2022年高考數(shù)學(文)模擬卷(全國卷)(解析版)

2022年高考數(shù)學（文）模擬卷（全國卷）

二輪拔高卷02

（本卷滿分15（）分，考試時間120分鐘。）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

J設(shè)集合4=。|乂242},2為整數(shù)集，則集合4口2中元素的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】T集合A={x|x2v2}={x|-4vxv與，Z為整數(shù)集，.?.集合4cz={-1,0,1},

二集合AflZ中元素的個數(shù)是3個.故選：A.

2已知X,yeR,i為虛數(shù)單位，JL（x-2）i-y=-1+i,則x+y的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案（介一r-,=-i"3

【解析】由于（X—24—y=-1+1,所學?『=x+y=4.故選：D

[x-2=1[），=1

3若命題P：對任意的xeR,都有x3-x2+1<0,則力為（）

A.不存在xeR,使得X3-X2+1<OB.存在xeR,使得舞-舉+1<0

C.對任意的xeR,都有X3-X2+1W0D.存在xeR,使得x3-x2+1z0

【答案】D

【解析】命題。:對任意的xeR,都有X3-X2+1<0的否定為

r。：存在xeR,使得X3-A2+120,故選D.

4從編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球，則恰有兩個小球編號

相鄰的概率為（）

115

A13,2cD

A.-B.-J-u.一

255228

【答案】D

【解析】從編號分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球共有

8x7x6

C；=TT=56種方法,

從編號分別為1,2,3,4,5,67,8的八個大小完全相同的小球中，隨機取出三個小球恰有兩個小球編號相鄰的情

況如下：

1

{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,8},

{2,3,5),{2,3,6},{2,3,7},{2,3,8},

{1,3,4},{3,4,6},{3,4,7},{3,4,8},

(1,4,5},{2,4,5},{4,5,7},{4,5,8},

{1,5,6},{2,5,6},{3,5,6},{5,6,8},

{1,6,7},{2,6,7},{3,6,7},{4,6,7},

{1,7,8},{2,7,8},{3,7,8},{4,7,8},{5,7,8},

共有30種情況，所以恰有兩個小球編號相鄰的概率為：吧=吧，故選：D

5628

5如圖，程序框圖的運算結(jié)果為

A.6B.24C.20D.120

【答案】B

【解析】由程序框圖得：5=1.n=2；s=2,n=3:S=6H=4,a=24,”=5,5>4輸出結(jié)果

24,所以選B；

6要得到y(tǒng)=sin(2x-g)的圖象，只需將y=cos2x的圖象()

A.向左平移型個單位長度B.向左平移邁個單位長度

126

C.向右平移旦個單位長度D.向右平移邁個單位長度

126

【答案】C

5兀

【解析】由題意，將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移一個單位長度，

12'

5兀\i/c5兀、r/c5兀.7C_./門冗\

可得y=cos[2(x--)]=cos(2x—)=sm[(2x——)+]=sm(2^—),

126623

2

即只需將丫=??2%的圖象向右平移5n個單位長度，即可得到y(tǒng)=sin：2x-"'的圖象.

12

故選：C.

7下面是某幾何體的視圖，則該幾何體的體積為

俯視圖

>io

D.—

3333

【答案】B

【解析】根據(jù)題中所給的幾何體的三視圖，可知其可以由正方體切割而成，

最后切割的結(jié)果為底面A8C。是完整的，其余兩個頂點分別是正對內(nèi)側(cè)的兩條豎直方向的棱中點和端點，

在求其體積時，過底面的對角線豎直方向切開，切為一個四棱錐和一個三棱錐，最后求得體積

V=-x—x(l+2)x2+~^x—x2x2x1=―,故選B.

32323

\exf

8已知函數(shù)/(%)=<則/(ln2)=()

[/(x-1),x>0,

24

A—B.-c.2eD.4e

ee

【答案】A

【解析】因為函數(shù)/(?=["，"WO，所以/(ln2)=/(ln2-l)=/(ln2)=eM<=L

[/(x-1),x>0,eee

故選：A

9已知函數(shù)/G)=logG、M+2XM)-X,現(xiàn)有如下說法：①函數(shù)/G)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱；②函數(shù)

4

/G)在(-1,+8)上單調(diào)遞減；③函數(shù)y=/G)-3有兩個零點.則其中正確說法的個數(shù)為().

