2022-2023學(xué)年上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.下列說法正確的是（）

A.圓柱上下底面各取一點(diǎn)，它們的連線即為圓柱的母線

B.過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓

C.圓錐的軸截面是等腰三角形

D.用一個(gè)平面去截球，所得的圓即為大圓

C

【分析】根據(jù)圓柱的定義、球的性質(zhì)以及圓錐的性質(zhì)，逐一判定，即可求解，得到答案

【詳解】解：對于A,若上下頂面兩點(diǎn)連線不垂直于底面，則兩點(diǎn)連線長度不是母線的長度，故A

錯誤；

對于B,當(dāng)這兩點(diǎn)是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí)，可作無數(shù)個(gè)大圓，故B錯誤；

對于C,根據(jù)圓錐的定義可知圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形，故C正確；

對于D,用一個(gè)平面去截球，該平面需過球心的時(shí)候，所得的圓才是大圓，故D錯誤；

故選：C

2.已知空間中三點(diǎn)A（0,1,0）,B（2,2,0）,C（—1,3,1）,則下列說法錯誤的是（）

A.而與就不是共線向量B.與而同向的單位向量是（堂,4,0

C.而和而夾角的余弦值是辭D.平面ABC的一個(gè)法向量是（1,-2,5）

C

【分析】根據(jù)向量共線定理可判斷A；根據(jù)單位向量的概念可判斷B；由向量夾角的余弦公式可判

斷C；根據(jù)法向量的特征可判斷D.

【詳解】對于A,AB=（2,l,0）,衣=（—1,2,1）,由于mjK,,

所以而與就不是共線向量，故A正確；

對于B,AB=（2,1,0）,廂,故B正確；

對于C,通=(2,1,0),fiC=(-3,1,1),

F薪\_ABBC_-5_755

同同|=忑『一五

8s('C"7故C錯誤;

對于D,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),設(shè)平面ABC的法向量〃=(x,y,z),

則［上血=2x+.v=。，取x=］,得;;=(1,一2,5),故D正確，

n-AC=-x+2y+z=0'

故選：C.

3.在數(shù)列｛q｝中，若4=2,〃e=1-'(〃€^^*).5“是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則邑()21等于()

A.2022B.2024C.1011D,1012

D

【分析】利用數(shù)列的周期性，即可計(jì)算求解.

【詳解】；4=2,%=J，“3=7，4=2,…，

六數(shù)列｛q｝是以3為周期的周期數(shù)列.

3

又4+/+〃3=5，2021=3x673+2,

52021=673(。］+/+03)+4+出=1012.

故選：D

4.如圖，正四棱錐記異面直線附與CD所成角為a,直線總與面A8CO所成角為萬，

二面角尸-BC—A的平面角為/,則

A.p<a<yB./<?</?C.B<y<aD.a<p<y

C

【詳解】連接AC與交于0,取BC的中點(diǎn)E,取A8的中點(diǎn)下，

分別連接PO,PE,PFQEQF,

在正方形A6C3中，AB//CD,所以異面直線24與CO所成的角，即為24與A8

PF

所成的角，即N24B=c,在直角A/%￡中，則tana=r，

AF

PO

直線以與A3C￡>所成的角，即為NPAO=Q,所以tan￡==；,

AO

PO

二面角P-BC-A的平面角為NPEO=y,所以tan7="/,

OE

因?yàn)槭琌,AF<AO,AO>OE=AF,

可得tana>tan7>tan尸，所以&>/>￡,故選C.

二、填空題

5.如圖所示，在正方體中，異面直線48與C。所成的角為

【分析】利用幾何法求解異面直線所成的角，通過做輔助線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化到同一平面

內(nèi)兩直線所成的角進(jìn)行求解.

【詳解】如圖，連接BE、AE,由正方體的性質(zhì)可知，CD//BE且CD=BE,

cA

E

故異面直線AB與C￡＞所成的角即為AB與BE所成的角.

在AABE中，AB.BE、AE均為面對角線，

AAB=BE=AE,為等邊三角形，

所以NA3E=60。，即為異面直線A8與8所成的角.

故答案為.60°

3

-##1.5

2

【分析】根據(jù)無限遞縮等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得結(jié)果.

【詳解】+……

3

故3

7.若圓柱的軸截面面積為2,則其側(cè)面積為一；

2萬

【分析】根據(jù)題意得圓柱的軸截面為底邊為2八高為。的矩形，根據(jù)幾何性質(zhì)即可求解.

