2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)理數(shù)

2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）理數(shù)一、選擇題1.（5分）（2016?天津）已知集合A={1,2,3,4},B={yly=3x-2,xCA},貝UAnB=（ ）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}\-y+2>02.（5分）（2016?天津）設變量x2.（5分）（2016?天津）設變量x,3x+2y-940的最小值為（）A.-4B.6C.10D.17TOC\o"1-5"\h\z（5分）（2016?天津）在4ABC中，若AB=V13,BC=3,ZC=120°則AC=（ ）A.1B.2C.3 D.4（5分）（2016?天津）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（ ）A.2 B.4C.6 D.8（5分）（2016?天津）設｛an｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n」+a2n<。”的（ ）A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件（5分）（2016?天津）已知雙曲線［-5=1（b>0）,以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點，四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為（）A.B.￡二1C.=1D.12A.B.￡二1C.=1D.12=1（5分）（2016.天津）已知^ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點,連接DE的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則而?花的值為（ ）C-l D.年loglog（5分）（2016?天津）已知函數(shù)f（x）=

(4a-3)x+3a,(a>0,且a/1)a(x+1)+1,x>0在R上單調遞減，且關于x的方程If（x）1=2-x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（（0,,范圍是（（0,,)[1,1C.巴管D.[i-|)U、填空題若（1+i）（1-bi）=a，則目的值（5分）若（1+i）（1-bi）=a，則目的值（用數(shù)字作答）（5分）（2016?天津）（x2-1）8的展開式中x7的系數(shù)為（用數(shù)字作答）（5分）（2016?天津）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m）,則該四棱錐的體積為m3俯視圖12.俯視圖12.（5分）（2016?天津）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E,BE=2AE=2,BD=ED,則線段CE的長為8,0）上單調（5分）（2016?天津）已知f3）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-遞增，若實數(shù)a滿足f（2|a-1|）＞f（-8,0）上單調(5分)(2016?天津)設拋物線'=2Pt之g為參數(shù)，p＞。)的焦點為f,準線為1,過[y=2pt拋物線上一點A作1的垂線，垂足為B,設C(-3，0),AF與BC相交于點E.若心1=2四1,且^ACE的面積為31衛(wèi)，則p的值為.三、計算題(13分)(2016?天津)已知函數(shù)f(x)=4tanxsin(-5-x)cos(x-^^)-.3.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間[-子，T上的單調性.(13分)(2016.天津)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.(13分)(2016?天津)如圖，正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形，平面08￡尸，平面ABCD,點G為AB的中點，AB=BE=2.(1)求證：EG〃平面ADF；(2)求二面角O-EF-C的正弦值；(3)設H為線段AF上的點，且AH=|HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.(13分)(2016?天津)已知質小是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d,對任意的nGN+,bn是an和an+1的等比中項.(1)設cn=b:+/b,nCN+，求證：數(shù)列｛cn｝是等差數(shù)列；(2)設a1=d,Tn=^(-1)kbk2,n2N*,求證:三卷工—^.

2 2(14分)(2016?天津)設橢圓f也=1(a>.3)的右焦點為F,右頂點為A.已知1 13eioH1 13eioH+W=W，其中O為原點，e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M,與y軸于點H,若BFLHF,且NMOAWNMAO,求直線l的斜率的取值范圍.(14分)(2016?天津)設函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b,xCR,其中a,beR.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0),其中x1Nx0，求證：x1+2x0=3；(3)設a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證：g(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值不小于3.2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）理數(shù)參考答案與試題解析一、選擇題1．D【分析】把A中元素代入y=3x-2中計算求出y的值，確定出B,找出A與B的交集即可.【解答】解：把x=1,2,3,4分別代入y=3x-2得：y=1,4,7,10,即B={1,4,7,10},VA={1,2,3,4},AAnB={1,4},故選：D.2．B【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0,平移直線l0,可得經過點（3,0）時，z=2x+5y取得最小值6.\-y+2>0【解答】解：作出不等式組*以+%-6>0表示的可行域，3x+2y-9（0如右圖中三角形的區(qū)域,作出直線l0：2x+5y=0,圖中的虛線，平移直線l0,可得經過點（3,0）時，z=2x+5y取得最小值6.故選：B.3.A【分析】直接利用余弦定理求解即可_【解答】解：在△ABC中，若AB=.13,BC=3,NC=120,AB2=BC2+AC2-2AC?BCcosC,可得：13=9+AC2+3AC,解得AC=1或AC=-4（舍去）.故選：A.4.B【分析】根據(jù)程序進行順次模擬計算即可.【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，S=24=8,n=2,i>4,第二次判斷不滿足條件n>3：第三次判斷滿足條件：S>6,此時計算S=8-6=2,n=3,第四次判斷n>3不滿足條件，第五次判斷S>6不滿足條件，S=4.n=4,