A.0B.1C.2D.3

【答案】C/、

cc).I8+2?、

/\/8V+2A7-X+1=log+1=logz1,

【解析】由題意得，/lv-l)=log(8-_I°(2,+2-/+1，

44(4*J口4

令g(x)=log」(2、+27)+l,定義域為R,可知g(-x)=g(x),則函數(shù)gQ)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于)，軸對稱,

3

則函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，故①正確；

Vxe（0,-H?）,2JV>1,函數(shù)y=2*+2-x在（0,+℃）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=1。號x在定義域上單調(diào)遞增，

gG）=logQ+2-J+1在（0,ZO）上單調(diào)遞增，

4

...函數(shù)/（X）在（-1,+8）上單調(diào)遞增，故②錯誤；

由①②可知，函數(shù)fG）在上單調(diào)遞減，在（一1,+8）上單調(diào)遞增，/G）=/（-1）=_,

min2

又f（3）=logG+23）3=log（46+23）-3>3,/（-5）-log（8-+2T）+5=log（87+4-2）+5>3,

4444

函數(shù)y=/（x）-3有兩個零點，故③正

確.綜上，正確說法的個數(shù)為2.故選：C.

n已知等差數(shù)列〃｝和等差數(shù)列弘｝的前〃項和分別為sT且（〃+1）S=（7〃+23）T,則使上為整數(shù)

nnnnnnh

的正整數(shù)n的個數(shù)是（）

A.2B.6C.4D.5

【答案】C

s

【解析】依題意（〃+l）S=（7〃+23）T,4=4■土&

nflTn+1

n

a+〃（）

a2aa+a?2?—'2〃一）<

-b-'ttrb+b--b-^rb----7-----yT-

1

〃nI2〃-1-一3?2〃-12n-l

2

7（2n-l）+2314n+167"+88

（2、-1）+1-2nnn

所以上為整數(shù)的正整數(shù)〃為1,248,共4個.故選：C

h

〃聲知尸，是兩個定點，點P是以尸和尸為公共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點，且尸產(chǎn)1PF,記e和

I212121

e分別是上述橢圓和雙曲線的離心率，則有

2

_LJ-,-LJ—C

A.e2+e2=2B.￡2+62=4C.+=4D.+=2

I2I20202C2€2

I212

【答案】D

【解析】由雙曲線的定義IpfUpf1=2,?①

I2

由橢圓的定義I尸勺U”|=2a②

37

又NFPF=90。，故J/|2+b|2=4y?③

'2II12

7

①2+②2得+尸|2+S/|2=2成+2，a④

12

4

11

將④代入③得柒+加2=2o,即C24-C2-2

~加一'

即LL=2故選D

6262

I2

12若曲線C：y=x2與曲線C：y=aex（a>0）存在公共切線，則4的取值范圍為（）

「8丫/~o~\「4工、（A~]

,+oo（八XI,+oo4

A.IIB.|0，_[C.i_ID.0,_

|_e2JIe2j|_e2Je2_

【答案】D

【解析】設(shè)丁二工2在點（加，加2）處的切線斜率為2m，

y=aex在點（心的切線斜率為,

如果兩個曲線存在公共切線，那么：2m=皿

7221一（101

又由斜率公式得到，2m=-------，由此得到機=2〃-2,則4〃-4=的有解.

m-n

由y=4九一4,y=aex的圖象有交點即可.

設(shè)切點為（S，，），則〃e=4,且f=4s—4=,

4

即有切點（2,4）,a=一,

62

4

故。的取值范圍是：〃4一且awO.又4〉0,.

（41

故答案為|04-選D.

Ie2」

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13函數(shù)y=logjx2-3x）的單調(diào)遞減區(qū)間是

3

【答案】（3,+8）

【解析】令x2-3x>0求得x>3,或xVO,故函數(shù)的定義域為（-8,0）U（3,+oo）.

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，本題即求函數(shù)f=x2-3x在（-8,0）U（3,+oo）上的增區(qū)間.根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)可得，函數(shù)，=x2-3x在（-8,0）U（3,+oo）上的增區(qū)間為（3,+00）,故答案為（3,

+00）.14.己面向量〃=（1#）,8=（4+15）,若a與5共線，則實數(shù)&=_

【答案】1或-2

【解析】因為「與；共線，%伏+1）-2=0,解得％=1或&=-2.故答案為：1或-2.

