專題23 類比歸納專題：一次函數(shù)與三角形綜合問題壓軸題四種模型全攻略（解析版）2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略蘇科版

第第頁專題23類比歸納專題：一次函數(shù)與三角形綜合問題壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一一次函數(shù)與三角形的面積問題】 1【類型二一次函數(shù)與三角形全等問題】 12【類型三一次函數(shù)與三角形存在問題】 20【類型四一次函數(shù)中折疊問題】 32【典型例題】【類型一一次函數(shù)與三角形的面積問題】例題：（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．(1)求這個一次函數(shù)的解析式；(2)若這個一次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為C，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；（2）利用直線解析式求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得的面積．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，．∴，解得：，∴這個一次函數(shù)的解析式為：．（2）解：令，則，解得，∴，∵．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，熟練掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】一、填空題1．（2023春·湖南永州·八年級校考期中）直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為【答案】【分析】分別令和，可求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，從而可以求解．【詳解】解：當(dāng)時，；當(dāng)時，，解得：；直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：，，直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積：．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)圍成面積問題，掌握與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)求法是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，求兩條直線：與直線：的交點(diǎn)的坐標(biāo)是，與軸圍成的三角形的面積是．【答案】12【分析】聯(lián)立兩直線解析式解方程組即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)；求出兩直線與軸交點(diǎn)間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：聯(lián)立得，解得．所以，交點(diǎn)坐標(biāo)為，令，則，解得，，解得，所以，兩直線與軸交點(diǎn)之間的距離為，所以，兩條直線和軸所圍成的三角形的面積．故答案為：，12．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線相交的問題，三角形的面積，第二問先求出兩直線與軸的交點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北秦皇島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，并且交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．則該一次函數(shù)的解析式為；的面積為．

【答案】【分析】（1）先把點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入得到關(guān)于、的方程組，解方程組得到、的值，從而得到一次函數(shù)的解析式；（2）令，即可確定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式和的面積進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，∴一次函數(shù)解析式為；故答案為：．（2）解：把代入，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：①先設(shè)出函數(shù)的一般形式，如求一次函數(shù)的解析式時，先設(shè)；②將自變量的值及與它對應(yīng)的函數(shù)值的值代入所設(shè)的解析式，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；③解方程或方程組，求出待定系數(shù)的值，進(jìn)而寫出函數(shù)解析式．二、解答題4．（2023春·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線的解析式為，直線的解析式為：，與軸交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

(1)求k，b的值；(2)求三角形的面積．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出，的值；（2）先根據(jù)兩個函數(shù)解析式計算出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用三角形的面積公式計算出的面積即可．【詳解】（1）與交于點(diǎn)，，，解得，；（2）當(dāng)時，，解得，，當(dāng)時，解得，，∴的面積．【點(diǎn)睛】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能滿足解析式．5．（2023春·西藏那曲·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)C．

(1)求，的值；(2)若點(diǎn)，判斷點(diǎn)D是否在的圖象上；(3)求的面積．【答案】(1)(2)不在(3)2【分析】（1）把代入，得到和值，即可得到結(jié)論；（2）把的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式判斷即可;（3）令，求得的值，即可求得一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把代入得，，解得：，；（2）把代入得，，點(diǎn)不在該一次函數(shù)圖象上．（3）該一次函數(shù)為，令，則，解得，該一次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，；∴【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法．6．（2023春·湖南衡陽·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖象與過、的直線交于點(diǎn)P，與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．

(1)求直線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)連接，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式，再聯(lián)立直線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)，可得出的值，利用三角形的面積公式結(jié)合即可求出的面積；【詳解】（1）設(shè)直線的解析式為，將、代入，得：，解得：，直線的解析式為，聯(lián)立直線的解析式成方程組，得：，解得：，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2）過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，如圖1所示．

點(diǎn)P的坐標(biāo)為，．當(dāng)時，，解得，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，．點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式；（2）利用切割法找出．7．（2023春·福建莆田·八年級?？计谥校┤鐖D，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與正比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．

(1)求的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)在軸負(fù)半軸，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可得到的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)，，依據(jù)，即可得出，進(jìn)而得到．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，將，代入，得，解得，直線的解析式是；（2）中，令，則，，設(shè)，，，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出、的值．8．（2023秋·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與直線相交于點(diǎn)，與x軸分別交于點(diǎn)A、O．

