀作:注意:兩個三角形全等時,通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.三、全等三角形的性質閱讀課本P3第二個思考及下面內(nèi)容,完成下面填空:全等三角形的性質:全等三角形的相等,相等.練習1.如圖1,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是對應頂點,說出這兩個三角形中相等的邊和角.圖1圖22.如圖2,已知△ABE≌△ACD,∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其他的對應邊和對應角.課堂小結本節(jié)課你有哪些收獲?鞏固練習1.下面是兩個全等的三角形,按下列圖形的位置擺放,指出它們的對應頂點、對應邊、對應角.(1)(2)(3)2.如圖,△ABE≌△ACD,AB與AC,AD與AE是對應邊,已知:∠A=43°,∠B=30°,求∠ADC的大小.課堂檢測1.全等用符號表示,讀作:.

2.若△BCE≌△CBF,則∠CBE=,∠BEC=,BE=,CE=.

3.判斷題

1)全等三角形的對應邊相等,對應角相等.()

2)全等三角形的周長相等,面積也相等.()

3)面積相等的三角形是全等三角形.()

4)周長相等的三角形是全等三角形.()4.如圖:△ABC≌△DBF,找出圖中的對應邊,對應角.答:∠B的對應角是,∠C的對應角是,∠BAC的對應角是;AB的對應邊是,AC的對應邊是,BC的對應邊是.課后作業(yè):課本P4習題第1、2題板書設計:11.1全等三角形一、全等形、全等三角形的概念二、全等三角形的對應元素及表示三、全等三角形的性質教學反思:三角形全等的判定學習目標1.理解三邊對應相等的兩個三角形全等的內(nèi)容.2.會運用“邊邊邊”條件證明兩個三角形全等.3.會作一個角等于已知角.自主學習一、課前準備1.叫做全等三角形2.全等三角形的和相等3.將△ABC沿直線BC平移,得到△DEF,說出你得到的結論,說明理由?如果AB=5,∠A=55°,∠B=45°,那么DE=,∠F=.二、自主探究自主探究三角形全等的條件:閱讀課本P6探究2之前,回答下面問題:通過探究(1)只給一個條件對應相等的兩個三角形一定全等嗎?①只給一條邊時;33㎝3㎝3cm②只給一個角時;4545?45?45?(2)如果給出兩個條件畫三角形,你能說出有哪幾種可能的情況?①給出兩個角時;②給出兩條邊時;③給出一條邊和一個角時;(3)由上面的幾種情景,兩個三角形滿足一個或兩個條件時,它們一定全等嗎?(4)如果兩個三角形有三個條件對應相等,這兩個三角形全等嗎?我們也可以分情況討論,有哪幾種情況?①我們先來探究兩個三角形三個角相等的情況:30300700800300800700②畫出一個三角形,使它的三邊長分別為3cm、4cm、6cm,把你畫的三角形與小組內(nèi)畫的進行比較,它們一定全等嗎?③上面的探究反映了什么規(guī)律?閱讀課本P6-7探究2至例1前,回答下面問題:的兩個三角形全等,簡寫為“”或“”.三、例題學習閱讀課本P7例1,學習“邊邊邊”證明兩個三角形全等的格式.鞏固練習1.如圖,AB=AD,BC=CD,求證:(1)△ABC≌△ADC(2)∠B=∠DABCABCD證明:(1)在△ABC和△ADC中(公共邊)∴△ABC≌△ADC()(2)∵△ABC≌△ADC∴∠B=∠D()2.如圖,已知AC=FE、BC=DE,點A、D、B、F在一條直線上,AD=FB.要用“邊邊邊”證明△ABC≌△FDE,除了已知中的AC=FE,BC=DE以外,還應該有什么條件?怎樣才能得到這個條件?證明:四、作一個角等于已知角閱讀課本P7最后一段至P8,回答書中問題.課堂小結本節(jié)課你有哪些收獲?課堂檢測如圖,AB=CD,AC=BD,△ABC和△DCB是否全等?試說明理由。BCBCDA課后作業(yè):課本P15習題第1、2題板書設計:11.2.1三角形全等的條件(一)一、三角形全等的條件三邊對應相等的兩三角形全等(SSS)二、例題三、作一個角等于已知角教學反思:全等三角形的識別(二)(SAS)學習目標:會運用“邊角邊”公理證明三角形全等的簡單問題重難點:1、會運用“邊角邊”公理證明三角形全等的簡單問題2、分清用兩邊一角證明三角形相似和全等的不同。自學過程:知識回顧:一、判別三角形相似的方法之二:1、如果兩個三角形有_____邊對應______,并且____相等,那么這兩個三角形相似.新課講解:做一做以圖中的兩條線段和一個角畫一個三角形,使該角恰為這兩條線段的夾角.步驟:畫一線段AB使它的長度等于4cm.以點A為頂點,作∠BAP=45°,在射線AP上截取AC=3cm,連結BC.△ABC即為所求.把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較,所有的三角形都全等嗎?