15.已知圓G：住一力2十，=1與圓G：9+92―6尤+5=0外切，則a的值為

【答案】0或6

【解析】圓=1的圓心為（”，0），半徑為1,圓G：1492—6工+5=°的圓心為3,0,

5

半徑為2,兩圓外切，所以|a-B=3，a=0,6

76.三棱錐P-48c中，平面PACL平面ABC,ABVAC,PA=PC=AC=2,AB=4,貝ij三棱錐P-A8C

的外接球的表面積為.

64

【答案】_n

3

【解析】根據(jù)題意，過等邊三角形PAC的中心E作平面PAC的垂線，與過直角三角形ABC斜邊BC的中點

D作平面ABC的垂線交于點0，點。即是三棱錐P-A8C的外接球的球心，如圖所示：

三棱錐P-A8C中，平面PACL平面ABC,AB1AC,PA=PC=AC=2,48=4,

所以PF=《2z_124，EF=近,

3

在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2.

解得：BC=245-所以CO=4，

三棱錐的外接球半徑r="百2+(g)z=收,

則S=4兀T2=留三，故答案為：---

33

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考Th

都必須作答。第22、23題為選考題，考Th根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)△ABC中，。，8c分別為角A8,C的對邊，已知(b+c)cosA=百?sinA—4cosc.

(1)求角A；

(2)若ABCb

'△為銳角三角形，求一的取值范圍’

c

【解析】(1)由正弦定理的(sin8+sinC)cosA=4sin8sinA-sin4cosC,

所以sin8cosA+sinCeosA+cosCsinA=4sinBsinA?

即sin8cosA+sin(A+C)=/sinBsinA,

因為sin(A+C)=sin8,

所以sinBcosA+sinB=《sin8sinA,

6

因為sin8>。所以cos4+1=^sin4,

所以sin(A-r)=」，

62

因為屋(，，嗎，

666

所以4-三=三，所以4=:

663

［sinC+/cosC

(2)b_sinB_sin(?4+C)_2~2_1點，

csinCsinCsinC22tanC

因為有BC為銳角三角形，所以0<C<),8=0—

△232

所以3<C<2,所以tanC>W，

623

麻E11Pb(10、

2<2+2^C<2,B|Jc的取值范圍是|j')

18.(12分)某學校為了解高三復(fù)習效果，從高三第一學期期中考試成績中隨機抽取50名考生的數(shù)學成績，分

成6組制成頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求m的值；并且計算這50名同學數(shù)學成績的樣本平均數(shù)3

(2)該學校為制定下階段的復(fù)習計?劃，從成績在［130,150］的同學中選出3位作為代表進行座談，記成績在

［140,150］的同學人數(shù)位&,寫出1的分布列，并求出期望.

【解析】(1)由(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)x10=1解得m=0.008,根據(jù)各矩形中點橫坐標與

縱坐標的積求和即可得到該校50名學生成績的平均值；(2)成績在1130,140)的同學人數(shù)為6,成績在

1140,150)人數(shù)為4,看的可能取值為012,3,4,根據(jù)排列組合知識求出各隨機變量對應(yīng)的概率，從而可得

分布列，進而利用期望公式可得X的數(shù)學期望.

(1)由題(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)x10=1解得m=0.008

7

x=95x0.004x10+105x0.012x10+115x0.024x10+

125x0.04x10+135x0.012x10+145x0.008x10

=121.8

⑵成績在（30,140）的同學人數(shù)為6,財在to,150）人數(shù)為4,尸（三=0）=氏_=1，尸^=推=1，

C36C32

1010

PU=2）=clcl=3,pG=3）=SQ=1

Cs10C330

1010

所以自的分布列為

22時

1131

—IP—?）一?-p

621030

E^=0x^+1x^+2x^+3x^=.

6210305

19.（12分）在三棱錐A-BC￡＞中，E,F分別是棱BC,8上的點，且EF〃平面ABA

①求證：BD//平面AEF；

②若AEL平面BCQ,DEA.BC,AE=CE=DE=2,記三棱錐F-ACE與三棱錐尸―AOE的體積分別

為V,V,S,V=2V,求三棱錐B-ADF的體積.