第六次判斷滿足條件n>3,故輸出S=4，故選：B.5．C【分析】利用必要、充分及充要條件的定義判斷即可．【解答】解：｛an｝是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,若“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n」+a2n<0”不一定成立，例如：當首項為2,q=--g時，各項為2,-1,3,--L,…，此時2+(-1)=1>0,-++(-而“對任意的正整數(shù)n,a2nl+a2n<?！?，前提是“q<?！保瑒t“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n_1+a2n<?！钡谋匾怀浞謼l件故選：C.6．D【分析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為乂2+丫2=4,雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x,利用四邊形ABCD的面積為2b,求出A的坐標，代入圓的方程，即可得出結論.【解答】解：以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為乂2+丫2=4,雙曲線的兩條漸近線方程為y=±X,設A(x,告)，則二?四邊形ABCD的面積為2b,/.2x^bx=2b,/.x=1將A(1,-2)代入x2+y2=4,可得1+--=4,Ab2=12,???雙曲線的方程為工T-???雙曲線的方程為工T-2=1412故選：D.7．B【分析】運用向量的加法運算和中點的向量表示,結合向量的數(shù)量積的定義和性質,向量的平方即為模的平方,計算即可得到所求值．【解答】解：由DD、E分別是邊AB、BC的中點，DE=2EF,可得百?前二(AB+DF)?(沃-瓦)=(-,AB+1DE)?(AC-AB)=2AB+-AC)?(AC-AB)2 4△正2-1國正-1國/-_1.1.1J-_14 4 2 44 22