(1)求a，b的值；(2)若點(diǎn)B在y軸上，且滿足，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)垂直于x軸的直線與直線，分別交于點(diǎn)C，D，若線段的長為2，直接寫出m的值．【答案】(1)，(2)或(3)或【分析】（1）將代入，求出a值，再代入即可求出b值；（2）求出的面積，根據(jù)求出，分兩種情況即可得到結(jié)果；（3）分別求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，表述出，根據(jù)的長為2列出方程，解之即可．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入，得，把點(diǎn)代入，得；（2），，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為或；（3）將代入，得，將代入，得，∴，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的面積和線段的條件建立方程．9．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，其中．(1)求k的值；(2)若點(diǎn)是第一象限內(nèi)直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動過程中，試求的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x取值范圍；(3)點(diǎn)A是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動到什么位置時，的面積是1．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）先確定出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式中即可求出k；（2）借助（1）得出的函數(shù)關(guān)系式，利用三角形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況考慮，利用三角形的面積求出求出點(diǎn)A坐標(biāo)．【詳解】（1）∵，∴，∵點(diǎn)B在直線上，∴，∴；（2）由（1）知，，∴直線BC解析式為，∵點(diǎn)是第一象限內(nèi)的直線上的一個動點(diǎn)，∴，∴，（3）如圖，由（2）知，，∵的面積是1；∴，∴，當(dāng)點(diǎn)A在x軸下方時，，∴，此時，即；綜上，點(diǎn)A的位置為或．【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【類型二一次函數(shù)與三角形全等問題】例題：（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）直線：分別與，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，過點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)在坐標(biāo)系平面內(nèi)，存在點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與全等，畫出，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，；(2)圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，．【分析】（1）將點(diǎn)點(diǎn)，代入解析式得出，繼而得出點(diǎn)的坐標(biāo)為，，根據(jù)得出，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）分在軸上方：和如圖和點(diǎn)在軸上如圖②兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵直線：過點(diǎn)，，，．當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即．：：，．點(diǎn)在軸正半軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．設(shè)直線的解析式為，將，、，代入，得：，解得：，直線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）分在軸上方：和如圖和點(diǎn)在軸上如圖②兩種情況考慮：如圖①：①當(dāng)時，，．，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；②當(dāng)時，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．如圖②當(dāng)時，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何圖形，坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線與軸和軸分別交與，兩點(diǎn)，射線于點(diǎn)，若點(diǎn)是射線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個動點(diǎn)，且以為頂點(diǎn)的三角形與全等，則的長為．

【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式可求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出的兩條直角邊，并運(yùn)用勾股定理求出．根據(jù)已知可得，分別從或時，即當(dāng)時，，或時，，分別求得的值，即可得出結(jié)論．【詳解】∵直線與x軸和y軸分別交與A、B兩點(diǎn)，當(dāng)時，即，解得：．當(dāng)時，，∴．∴．∴．∵，點(diǎn)C在射線上，∴，即．∵，∴．若以為頂點(diǎn)的三角形與全等，則或，即或．如圖1所示，當(dāng)時，，

∴；如圖2所示，當(dāng)時，，

∴．綜上所述，的長為6或．故答案為：6或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把射線AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得射線AC，點(diǎn)P是射線AC上一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上一個動點(diǎn)．若與全等，試確定點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．【答案】7或8【分析】根據(jù)與全等分兩種情況分類討論即可解答．【詳解】解：在直線中，當(dāng)x=0時，y=0+4=4，即，當(dāng)y=0時，0=，∴，即；∵與全等，∴分兩種情況：當(dāng)時，，如圖所示，則，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：，當(dāng)時，，如圖所示，則，∵，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：；綜上所述：點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為7或8．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧丹東·八年級期末）已知一次函數(shù)y=-3x+3的圖象分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(3,0)．(1)如圖1，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)E在線段BC上且到兩坐標(biāo)軸的距離相等，連接DE，交y軸于點(diǎn)F．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)△AOB與△FOD是否全等，請說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)G與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P在直線GC上，若△ABP是等腰三角形，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)E（，）(2)△AOB≌△FOD，理由見詳解；(3)P（0，-3）或（4，1）或（，）.【分析】（1）連接OE，過點(diǎn)E作EG⊥OC于點(diǎn)G，EH⊥OB于點(diǎn)H，首先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)E到兩坐標(biāo)軸的距離相等，得到OE平分∠BOC，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可；(2)首先求出直線DE的解析式，得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可證明△AOB≌△FOD；(3)首先求出直線GC的解析式，求出AB的長，設(shè)P（m，m-3），分類討論①當(dāng)AB=AP時，②當(dāng)AB=BP時，③當(dāng)AP=BP時，分別求出m的值即可解答.(1)解:連接OE，過點(diǎn)E作EG⊥OC于點(diǎn)G，EH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)y=0時，-3x+3=0，解得x=1，∴A（1，0），當(dāng)x=0時，y=3，∴OB=3，B（0，3），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，C（3，0），OC=3，∴D（-3，0），∵點(diǎn)E到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴EG=EH，∵EH⊥OC，EG⊥OC，∴OE平分∠BOC，∵OB=OC=3，∴CE=BE，∴E為BC的中點(diǎn)，∴E（，）；(2)解:△AOB≌△FOD，設(shè)直線DE表達(dá)式為y=kx+b，則，解得：，∴y=x+1，∵F是直線DE與y軸的交點(diǎn)，∴F（0，1），