1221

【解析】（1）'.'EF〃平面A5。，EFu平面BCD,平面BC。Cl平面ABD=8。，.?.E77/BD,

又平面4EF,^^平面人后/^:^/平面人后尸；

（2）,/V=V=[S〃,AE,V=V=!s,.AC,V=2V,

1A-CEF3CEF2A-DEF3DEF21

2

S4=2S.：.DF=2FC,:.S=_S；

'附%EF"BDF3%CO

由（1）知：EF//BD,r.BC=3CE=6,:S=^BCD￡=lx6x2-6,

BCD22

2°

=-S.=4,又AE,平面BCD,

BDF3BCD

.-,V=V=1SA?AE」X4X2=9.

H-ADFA-BDF3BDF33

8

20.(12分)設(shè)橢圓上+%=im>b>0)的右頂點為A,上頂點為B.已知橢圓的離心率為由，/回=JT7.

ai3

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線/：y="伏<。)與橢圓交于P,Q兩點，/與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若

△BPM的面積是BP。面積的2倍，求火的值.

【解析】⑴設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知得_=_，又1,11G=Z?2+C2,可得2a=3).由I+4;產(chǎn)、

a?9

從而。=3/=2.

所以，橢圓的方程為0嗅

94

(11)設(shè)點P的坐標為(x,y),點M的坐標為(x,y),由題意，%>x>o,

222

點。的坐標為(-x,-y).由aBPM的面積是△3PQ面積的2倍，可得|PM|二2|PQ|,

從而廠[=2[▼(7)],即*.

2

易知直線AB的方程為2x+3y=6,由方程組(2'+3}'='消去》可得》6,由方程組Il￡X2_+V2=1,消

[y=日，2■3Z+2[y=kx,

6

去y,可得「■由1=5]可得寸97+4=5(31+2)，兩邊平方，整理得18A2+254+8=0，解

1,922+4

得%=-3,或，1

2

8，舍去；當上=_2時，x=12,X=廿，符合題意.所以，女的值為-

當攵----時，—/、V，I?口心,0-

9222152

21.(12分)已知函數(shù)/G)=x+aex-l(aeR),g(x)=xeX-2x-2.

(1)討論/(X)的單調(diào)性；

(2)若fG)的極大值為-2,求證：f(\nx)<g(x).

【解析】(1)由/(x)=x+“ex-l,得尸(x)=14-.

當420時，/'(x)20恒成立，所以函數(shù)/G)在R上單調(diào)遞增；

當a<0時，由/'G)>0,得xcTn(-a),由f」x)<0,得x>—ln(—6/),

所以函數(shù)/(X)在(Yo,Tn(-4))上單調(diào)遞增，在(-ln(-a),+s)[二單調(diào)遞減,

綜上可知，當。20時，/G)在R上單調(diào)遞增；

當〃<0時，/Q)在(F,—ln(-〃))上單調(diào)遞增，(-ln(—〃),+00)上單調(diào)遞減.

⑵由(1)知〃<0,且當x=Tn(-〃)時，/G)取得極大值,

所以/(-ln(-ti))=-ln(-tz)+ae-iM-a)-1=-2,解得。=一1,

9

貝ij/G）=X-CA-1.

要證/（inxkgG）,即證xev-x-lnx-1＞0.

F（%）=xer-x-lnx-1,貝ijF（x）=（犬+1）口一-l=（x+l）^e-v-1'x＞0.

T〔力

令6（冗）=（1+1）［&-1,k＞0）,而G（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

7

因為G（l）=2（e-l）＞0,G［；j=：%-2）＜0

G（x）=（）0=1

BxG1

所以0,使得，即。―

0X

0

所以當xe（0,x）時，G（x）＜0,當xw（x,+8）時,G（x）＞0,

00

所以尸Q）在（o,x）上單調(diào)遞減，在（X,*?）卜單調(diào)遞增，

00

所以尸（x））=X^Q-X-Inx-1,

min0000

e、=x=-lnxF（x）=l-x+x-1=（

又因為。一，即OI1，所以3

Xo0min00

0

所以F（x）＞0,即xet-x-lnx-1＞0,亦即/（inx）wgQ）.

（-）選考題：共10分。請考Th在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（10分,）八「

x=2cosv