【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f(x)為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍.【解答】解：y=loga(x+1)+在［0,+8)遞減，則0<a<1,函數(shù)f(x)在R上單調遞減，則則：'0<a<l ；02+(4a-3)*0+3a>log(0+1)+1解得,解得,卷由圖象可知，在［0，故在(-8,0)上當3a>2即a>］時+8)上，If(x)1=2-x有且僅有一個解，If(x)I=2-x同樣有且僅有一個解，聯(lián)立Ix2+(4a-3)+3aI=2-x,(3a-2)=0，貝必=(4a(3a-2)=0，解得a=-日或1(舍去)當1<3a<2時，由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為［《，-’嗚，故選：C.、填空題、填空題2【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，構造關于a,b的方程，解得a,b的值，進而可得答案.【解答】解：(1+i【解答】解：(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,a,beR,(l+b=a[1-b=0解得：a=2解得：a=2b=l，=2=2故答案為：2-56【分析】利用通項公式即可得出.【解答】解：Tr+1=L；（工2） '=（一1）T；x16-3r，令16-3r=7,解得r=3.A（x2--b8的展開式中x7的系數(shù)為（-1）%；=-56.故答案為：-56.2【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，進而可得答案.【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐,棱錐的底面是底為2,高為1的平行四邊形，故底面面積S=2x1=2m2,棱錐的高h=3m,故體積V=-1Sh=2m3,故答案為:1.—3—【分析】由BD=ED,可得△BDE為等腰三角形，過D作DHXAB于H,由相交弦定理求得DH,在Rt△DHE中求出DE,再由相交弦定理求得CE.【解答】解：如圖,過D作DHLAB于H,?.?BE=2AE=2,BD=ED,.??BH=HE=1,貝UAH=2,BH=1,.??DH2=AH?BH=2,貝UDH=.2,在Rt△DHE中,則de^,dh.he*二.可T二年，由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB,，，CE-DE一兩一3.【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化進行求解即可．【解答】解：??中（X）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（-8,0）上單調遞增，???f（x）在區(qū)間（0,+8）上單調遞減， _則f（"』）>￡（二?巧），等價為f（2|a"|）>f（?回），即一<21a-11V五則la-1l<',即,<a<,，故答案為：（,，,）_/6_.【專題】計算題；規(guī)律型；數(shù)形結合；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程；坐標系和參數(shù)方程．【分析】化簡參數(shù)方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標，利用三角形的面積列出方程,求解即可.【解答】解：拋物線;;?。╰為參數(shù),i的普通方程為i小焦點為F%0），如圖:過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B,設C（、p,0）,AF與BC相交于點E.ICFI=2IAFI,ICFI=3p,IABI=IAFI=1p,A（p,?巧P）,△ACE的面積為3豆H4H,可得AFC=S△ACE.即：_；區(qū)_|乂3Px2P=3;，3232解得p=.%._故答案為：.E.2 2」sin2x-2 2」sin2x-—cos2x-2 2=sin(2x-)則函數(shù)的周期T=2*兀；【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和差的余弦公式,結合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡求解即可．（2）利用三角函數(shù)的單調性進行求解即可．)-巧.【解答】解：(1),/f(x)=4tanxsin(-^--x)cos(x--^.,.xwkn+~^，即函數(shù)的定義域為{xlxwkn+^,keZ},)-巧.則Uf(x)=4tanxcosx.(]cosx+:sinx)-.3=2sinx(工cosx+:%nx)=sinxcosx+.3sin2x-.3=—sin2x+,((1-cos2x)⑵由2kn-Tax. k%得kn--￡^<x得kn--￡^<x<kn+,kez,即函數(shù)的增區(qū)間為［kn-，1,kn，kez,當k=o時，增區(qū)間為［-，|晉kez，VxG[--^-, ],???此時xe[-^1, ],由2kn+--<2x---<2kn+—,keZ,得kn+12當k=-1時12減區(qū)間為[-墨得kn+12當k=-1時12減區(qū)間為[-墨即函數(shù)的減區(qū)間為[kn+^^,kn+^],kez,-五"’"Z，???問-全.?.此時xe[-5，-'1],苧上，函數(shù)的減區(qū)間為e[-A-也增區(qū)間為[三，T]，即在區(qū)間[-^【分析】(1)選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4為事件A,求出選出的2人參加義工活動次數(shù)之和的所有結果，即可求解概率.則P(A).(2)隨機變量X的可能取值為0,1,2,3分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),P(X=3)的值，由此能求出X的分布列和EX.【解答】解：(1)從10人中選出2人的選法共有C；0=45種，事件A：參加次數(shù)的和為4,情況有：①1人參加1次，另1人參加3次，②2人都參加2次；共有嗎C；+C：T5種，???事件A發(fā)生概率：P=C3C4+C(II)X的可能取值為0???事件A發(fā)生概率：P=C3C4+C(II)X的可能取值為02102．1，(X=0)W+W+C；