【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為萬，由題意知，圓柱的軸截面為底邊為2r,高為"的矩形,

所以2rx/?=2,B|Jrxh-\.所以側(cè)面積5=2萬八/?=27.

本題考查圓柱的幾何性質(zhì)，表面積的求法，屬基礎(chǔ)題

8.在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在底面A8C內(nèi)的射影為Q,若PA=PB=PC,則點(diǎn)Q定是小8C的

______心，

外

【分析】由P4=PB=PC可得QA=Q8=QC,故。是的外心.

【詳解】

解：如圖，：點(diǎn)P在底面48c內(nèi)的射影為1平面ABC

又；Q4u平面ABC、QBu平面ABC、QCu平面ABC,

/.PQ-LQA^PQ上QB、PQ1QC

PA=PB

在R/APQA和/?以尸。3中,PQ=PQ,：.A"-PQB，,QA=QB

同理可得：04=。。,故?4=。3=。。

故Q是URC的外心.

故外.

9.設(shè)x,ywR,向量a=(x,l,l),4=(1,y,l),c=(2,-4,2),且￡j_￡,bUc<則》+丫的值為

【分析】利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及空間向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】Qa1c>向量a=(x,l,l),加=(1,y,l),c=(2,T,2),

:.a-c=2x-4+2=0,解得X=l,又B//c，

6=3=；,解得y=-2,

則x+y=T.

故答案為.-1

10.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S“=〃2-2”+l,則火-4=.

7

【分析】將“=1代入根據(jù)％=E可得出答案；當(dāng)"22時(shí)由a“=S“-S,i，求出牝，從而可得出答案.

【詳解】當(dāng)〃=］時(shí)，?|=5,=I2-2x1+1=0；

22

當(dāng)“22時(shí)，??=Srl-Sn_t=n-2z?+1-1^(/?-1)-2(Z?-1)+1J=2H-3.

所以為=2x5-3=7,所以%-4=7-0=7.

故7

11.正三棱臺ABC-AQC上底面邊長2,下底面邊長為4,高為3,則該正三棱臺的斜高為

^￡##-721

33

【分析】根據(jù)棱臺的幾何特點(diǎn)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，作出輔助線，解三角形即可.

【詳解】取AC',AC的中點(diǎn)分別為連接MN,MB；NB,取MB',M5上靠近",N的三等分點(diǎn)分

別為。'，。，

連接O'O,過M作垂足為H,作圖如下：

根據(jù)題意可得：O'O=3,MW即為所求斜高；

易知四邊形MHOO,為平行四邊形，故可得M4=O'O=3,

在中，=lx立x4C'=X-=0/7,在△ABC中，NO=>xBxAC=空,

323323

孝，故MN7MH2+=卜3=^^.

在^MNH中，MH=3,NH='NO-OH=

故答案為?旭

3

則數(shù)列，」4的前〃項(xiàng)和T?=_______.

12.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S'=2"-l,

l?J

2--—

2"-''

［分析］利用S,和Si求a?,進(jìn)而得到一-的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式計(jì)算即可.

【詳解】由S,=2"-l得當(dāng)〃22時(shí)S“T=2"T-1,所以a,,=S“-S“T=2"T（〃22）,

n.11

又因?yàn)?=S1=1=2°,所以q=2〃,一二聲,

即｛:1是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

故答案為.2-￡h

13.如圖所示，扇形AOB的半徑為2,圓心角為9(1，若扇形A03繞。4旋轉(zhuǎn)一周，則圖中陰影部分

繞OA旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為

【分析】用半球的體積減去圓錐的體積求得正確答案.

【詳解】圖中陰影部分繞OA旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個(gè)半球“挖掉”一個(gè)圓錐,

其體積為：

14.若三棱柱ABC-AB?的底面是以AB為斜邊的直角三角形，4AJ?平面43C,AB=2五,

44=4,則三棱錐A-ABC的外接球的表面積為.

24TI

【分析】利用勾股定理求得外接球的半徑，從而求得外接球的表面積.

【詳解】三棱錐A-A8C的外接球即直三棱柱A8C-4耳G的外接球，

直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)，

所以外接球的半徑R=孚=屈,

所以外接球的表面積為4兀代=24九.

