數(shù)學(xué)線代線性代數(shù)課件

3.3向量組的秩3.3.1向量組的極大線性無關(guān)組與秩3.3.4歐氏空間3.3.2向量空間的基維數(shù)坐標(biāo)3.3.3基變換與坐標(biāo)變換線性無關(guān)向量組,定義3.16簡稱為極大無關(guān)組或最大無關(guān)組.若向量組A的一個部分組A0:滿足(1)向量組線性無關(guān);(2)向量組A中的任意向量均可由線性表示.則稱向量組A0:為向量組A的一個極大3.3.1向量組的極大線性無關(guān)組與秩由極大無關(guān)組的定義可得:(2)

則向量組A的任意線性無關(guān)部分組所含向量的個數(shù)至多為r

個.這是因?yàn)锳中任意r+1個向量均可由線性表示,根據(jù)定理3.11可知:這r+1個向量線性相關(guān).(1)向量組A與它的極大無關(guān)組A0等價(jià).是向量組A的極大無關(guān)組,在全體n維向量構(gòu)成的向量組Rn

中,n維單位坐標(biāo)向量組

線性無關(guān),且Rn

中任一向量均可由線性表示,故是Rn

的一個極大無關(guān)組.事實(shí)上,若n維向量組對任意n線性無關(guān),維向量a,由于n+1個n維向量線性相關(guān),故a可由線性表示.所以也是Rn

的一個極大無關(guān)組.Rn

中任意n個線性無關(guān)向量組也是Rn

的一個極大無關(guān)組.向量組的極大線性無關(guān)組不唯一,定理3.12向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同.兩個極大無關(guān)組等價(jià),證明定理3.11推論2可知:這兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同.設(shè)向量組和都是向量組A的極大無關(guān)組,由于一個向量組的任何故向量組I與II等價(jià).根據(jù)故s=t.但我們有如下定理:稱為向量組的秩．向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量的個數(shù)定義3.17全體n維向量構(gòu)成的向量組Rn

的秩為如:n.向量組線性無關(guān)的充要條件是其秩等于向量定理3.13組所含向量的個數(shù).證明必要性設(shè)向量組線性無關(guān),則該向量組的極大線性無關(guān)組就是其本身,的秩為s,故向量組即為向量個數(shù).充分性若向量組的秩等于向量的個數(shù)s,則該向量組的極大線性無關(guān)組由s個向量構(gòu)成,本身,故為其從而向量組線性無關(guān).例3.23若向量組A的秩為r,是向量組A中r

個線性無關(guān)的向量,則線性無關(guān)組.是向量組A的極大證明任意向量b,由于向量組A的秩為r,無關(guān)部分組所含向量的個數(shù)至多為r.則向量組A的任意線性故對向量組A中必線性相關(guān).r+1個向量又線性無關(guān),從而b必可由線性表示.故是向量組A的極大線性無關(guān)組.向量組線性相關(guān)的充要條件是其秩小于向量推論組所含向量的個數(shù).定理3.14若向量組A可由向量組B線性表示,的秩為r,向量組A向量組B的秩為s

,則設(shè)向量組A的極大無關(guān)組為證明向量組B的極大無關(guān)組為可由向量組B線性表示,由于向量組A則向量組組B線性表示,可由向量而向量組B可由其極大線性無關(guān)組線性表示,從而向量組可由向量線性表示.又向量組線性無關(guān),由定理3.11推論1可知:推論

等價(jià)的向量組有相同的秩.若兩個向量組有相同的秩，例如,向量組(I)向量組(II)向量組(I)和(II)的秩均為2,但這兩個向量組不等價(jià).則它們不一定等價(jià).?兩個向量組的秩相等,它們滿足什么條件等價(jià)?注證明分析由A組與C組等價(jià),B組與C組等價(jià)A組與B組等價(jià).只需證明:A組與(A,B)組等價(jià),B組與(A,B)組等價(jià).設(shè)A組與B組的秩為r,C=(A,B).所以

A組可由C組線性表示.因?yàn)?/p>

B組可由A組線性表示，所以

C組可由A組線性表示.

因?yàn)锳組是C的部分組，所以A組與C組等價(jià).因此C組的秩也為r.因B組的秩為r,故B組的極大無關(guān)組B0含有r個向量，因此B0組也是C組的極大無關(guān)組.從而C組與B0組等價(jià).由B0組與B組等價(jià).故A組與B組等價(jià).例3.24若向量組B能由向量組A線性表示,且它們的秩相等,則向量組A與向量組B等價(jià).3.3.2向量空間的基維數(shù)坐標(biāo)定義3.18

若V中存在向量組滿足(1)向量組線性無關(guān);(2)V中任意向量均可由向量組線性表示.則稱向量組為向量空間V的基,記作dim(V)=m.量的個數(shù)m稱為向量空間V的維數(shù),基中所含向這時(shí)也稱V為m維向量空間.對V中任意向量a,組數(shù)存在一使得稱為向量a在基下的坐標(biāo).設(shè)V為實(shí)數(shù)域上的向量空間,(1)只含有零向量的向量空間稱為0維向量空間,說明(2)若把向量空間V看作向量組,(3)向量空間V的基不唯一.因此它沒有基．量組的極大無關(guān)組,那么V的基就是該向V的維數(shù)就是該向量組的秩.(4)注意區(qū)分向量空間V的維數(shù)與V中向量的維數(shù).(5)

若dimV=r,則V中任意r+1個向量均線性相關(guān).(6)若W為V的子空間,則有故Rn稱為n維向量空間.