C10(X=1)c；c；+c；c：?,1=1(X=2)J?X的分布列為:X

P542一1"""II1'【分析】（1）取AD的中點I,連接FI,證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG〃n，利用線面平行的判定定理證明：EG〃平面ADF；（2）建立如圖所示的坐標系O-xyz,求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O-EF-C的正弦值；（3）求出麗=（-今3，.？，q），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【解答】（1）證明：取AD的中點I，連接FI，??矩形OBEF，???EF〃OB，EF=OB，G,I是中點，??GI〃BD，GI=^BD.O是正方形ABCD的中心，??ob=1bd.??EF〃GI，EF=GI，??四邊形EFIG是平行四邊形，??EG〃FL.?￡6仁平面ADF，F(xiàn)Iu平面ADF，二?EG〃平面ADF；（2）解：建立如圖所示的坐標系O-xyz，貝UB（0，-.20），C（.1，0，0），E（0，-.1，2），F(xiàn)（0，0，2），設平面CEF的法向量為ir=設平面CEF的法向量為ir=（xy，z），則，取，=（.20，1）??8，平面OEF，二平面OEF二平面OEF的法向量為n=（10，0），VlcosVir，n>l=—???二面角O-EF-C的正弦值為1-（3???二面角O-EF-C的正弦值為1-（3）解：AH=|HF，.??麗=|亞二（設H（a，b，c），則筋=（a+.衛(wèi)，b，??a=，b=0，c=-^，2\.2\.;21~21,

5?國…警近，1"???直線BH和平面CEF所成角的正弦值=lcosVBH,n>l= 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，建立方程關系，根據(jù)條件求出數(shù)列｛%｝的通項公式，結合等差數(shù)列的定義進行證明即可.2n（2）求出（-1）4卜2的表達式，利用裂項法進行求解，結合放縮法進行不等式的k=l證明即可.【解答】證明：（1）???｛an｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d,對任意的n€N+,\是an和an+l的等比中項.???Cn=b：+i.b^=an+1an+2-anan+1=2dan+1，Acn+1-Cn=2d(an+2-@用)=2d2為定值；?.?數(shù)列｛5｝是等差數(shù)列；n(n-n(n-1) / / * ?4d2=nc1+2n(n-1)d2,①n€N,(2)T=Y(-1)%2=c+c+...+%]=nc/-*1—f ki□ 2n-i ik=l由已知C]=b22-b/=a2a3-a1a2=2da2=2d(a]+d)=4d2,將j=4d2,代入倉＞得Tn=n(n+1)d2,k(k+1)2d2k(k+1)2d2n1 1即不等式工十成立.尸1。 2d"19.【分析】（1）由題意畫出圖形’把。Fl、IOAKFA代入十島扁’轉化為關于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求;

（2）由已知設直線l的方程為y=k（x-2）,（kN0）,聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BFLHF,得麗，疝J（1-町，-yj?（1,-yH）二0，整理得到M的坐標與k的關系，由NMOAWNMAO,得到x0"，轉化為關于k的不等式求得坐標與k的關系，【解答】解：（1）13e，【解答】解：（1）13e，，得a2-3；.a[a2；.a[a2-(a2-3)]=3a(a2-3),解得a=2.???橢圓方程為L；(2)由已知設直線l的方程為y=k(x-2),(kN0),設B(x1,y1),M(x0,k(x0-2)),VZMOA<ZMAO,Ax0>1,再設H(0,yH),'y=k(x-2)，得(3+4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.△二(-16k2)2-4(3+4k2)(16k2-12)=144>0.由根與系數(shù)的關系得2叼-6；：］；，，叼言6…盯一2）二親，MH所在直線方程為廠k（營口一2）二一（工一/口），令x=0,得了任二(k+J)y0-2k,VBFXHF,二而,市二（1一叼，一%）?（1,-yH）=0,… ._8k2-6_12k[(k+()xo-2k]=O,即1-xi+yiyH=1 口-[(k+()xo-2k]=O,3+4k3+4k整理得：孫二9+20—3i，即8k2>3.012(k2+l)若若,1 -a-b,k</k>/20．【分析】(1)求出f(X)的導數(shù)，討論a<0時，f‘(X)>0,f(X)在R上遞增；當a>0時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；(2)f'(x0)=0,可得3(x0-1)2=a，分別計算f(x0),f(3-2x0)，化簡整理即可得證;(3)要證