故24兀

15.已知平面a內(nèi)有四點(diǎn)A、B、C、D,且任意三點(diǎn)不共線，點(diǎn)。為平面a外一點(diǎn)，數(shù)列｛4｝為等差

數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S,,,#04=a1010OB-OC+am,OD,則$2020=.

2020

【分析】先利用A、B、C,￡＞四點(diǎn)共面證明E=-丁「礪+一~r反+1^而，所以能

得至I」4OK）+4?！?2,然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解

【詳解】因?yàn)槠矫?。?nèi)有四點(diǎn)A、B、C,D,且任意三點(diǎn)不共線，

所以麗=4就+〃而（4+1）,

^^OB-dA=A^OC-OA]+ju（OD-dAy

可整理得（彳+〃-1）次=_麗+義歷+〃歷，

即礪=----5—OB+―--OC+―出—OD,

Z+//—14+〃―12+〃一1

口,口14〃1

勿易1得可--2--+-/-/---1+-2--+-/-/---1+——2+-/——/-1=1,

因?yàn)?6710]0。分—OC+%ou0/5,所以。1010+“1011—1=1，即4oio+《Oil=2,

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，所以S2O2O=（6+%q）x2020=（-4；）X2020=,

故2020

16.如圖，圓錐的軸截面SA8是邊長為4的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動點(diǎn)P在圓

錐底面內(nèi)（包括圓周）.若則點(diǎn)P形成的軌跡長度為

不

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量坐

標(biāo)，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點(diǎn)尸的軌跡方程，得到戶的軌跡是底面圓的弦，利用

勾股定理求出弦長.

【詳解】解：建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示，設(shè)40,-2,0),5(0,2,0),5(0,0,2圓M(0,0,73).

P(x,0).

于是有AM=(0,2,-J3),MP=(x,y,-y/3)■

由于AA/_LMP,所以(0,2,百)石)=0,

3

即y=j,此為尸點(diǎn)形成的軌跡方程，

其在底面圓內(nèi)的長度為2^4-(|)2=幣.

故舊

三、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，%=-5,S6=-12.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求S“，并求當(dāng)〃取何值時(shí)S“有最小值.

(1)4=2〃-9

⑵S“=(〃-4)2-16,當(dāng)〃=4時(shí)，S,取得最小值

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式，列出方程組，求解即可；

(2)等差數(shù)列的求和公式求解，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可.

【詳解】⑴解：設(shè)｛叫的公差為“由題意得｛二仁二團(tuán)即｛二一二,

解得q=-7,d=2,

所以｛叫的通項(xiàng)公式為q=2"-9；

（2）解：由（1）得S,,="（-；""）=—8〃=（”—4）2—16,

所以當(dāng)〃=4時(shí)，S,取得最小值，最小值為-16.

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面48CD,底面4BCD為梯形，AB//CD,ZBAD=60,

PD=AD=AB^2,CD-4,E為PC的中點(diǎn).

（I）證明：8E〃平面也3；

（11）求三棱錐石-23。的體積.

（1）見解析；（2）亞

3

【詳解】試題分析：（1）設(shè)F為PD的中點(diǎn)，連接EF,FA,由所為APDC的中位線，推出E尸〃CO,

再根據(jù)48||C。，A8=2,C￡>=4,即可得四邊形ABEF為平行四邊形，從而可證8E〃平面PA￡）；

（2）由E為尸C的中點(diǎn)可得三棱錐力"BoMVE-MTjug匕"）8，根據(jù)N84O=60,AD=AB,可得

4皿為等邊三角形，再根據(jù)尸平面ABC。，即可求出三棱錐P-BCD的體積，從而可得三棱錐

E-PB￡）的體積.

試題解析：（1）證明：設(shè)尸為尸。的中點(diǎn)，連接￡尸，F(xiàn)A.

E產(chǎn)為APDC的中位線

/.EF//CD,月.EF=[c￡>=2,

2

又,：ABHCD,AB=2

：.AB[IEF

四邊形A8防為平行四邊形

/.BE//AF.