對任意有就是向量在基下的坐標(biāo).n維向量的全體Rn,的極大無關(guān)組:的秩為:(任意n個線性無關(guān)的n維向量組都是Rn的極大無關(guān)組)是一個向量空間,是向量空間Rn的基,數(shù)n稱為向量空間Rn的維數(shù).(任意n個線性無關(guān)的n維向量組都是Rn的基)由向量組所生成的向量空間顯然向量空間V與向量組等價(jià)，所以向量組的極大無關(guān)組就是V的一個基.向量組的秩若向量組是V的一個基，則V可以表示為該表達(dá)式清楚地顯示出向量空間V的結(jié)構(gòu).就是V的維數(shù).3.3.3基變換與坐標(biāo)變換那么,同一個向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢都可以作為V的一個基．在n維向量空間V中，問題：坐標(biāo)是不同的．對于不同的基，任意n個線性無關(guān)的向量換句話說，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？？1)基變換同一個向量的稱此公式為基變換公式．且有是向量空間的兩個基,基變換公式的過渡矩陣.中，在基變換公式矩陣P稱為從基到基當(dāng)然也存在n階方陣Q=(qij),使得的過渡矩陣.矩陣Q稱為從基到基即過渡矩陣P是可逆的．由于而同一向量在確定的基下坐標(biāo)是唯一的,所以若兩個基滿足關(guān)系式則有坐標(biāo)變換公式或結(jié)論舊坐標(biāo)新坐標(biāo)舊坐標(biāo)新坐標(biāo)2)坐標(biāo)變換公式設(shè)Vn中的向量a

,在基下的坐標(biāo)為在基下的坐標(biāo)為證明由于在確定的基下,坐標(biāo)是唯一的，所以例3.26已知與均為的基，其中(1)求從基到基的過渡矩陣．(2)求向量在基及基下的坐標(biāo)．解(1)設(shè)從基到基的過渡矩陣為P,則有即從而(2)設(shè)在基下的坐標(biāo)為即從而設(shè)在基下的坐標(biāo)為則由坐標(biāo)變換公式得3.3.4歐氏空間引入：內(nèi)積：長度:夾角：定義3.19稱(a,b)為向量a與b的內(nèi)積.1)內(nèi)積定義設(shè)有n維向量令內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)(以下a,b,

g為n維向量,l為實(shí)數(shù))(分配律)(對稱性)且當(dāng)a≠0時(shí),有(a,a)>0;當(dāng)a

=0時(shí),有(a,a)=0;(正定性)定義3.20令(1)向量模定義2)向量的模及性質(zhì)稱|a|為n維向量a的模(或長度).(2)向量的長度具有下述性質(zhì)：當(dāng)a≠0時(shí),有|a|>0;當(dāng)a=0時(shí),有|a|=0.非負(fù)性齊次性三角不等式定理3.15

柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式對任意

l

有而即分析顯然當(dāng)b

=0時(shí),(a,b)=0,|b|=0,命題成立.當(dāng)b

≠0時(shí),證明單位向量若則且是單位向量.定義3.20定義了內(nèi)積運(yùn)算的實(shí)數(shù)域上的向量空間稱為歐氏空間(Euclid空間)．幾何空間是歐氏空間,Rn的子空間在如上定義的內(nèi)積下,均成為歐氏空間.3)向量的夾角(1)引入(2)夾角定義當(dāng)時(shí)，記作其中定義3.21當(dāng)時(shí),稱為n維向量a與b的夾角.(3)正交則零向量與任何向量都正交.記為定義3.22當(dāng)(a,b)=0時(shí),稱向量a與b正交,由定義知:若a=0,則(a

,b

)=0.證明

例3.27設(shè)則兩兩正交．由于所以兩兩正交．4)正交矩陣定義3.23若n階矩陣A,滿足則稱A為正交矩陣.正交矩陣的性質(zhì):●

n階正交矩陣A可逆,且●

n階正交矩陣A的行列式|A|●

n階正交矩陣A的行列具有如下性質(zhì):例3.28證明即方陣A為正交矩陣的充要條件為A的列向量組都是單位向量且兩兩正交.組都是單位向量且兩兩正交．方陣A為正交矩陣的充要條件是A的列(行)向量設(shè)A由得(1)正交向量組的定義是一組非零的

n維向量,5)正交向量組則稱向量組為正交向量組.設(shè)定義3.24若i≠j,都有ai與aj正交,正交向量組必線性無關(guān).(2)正交向量組的性質(zhì)定理3.16證明兩邊與作內(nèi)積設(shè)為正交向量組,并設(shè)有數(shù)使得線性無關(guān).(3)標(biāo)準(zhǔn)正交基(規(guī)范正交基)定義3.25設(shè)是向量空間V的一個基,若是兩兩正交,且都是單位向量,則稱是向量空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基或規(guī)范正交基.(1)標(biāo)準(zhǔn)正交基唯一嗎(2)引入標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用是什么??6)施密特正交化求規(guī)范正交基的方法正交化單位化施密特正交化方法重點(diǎn)設(shè)是向量空間V的一個基,為正交向量組與等價(jià)是向量空間V的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.定理3.17若向量組線性無關(guān),向量組則存在正交使得向量組與向量組等價(jià)

證明取說明可由線性表示可由線性表示與等價(jià)正交分析說明可由線性表示可由線性表示與等價(jià)正交施密特正交化方法.則兩兩正交,與等價(jià).且上述由線性無關(guān)向量組構(gòu)造出正交向量組的方法稱為解正交化例3.29試將R3的基化為正交向量組.已知R3的一個基就是R3的一個正交向量組.定義3.25設(shè)為歐氏空間的一組基，若兩兩正交，且每一個向量均為單位向量