換兩條線段和一個角,用同樣的方法試試,是否有同樣的結論.A CA BA

這樣我們就得到識別三角形全等的另一種簡便的方法如果兩個三角形有_____邊及其______分別對應____,那么這兩個三角形全等.簡記為().對比判別三角形相似的方法如果兩個三角形有_____邊對應______,并且____相等,那么這兩個三角形相似.

例2如圖11-1,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,試說明△ABD≌△ACD.

做一做如圖,已知兩條線段和一個角,以這兩條線段為邊,以這個角為其中一條邊的對角,畫一個三角形.把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較,所有的三角形一定都會全等嗎?練習根據(jù)題目條件,判斷下面的三角形是否全等? (3)(4)2點M是等腰梯形ABCD底邊AB的中點,△AMD和△BMC全等嗎?試說明你的理由?綜合練習:填空: 如圖11-2,AB=AD,AC=AE,則可得△ABC≌____其理由是______ 2、如圖(1):OA=OD,OB=OC,求證:△ABO≌△DCO 證明:OA=ODOB=OC()____=_____()△ABO≌△DCO() 3、如圖(2):已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,求證:AC=BD證明:AB=DC,∠ABC=∠DCB() BC=________() △BCD≌_______,()AC=________() 如圖(1) 如圖(2)選擇:1、在△ABC中,∠B=∠C,與△ABC全等的三角形有一個角是100°,那么△ABC中與這個角對應的角是()A∠AB∠BC∠CD∠B或∠D l2、如圖:直線l是四邊形ABCD的對稱軸,如果,有下列 A結論:(1)AB∥DC(2)AB=BC(3)ABBC(4)AO=OC, BOD其中正確的結論有()A1個B2個C3個D4個 C3、具有下列條件的兩個等腰三角形,不能判定它們?nèi)鹊氖牵ǎ〢頂角、一腰對應相等B底邊、一腰對就相等C兩腰對應相等D一腰、一底角、一底邊對應相等△ABC和△A′B′C′邊角條件如圖:那么這兩個三角形() C′A全等B不全等C不一定全等D相似 證明:1、如圖,已知∠1=∠2,AO=BO,那么△AOP≌△BOP,為什么?2、已知:AD=BC,∠ADC=∠BCD.求證:∠BDC=∠ACD.3、如圖,AE=DB,BC=EF,BC∥EF,說明△ABC和△DEF全等的理由.4、如圖:點M是等腰梯形ABCD底邊AB上的中點,則MD與MC的大小有何關系,試說明理由。5、已知點A、B、C、D在同一條直線上,AB=CD,∠D=∠ECA,試問:AE與BF的大小關系,并說明理由。6、如圖:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,在AB上取點P,邊CA的延長線上取點Q,使AP=AQ,邊CP與BQ交于點S,求證:△CAP≌△BAQ 7、如圖,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC,△ABC與△ADE全等嗎?并說明理由。全等三角形的識別(三)(ASA及AAS)學習目標:會運用“角邊角”公理及其推論證明三角形全等的簡單問題重難點:能靈活運用“角邊角”公理及其推論證明三角形全等的簡單問題自學過程:做一做如圖,已知兩個角和一條線段,以這兩個角為內(nèi)角,以這條線段為兩個角的夾邊,畫一個三角形.步驟:一線段AB使它的長度等于4cm.分別以點A、B為頂點,作∠BAP=40°∠ABQ=60°,AP、BQ相交于點C,△ABC即為所求.把你畫的三角形與其他同學畫的進行比較,所有的三角形都全等嗎?