又AFU平面E4Q,比^平面P/記

二8E〃平面尸

A

(2)解：為PC的中點(diǎn)

，二棱錐^E-PBD=^E-BCD~~^P-BCD

又；AO=A8,ZBAD=60

；.MBD為等邊三角形

BD=AB=2

又：CQ=4,ABDC=ABAD=60

BD±BC

PZ)_L平面ABC。

三棱錐P-8C0的體積力?=-PDS?=-X2X-X2X243=-

t-CI)3CD32”3

...三棱錐E—PBD的體積V￡pBD=空

riiLf3

19.某景區(qū)為提升游客觀賞體驗(yàn)，搭建一批圓錐形屋頂?shù)男∥?如圖1).現(xiàn)測量其中一個(gè)屋頂，得

到圓錐S。的底面直徑48長為12m,母線SA長為18m(如圖2).

圖1圖2

(1)現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花50朵，那么裝飾這個(gè)屋頂(不含底面)大約需要

多少朵鮮花(參考數(shù)據(jù)：萬“3.14)；

(2)若C是母線SA的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)S),從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光

帶的最小長度.

(1)16956

(2)6>/r3m

【分析】(1)利用圓錐側(cè)面積公式可求得側(cè)面積S,由此可求得結(jié)果;

(2)將圓錐側(cè)面展開，可知所求最小長度即為A'C,由扇形弧長公式可求得展開圖圓心角，利用余

弦定理可求得4C.

【詳解】(1)由題意知：圓錐S。的底面半徑尸=6,母線長/=18,

圓錐SO的側(cè)面積S=zr〃=1087r(m2),

裝飾屋頂大約需要108;TX50B16956朵鮮花.

(2)將圓錐側(cè)面沿母線船展開，是側(cè)面展開圖為如圖所示的扇形&14',則AC的長度即為燈光帶

的最小長度，

,127r24

AA1=2兀r=1，?*-NASA=――=—

1o5

在△4SC中，SC=；SA=6,SA'=18,

A'C2=A'S2+SC2-2A'S-SCcosAASA：=468,解得：AC=6屈,

即燈光帶的最小長度為6jBm.

20.如圖1,在AABC中，D,E分別為AB,AC的中點(diǎn)，。為。E的中點(diǎn)，AB=AC=2不，BC=4.將

△ADE沿QE折起到△A/DE的位置，使得平面平面BCED,如圖2.

⑴求證：AiOlBD；

(2)求直線A/C和平面48。所成角的正弦值;

(3)線段AC上是否存在點(diǎn)凡使得直線。尸和BC所成角的余弦值為必?若存在，求出笠的值;

5

若不存在，說明理由.

(1)證明見解析；

⑵逑；

3

(3)存在，K=°?

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得A。，平面BCE。，從而可得A/0_L8D；

(2)根據(jù)向量法即可求直線AQ和平面A/BO所成角的正弦值；

(3)假設(shè)存在點(diǎn)尸，由直線。尸和8C所成角的余弦值可得(而，方|=4,從而可求得差.

【詳解】(1)-.AB=AC,且。，E分別為AB,AC的中點(diǎn)，

所以AO=AE,即A〃=AE,又。為OE的中點(diǎn)，

所以

又平面4/OE_L平面BCED,平面A/D￡n平面BCED=DE,

所以A。J?平面BCED,而BDu平面BCED,

所以jOJ_BD

(2)過點(diǎn)。作OHJL3C交3c于點(diǎn)”，

因?yàn)锳B=AC=2不，BC=4,所以O(shè)”=gJ(26y—2?=2,

A[O=OH=2,OE=OD=l,HC=HB=2,

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以O(shè)H,OE,OA方向?yàn)閤,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：

則A(0,0,2),C(2,2,0),B(2,-2,0),0(0,-1,0),

A月=(2,—2,—2),A方=(°，T，-2),=(2,2,-2),

設(shè)平面AiBD的法向量為〃=(x,y,z),

n-A8=02x-2y-2z=0

則有，,即

n-4D=0—y—2z=0

令z=l,貝Ijy=-2,X=-1,則〃=(一1,一2,1),

設(shè)直線A/C和平面48。所成角為。，

/____、82夜

則.”小〃,年)=用祠=甌前=丁，

所以直線A,C和平面A,BD所成角的正弦值為也.

3

(3)設(shè)線段A/C上是否存在點(diǎn)F,且務(wù)=404/141),

。4=(0,1,2),肥=(0,4,0),

則麗=西+/南=(241+242-24),

因?yàn)橹本€。尸和8c所成角的余弦值為聶,

5

則\cos(DF,BC)I=獸獸=恪，

?'A件的5

即有L上網(wǎng)一一6

74A2+(l+2A)2+(2-2A)2X45，

解得：4=