∴OF=OA=1，∵OB=OD=3，∠AOB=∠FOD=90°，∴△AOB≌△FOD；(3)解:∵點(diǎn)G與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，B（0，3），∴點(diǎn)G（0，-3），∵C（3，0），設(shè)直線GC的解析式為：y=ax+c，，解得：，∴y=x-3，AB==

，設(shè)P（m，m-3），①當(dāng)AB=AP時，=整理得：m2-4m=0，

解得：m1=0，m2=4，∴P（0，-3）或（4，1），②當(dāng)AB=BP時，=m2-6m+13=0,△＜0故不存在，③當(dāng)AP=BP時，=，解得：m=，∴P（，），綜上所述P（0，-3）或（4，1）或（，），【點(diǎn)睛】此題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，全等三角形的判定，勾股定理.【類型三一次函數(shù)與三角形存在問題】例題：（2023春·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線的函數(shù)表達(dá)式為，且與x軸交于點(diǎn)D，直線經(jīng)過點(diǎn)A，B，直線，交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求的面積；(3)在直線上是否存在點(diǎn)P，使得面積是面積的1.5倍？如果存在，請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式；（2）令y=-2x+4=0求出x值，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得面積是面積的1.5倍，根據(jù)兩三角形面積間的關(guān)系得到，再利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將、代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為．（2）聯(lián)立解得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．當(dāng)時，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．∴．（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得面積是面積的1.5倍．∵面積是面積的1.5倍，∴，∴或3，當(dāng)時，，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為；當(dāng)時，綜上可知，在直線上存在點(diǎn)或，使得面積是面積的1.5倍．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，兩條直線的交點(diǎn)問題，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東梅州·八年級豐順縣豐順中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：與軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)，.(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)求原點(diǎn)O到直線的距離；(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得是直角三角形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)；(2)；(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】(1)令，即可求解；(2)首先可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求得的長，再根據(jù)，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，列方程即可求解；(3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知不為直角，分兩種情況，利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：令，則，解得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）解：代入A、兩點(diǎn)可得：，，解得：，，故，，，，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則，解得：，故原點(diǎn)到直線的距離為；（3）解：存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意可知不為直角，所以當(dāng)是直角三角形分兩種情況：①當(dāng)時，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)，，故，解得：，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間距離公式，坐標(biāo)與圖形，求不規(guī)則圖形的面積，直角三角形的判定，解答的關(guān)鍵是采用分類討論的思想．2．（2023秋·遼寧沈陽·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸和y軸分別交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，與直線相交于點(diǎn)，動點(diǎn)M在線段和射線上運(yùn)動．(1)求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)求的面積．(3)是否存在點(diǎn)M，使的面積是面積的？若存在，求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)12(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)是或或【分析】（1）在中，令，則；令，則，從而可得答案；（2）直接利用三角形的面積公式進(jìn)行計算即可；（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求解直線的表達(dá)式是，由，可得，當(dāng)點(diǎn)M在線段上時，如圖①，則，此時，當(dāng)點(diǎn)M在射線上時，如圖②，時，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；時，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．從而可得答案．【詳解】（1）解：在中，令，則；令，則．故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2）∵，，∴．（3）存在點(diǎn)M使．