換兩個角和一條線段,用同樣的方法試試看,是否有同樣的結論.A BAB由此得到另一個識別全等三角形的簡便方法:

如果兩個三角形的_______及其____分別對應_____,那么這兩個三角形全等.簡記為

例3如圖所示,∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,試說明△ABC≌△DCB.

解∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,BC是______,______()思考

如圖,如果兩個三角形有兩個角及其中一個角的對邊分別對應相等,那么這兩個三角形是否一定全等?你的結論是______________________________________證明:∠A=∠D,∠C=∠F,∠B=180°-______,∠E=180°-____,∠____=∠______又∠___=∠___,AB=____△ABC≌△DEF.()由此得到另一個識別全等三角形的簡便方法:

如果兩個三角形的_______及其____分別對應_____,那么這兩個三角形全等.簡記為小結:如果知道兩個三角形的兩個角及一條邊分別對應相等,這時應該有兩種不同的情況:一種情況是兩個角及兩角的____(ASA);另一種情況是兩個角及其中一角的___(AAS),兩種情況都可以證明三角形全等。如圖所示.練習填空:1、如圖:D是△ABC的邊AB上一點,DE交AC于點E,交CF于點F,DE=FE,FC∥AB,求證:AE=CE證明:FC∥AB() ∴∠_____=∠_____,∠_____=∠_____, 又DE=FE()∴△AED≌____()∴AE=CE() 2、如圖:點B、F、C、E在同一條直線上,F(xiàn)B=CE,AB∥ED,AC∥FD,求證:AB=DE 證明:FB=CE()FB+___=CE+__() 即:____=____ AB∥ED,AC∥FD∠ABC=∠_______,∠ACB=∠_______ △ABD≌________,()AB=DE,()3、如圖:AB=CD,AD=BC,EF過BD的中點O,求證:△OBF≌△ODE證明:AB=CD,AD=BC()_________=__________() △ABD≌________,()∠CBD=_______ EF過BD的中點O()______=__________ 又∠FOB=∠_____()△OBF≌_______() 選擇1、下列說法中,正確的是()A所有的等腰三角形全等B有兩邊對應相等的兩個等腰三角形全等C有一邊對應相等的兩個等腰三角形全等D腰和頂角對應相等的兩個等腰三角形全等2、在△ABC與△A′B′C′中,已知∠A=44°,∠B=67°,∠C′=69°,∠A′=44°,且AC=A′C′,那么這兩個三角形()A一定不全等B一定全等C不一定全等D以上都不對 3、如圖:點E在△ABC外部,點D在BC邊上,DE 交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,則() A△ABD≌△AFDB△AFE≌△ADC C△AFE≌△DFCD△ABC≌△ADE 4、在△ABC和△DEF中,條件(1)AB=DE,(2)BC=EF,(3)AC=DF,(4)∠A=∠D,(5)∠B=∠E,(6)∠C=∠F,則下列各組條件中,不能保證△ABC≌△DEF的是()A(1)(2)(3)B(1)(2)(5)C(1)(3)(5)D(2)(5)(6)三、證明與計算:根據(jù)題目條件,判別下面的兩個三角形是否全等,并說明理由.△ABC是等腰三角形,AD、BE分別是∠A、∠B的角平分線,△ABD和△BAE全等嗎?試說明理由.3、如圖,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF,△ABC與△DEF全等嗎?試說明理由.4、如圖,∠1=∠2,∠B=∠D,△ABC和△ADC全等嗎?試說明理由。5、已知:如圖,∠C=∠D,CE=DE.求證:∠DAB=∠ABC.6、已知:如圖,∠BDA=∠CEA,AE=AD.求證:AB=AC.7、已知:點D在AB上,點E在AC上,BE和CD相交于點O,AB=AC,∠B=∠C,求證:BD=CE 全等三角形的識別(四)(HL)學習目標:會運用“斜邊、直角邊公理”證明三角形全等的簡單問題重難點:1、會運用“斜邊、直角邊公理”(HL)證明三角形全等的簡單問題2、了解SSS、SAS、ASA、AAS也適用于直角三角形。自學過程:知識回顧:一、判別三角形相似的方法之三:如果一個三角形的_______分別與另一個三角形的_______對應相等,那么這兩個三角形相似.我們知道,對于兩個三角形,有“邊、邊、角”對應相等,是不能保證它們?nèi)鹊模?,在兩個直角三角形中,當斜邊及一條直角邊分別對應相等時,也具有“邊、邊、角”對應相等的條件,這時這兩個直角三角形是否全等呢?做一做試以中的兩條線段AC、AB分別為直角邊和斜邊畫一個直角三角形.

