2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1．如果、均不為零），那么下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是A． B． C． D．2．在中，，，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．3．下列兩個(gè)三角形不一定相似的是A．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形 C．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形 D．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形4．下列說(shuō)法中，正確的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果為非零向量），那么5．如圖，已知點(diǎn)、分別在的邊、的延長(zhǎng)線上，下列給出的條件中，不能判定的是A． B． C． D．6．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)、在邊上，交于點(diǎn)．甲、乙兩位同學(xué)在研究這個(gè)圖形時(shí)，分別產(chǎn)生了以下兩個(gè)結(jié)論：①；②．那么下列說(shuō)法中，正確的是A．①正確②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤②正確 C．①、②皆正確 D．①、②皆錯(cuò)誤二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．已知，那么．8．已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，如果，那么．9．已知向量與單位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）．10．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是，且較小的三角形的周長(zhǎng)是12，那么較大三角形的周長(zhǎng)是．11．在中，，，，那么．12．如圖，已知，，，，那么．13．如圖，是洞孔成像原理的示意圖，物體物像，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體長(zhǎng)，那么物像的長(zhǎng)度是．14．已知如圖，點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，那么．15．已知在與中，，，，且，那么度．16．如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，，那么的值是．17．在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，線段將分成兩個(gè)小三角形，如果這兩個(gè)小三角形是相似三角形，且相似系數(shù)等于2，那么線段的長(zhǎng)是．18．如圖，已知在中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，如果，設(shè)與邊交于點(diǎn)，那么的值是．三、解答題：（本大題共7題，滿分46分）19．（5分）計(jì)算：．20．（5分）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）用向量、表示向量；（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法）21．（5分）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，分別交延長(zhǎng)線、邊于點(diǎn)、，，交于點(diǎn)，，求證：．22．（5分）如圖，已知在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，求的正弦值．23．（8分）已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，平分．（1）求證：；（2）如果，求證：．24．（8分）已知：如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，，求的值．25．如圖，已知在中，，，點(diǎn)、在邊上（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；（3）連接，如果與相似，求的長(zhǎng)．

2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）1．如果、均不為零），那么下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是A． B． C． D．解：，，所以、、選項(xiàng)不符合題意，選項(xiàng)符合題意．故選：．2．在中，，，那么下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．解：，令，，，，，，，．故選：．3．下列兩個(gè)三角形不一定相似的是A．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形 B．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形 C．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形 D．有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形解：、有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形，因?yàn)槭堑妊切蔚捻斀桥c底角不能確定，則兩個(gè)三角形不一定相似，故此選項(xiàng)符合題意；、有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形都是等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形相似，故此選項(xiàng)不合題意；、有一個(gè)內(nèi)角為的兩個(gè)等腰三角形，一定相似，故此選項(xiàng)不合題意；、有一個(gè)內(nèi)角是的兩個(gè)等腰三角形，一定相似，故此選項(xiàng)不合題意．故選：．4．下列說(shuō)法中，正確的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果為非零向量），那么解：如果和是相反向量，那么，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故選錯(cuò)誤；由無(wú)法得到，因?yàn)榉较虿灰欢ㄏ嗤?，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；如果為非零向量），那么，正確，故選：．5．如圖，已知點(diǎn)、分別在的邊、的延長(zhǎng)線上，下列給出的條件中，不能判定的是A． B． C． D．解：，，選項(xiàng)正確；不能判定，選項(xiàng)不正確；，，選項(xiàng)正確；，，選項(xiàng)正確．故選：．6．如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)、在邊上，交于點(diǎn)．甲、乙兩位同學(xué)在研究這個(gè)圖形時(shí)，分別產(chǎn)生了以下兩個(gè)結(jié)論：①；②．那么下列說(shuō)法中，正確的是A．①正確②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤②正確 C．①、②皆正確 D．①、②皆錯(cuò)誤解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，故①正確，，，，，，，故②正確，故選：．二、填空題：（本大題共12題，每題3分，滿分36分）7．已知，那么．解：，．故答案為：．8．已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，如果，那么．解：設(shè)，根據(jù)題意得：，解得：，則．故答案為：．9．已知向量與單位向量方向相反，且，那么（用向量的式子表示）．解：向量與單位向量方向相反，且，．故答案為：．10．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是，且較小的三角形的周長(zhǎng)是12，那么較大三角形的周長(zhǎng)是18．解：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比是，相似比為：，周長(zhǎng)比為：，較小三角形的周長(zhǎng)為12，較大三角形的周長(zhǎng)為：．故答案為：18．11．在中，，，，那么10．解：，令，，，，，．故答案為：10．12．如圖，已知，，，，那么．解：，，即，解得：，．故答案為：．13．如圖，是洞孔成像原理的示意圖，物體物像，根據(jù)圖中標(biāo)注的尺寸，如果物體長(zhǎng)，那么物像的長(zhǎng)度是．解：，，，，．故答案為：．14．已知如圖，點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作，分別交、于點(diǎn)、，那么．解：連接并延長(zhǎng)交于一點(diǎn)，點(diǎn)是的重心，，，，，，，．故答案為：．15．已知在與中，，，，且，那么90度．解：，，，，又，，，故答案為：90．16．如圖，已知在中，點(diǎn)在邊上，，，那么的值是．解：過(guò)作于，如圖：設(shè)，，，，，，，，即，解得，，，，，在中，，；故答案為：．17．在中，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，線段將分成兩個(gè)小三角形，如果這兩個(gè)小三角形是相似三角形，且相似系數(shù)等于2，那么線段的長(zhǎng)是．解：如圖，不可能等于或，與相似時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，，，解得，當(dāng)時(shí)，，，，解得，綜上所述，的長(zhǎng)為．故答案為：．18．如圖，已知在中，，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，如果，設(shè)與邊交于點(diǎn)，那么的值是．解：如圖，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，，，，，，，，連接交于，，，，，，，，，，，故答案為：．三、解答題：（本大題共7題，滿分46分）19．（5分）計(jì)算：．解：原式．20．（5分）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，與對(duì)角線交于點(diǎn)，設(shè)，．（1）用向量、表示向量；（2）在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法）解：（1）四邊形是平行線四邊形，，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，；（2）如圖所示，．21．（5分）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，分別交延長(zhǎng)線、邊于點(diǎn)、，，交于點(diǎn)，，求證：．【解答】證明：，，，，，，，，．22．（5分）如圖，已知在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，求的正弦值．解：過(guò)作于，過(guò)作于，如圖：，，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，是的中位線，，，，在中，，，即．23．（8分）已知：如圖，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，，平分．（1）求證：；（2）如果，求證：．【解答】證明：（1），，，，，平分，，，，，，，，，；（2），，，，，又，，，即，又，．24．（8分）已知：如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，，求的值．【解答】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，；（2）解：，，，，，，，，（負(fù)值舍去），，，，，，．25．如圖，已知在中，，，點(diǎn)、在邊上（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)不與點(diǎn)重合），，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；