理由如下：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直線的表達(dá)式是．∵，∴，解得．∴直線的表達(dá)式是．∵，∴．∴．當(dāng)點(diǎn)M在線段上時，如圖①，則，此時，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是．當(dāng)點(diǎn)M在射線上時，如圖②，時，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；時，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)是或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，求解一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，坐標(biāo)與圖形，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．3．（2023·河北滄州·?？家荒＃┤鐖D，直線l1的表達(dá)式為．且與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線l2經(jīng)過點(diǎn)，且與直線l1交于點(diǎn)．(1)寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線l2的表達(dá)式；(2)連接，求的面積；(3)直線上是否存在一點(diǎn)P，使得的周長最小？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)4(3)存在，，理由見解析【分析】（1）把點(diǎn)代入即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）由求得A、B的坐標(biāo)，從而求得的長，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可；（3）作點(diǎn)A關(guān)于直線l2的對稱點(diǎn)，連接交直線l2于P，連接，此時的值最小，即的周長最小，求出的坐標(biāo)，然后求得直線的解析式，最后與直線的解析式聯(lián)立，解方程即可解決問題．【詳解】（1）解：∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴，解得，∴，設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，解得，∴直線的解析式為；（2）由直線l1的表達(dá)式為可知，，∴，∴；（3）存在，理由如下：作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交直線l2于P，連接，此時的值最小，即的周長最小，由直線l2為可知，，由軸對稱的性質(zhì)可知，∴，∵，，∴設(shè)此時的解析式為，則有，解得，∴直線的解析式為，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及軸對稱最短問題等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法、學(xué)會根據(jù)軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023春·山東聊城·八年級校聯(lián)考期末）如圖，直線的函數(shù)解析式為，且與x軸交于點(diǎn)D，直線經(jīng)過點(diǎn)A，B，直線、交于點(diǎn)C．

(1)求直線的函數(shù)解析式；(2)求的面積；(3)在直線上是否存在點(diǎn)P，使得面積是面積的3倍？如果存在，請求出P坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)3(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)、的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式；（2）令求出值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解方程組即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得面積是面積的3倍，根據(jù)兩三角形面積間的關(guān)系得到，再利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將、代入得：，解得：，直線的函數(shù)解析式為．（2）聯(lián)立兩直線解析式成方程組得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．．（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使得面積是面積的3倍．面積是面積的3倍，，當(dāng)時，，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述：在直線上存在點(diǎn)或，使得面積是面積的3倍．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交或平行問題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)E．已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C在A的左側(cè)且．(1)分別求出直線和直線的表達(dá)式；(2)在直線上，是否存在一點(diǎn)P，使得，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)在坐標(biāo)軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得是以為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，若點(diǎn)P在右側(cè)，；若點(diǎn)P在左側(cè)，(3)存在，或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出交點(diǎn)和，再分兩種情況：①若點(diǎn)P在右側(cè)，②若點(diǎn)P在左側(cè)，利用三角形面積，分別求解即可；（3）分兩種情況：①當(dāng)時，交x軸于Q，②當(dāng)時，交x軸于Q，分別求解即可．【詳解】（1）解：將，代入直線：，得：，解得：，∴直線：，∵，，∴，設(shè)直線：()將，代入直線：，得：，解得：，∴直線：．（2）解：聯(lián)立，解得：，∴，∴，①若點(diǎn)P在右側(cè)，∵，∴，∴，解得，∴②若點(diǎn)P在左側(cè)，∵S△BEP=8，∴，∴，解得，當(dāng)時，，∴．（3）解：分兩種情況：①當(dāng)時，交x軸于Q，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②當(dāng)時，交x軸于Q，同理，∴，∵，，∴，由勾股定理，得，∴，∴，綜上，存在，或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，從標(biāo)與圖形，三解形面積，勾股定理，等腰直角三角形，注意分類討論思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【類型四一次函數(shù)中折疊問題】例題：（2023秋·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線：與直線：相交于點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)(1)填空：______，______，______；(2)如圖2．點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)，將沿直線翻折得到，線段交軸于點(diǎn)．①求線段的長度；②當(dāng)點(diǎn)落在軸上時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；③若為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②點(diǎn)的坐標(biāo)為；③點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）把代入，求出，得直線：，再把代入，求出，得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把代入，求出；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，勾股定理即可求解；②過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，求出，即可得出，②求出，可得，即可得答案；③分兩種情況討論，當(dāng)時，求出，得，得，得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時，設(shè)，則，由勾股定理得：，求出，得點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把代入，，，直線：，把代入，，把代入，，，；故答案為：．（2）①∵直線：令，解得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵∴，∵折疊，∴；②如下圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，則，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；③如下圖，當(dāng)時，由翻折得，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；如圖，當(dāng)時，設(shè)，則，在中由勾股定理得：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)和判定，翻折的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，若將沿折疊，點(diǎn)恰好落在軸上的處，若是軸負(fù)半軸上一動點(diǎn)，且是等腰三角形，則的坐標(biāo)為______．【答案】或或【分析】利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用勾股定理可求出的長度，進(jìn)而可得出的長度，設(shè)，則在中，利用勾股定理即可得出關(guān)于的方程，解之即可得出的值，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得，然后分三種情況討論求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．．由折疊的性質(zhì)可得，．設(shè)，則．在中，由勾股定理得：，即，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)