步驟:畫∠MCN=90°,在射線CM上截取AC的長度,以點A為圓心,以線段AB的長為半徑畫圓弧,交射線CN于點B,連結AB,△ABC即為所求.把你畫的圖形與周圍的同學畫的比較一下,所畫的圖形都全等嗎?請按照下題的步驟證明你的結論。如圖,AC=DF,AB=DE,∠C=∠F=90°,試說明△ABC≌△DEF.∠C=∠F=90°BC=_________,EF=____________(勾股定理) 又 AC=DF,AB=DE,_____=____又∠__=∠__,AC=____ △ABC≌△DEF.() 由此可以得到如下結論:

如果兩個直角三角形的_____及一條______分別對應相等,那么這兩個直角三角形全等.稱為斜邊、直角邊公理,簡記為(.).注意:1、斜邊、直角邊公理(HL)只能用于證明直角三角形的全等,對于其它三角形不適用。2、SSS、SAS、ASA、AAS適用于任何三角形,包括直角三角形。

例4如圖,AB是圓O的直徑,AC=AD,試說明△ABC和△ABD全等.

解AB為⊙O的直徑 ∠ACB=∠___=__°.又AC=AD,___=___,

△ABC≌△ABD.()練習如圖,AC=AD,∠C=∠D=90°,試說明BC與BD相等.以下面格點圖中的格點為頂點,畫出所有的直角三角形,并說明哪些直角三角形是全等的.綜合練習:一、填空:兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形______,理由是________有一條邊和一個銳角對應相等的兩個直角三角形_____,理由是______ 如圖(1):BA⊥AC,CD∥AB,AB=CE,BC=DE,則△CDE≌______,理由是_____,且有∠ACB=________,∠ABC=_______,由此可知BC與DE互相__________ 如圖:AD、A′D′分別是銳角△ABC和△A′B′C′中BC,B′C′邊上的高,且AB=A′B′,AD=A′D′,若 使△ABC≌△A′B′C′,需補充條件是______(只需填寫一個你認為適當?shù)臈l件) 二、選擇:1、兩個直角三角形全等的條件是()A一銳角對應相等B兩銳角對應相等C一條邊對應相等D兩條邊對應相等2、判斷下列命題:(1)在Rt△ABC中,兩銳角互余(2)有兩個銳角不互余的三角形不是直角三角形(3)一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(4)有兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等,其中正確的有()A1個B2個C3個D4個3、下列說法正確的有()(1)兩條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(2)一條邊和一個銳角對應相等的兩個直角三角形全等(3)兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等(4)兩個銳角對應相等的兩個直角三角形全等。A1個B2個C3個D4個4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,∠A=∠B′,AB=A′B′,那么下列結論中正確的是()AAC=A′C′BBC=B′C′CAC=B′C′D∠A=∠A′下列敘述的圖形中,是全等三角形的只有(A兩個含60°角的直角三角形B腰對應相等的兩個等腰三角形C有一邊相等的兩個等邊三角形D面積相等的兩個直角三角形 6、如圖:△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB, 交BC于D點,DE⊥AB于點E,且AB=60cm,則△BED的 周長為() A100cmB80cmC60cmD40cm 證明:1、如圖:CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分別為EF,AC∥DB,且AC=BD,求證:CE=DF2、如圖:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是高,求證(1)BD=DC(2)∠BAD=∠CAD 3、如圖,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E、F是垂足,DE=BF,求證(1)AE=CF(2)AB∥CD 4、如圖,△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE、DF分別垂直于AB、AC,垂足為E、F,求證:EB=FC 5、如圖:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠ACB=∠A′C′B′=90°,CDAB,C′D′A′B′

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