勾股定理的應用（直通中考）-2023-2024學年八年級數(shù)學上冊基礎知識專項突破講與練（北師大版）

第第頁專題1.12勾股定理的應用（直通中考）一、單選題1．（2013·貴州安順·中考真題）如圖，有兩顆樹，一顆高10米，另一顆高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米2．（2020·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中有一個“折竹抵地”問題：“今有竹高丈，末折抵地，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹子根部三尺遠，問：原處還有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺3．（2020·遼寧盤錦·中考真題）我國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．譯為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度是x尺．根據(jù)題意，可列方程為（

）A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）24．（2010·云南曲靖·中考真題）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm、BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．10cm5．（2017·浙江紹興·中考真題）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為（

）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米6．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，點P為觀測站，一艘巡航船位于觀測站P的南偏西方向的點A處，一艘漁船在觀測站P的南偏東方向的點B處，巡航船和漁船與觀測站P的距離分別為45海里、60海里．現(xiàn)漁船發(fā)生緊急情況無法移動，巡航船以30海里/小時的速度前去救助，至少需要的時間是（

）

A．小時 B．2小時 C．小時 D．4小時7．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，一架長為的梯子斜靠在豎直的墻上，梯子的底端（點A）距墻角（點C）為．若梯子的底端水平向外滑動，梯子的頂端（點B）向下滑動多少米？若設梯子的頂端向下滑動x米，則根據(jù)題意可列方程為（

）

A． B．C． D．8．（2023·江蘇·模擬預測）我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺9．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考二模）勾股定理是人類數(shù)學文化的一顆璀璨明珠，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要工具，也是數(shù)形結合的紐帶之一．如圖，秋千靜止時，踏板離地的垂直高度BE=1m，將它往前推6m至C處時（即水平距離CD=6m），踏板離地的垂直高度CF=4m，它的繩索始終拉直，則繩索AC的長是（

）

A．m B．m C．6m D．m10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，分別以，，為邊在的同一側作正方形，，，四塊陰影部分的面積分別為，，，．若已知圖中陰影部分的面積的和，則一定能求出（

）A．正方形的面積 B．正方形的面積C．的面積 D．四邊形的面積二、填空題11．（2018·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”翻譯成數(shù)學問題是：如圖所示，中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的長，如果設AC＝x，則可列方程為________（方程不用化簡）．12．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長為，在杯內(nèi)壁離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對的點處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計）

13．（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為___________海里（結果保留根號）．14．（2012·山東青島·中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為_______cm．15．（2018·黑龍江伊春·中考真題）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，過點B的直線把△ABC分割成兩個三角形，使其中只有一個是等腰三角形，則這個等腰三角形的面積是_____．16．（2023·陜西西安·?？级＃┪彝糯羞@樣一道數(shù)學問題：今有一豎直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩索比木柱長尺），牽著繩索退行，在距木柱底部尺處時繩索用盡，則木柱長為__________尺．17．（2023·江西九江·?？寄M預測）我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時，繩索用盡．問繩索長為多少．繩索長為_______尺．18．（2023·浙江衢州·三模）某工程隊負責挖掘一處通山隧道，為了保證山腳A，B兩處出口能夠直通，工程隊在工程圖上留下了一些測量數(shù)據(jù)（此為山體俯視圖，圖中測量線拐點處均為直角，數(shù)據(jù)單位：米）．據(jù)此可以求得該隧道預計全長______米．三、解答題19．（2023·廣東廣州·模擬預測）數(shù)學綜合實驗課上，同學們在測量學校的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當把繩子的下端拉開拉直后，下端剛好接觸地面，測得繩子的下端離開旗桿底端8米，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學們就可以準確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎?20．（2017·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，把長方形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，點落在點處.（1）試說明；（2）設，，，試猜想，，之間的關系，并說明理由.21．（2021·廣東·統(tǒng)考二模）一塊木板如圖所示,已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，∠B=90°，木板的面積是多少？22．（2020·湖北黃岡·統(tǒng)考一模）中國海軍亞丁灣護航十年，中國海軍被亞丁灣上來往的各國商船譽為“值得信賴的保護傘”．如圖，在一次護航行動中，我國海軍監(jiān)測到一批可疑快艇正快速向護航的船隊靠近，為保證船隊安全，我國海軍迅速派出甲、乙兩架直升機分別從相距40海里的船隊首（點）尾（點）前去攔截，8分鐘后同時到達點將可疑快艇驅(qū)離．已知甲直升機每小時飛行180海里，航向為北偏東，乙直升機的航向為北偏西，求乙直升機的飛行速度（單位：海里/小時）．23．（2020·浙江·模擬預測）如圖所示，A、B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進行修筑．（1）請判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．24．（2012·山東泰安·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點，BE與DF，DC分別交于點G，H，∠ABE=∠CBE．（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；（2）求證：BG2﹣GE2=EA2．參考答案1．B【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．解：如圖，設大樹高為米，小樹高為米，過點作于，則是矩形，連接，米，米，米，在中，米，故選：B．【點撥】本題考查正確運用勾股定理，解題的關鍵是掌握勾股定理的應用．2．B【分析】竹子折斷后剛好構成一直角三角形，設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺．利用勾股定理解題即可．解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：．所以，原處還有4.55尺高的竹子．故選：B．【點撥】此題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用題目信息構造直角三角形，從而運用勾股定理解題．3．A【分析】首先設蘆葦長為x尺，則水深（x-1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程．解：設蘆葦長為x尺，則水深（x-1）尺，由題意得：（x-1）2+52=x2，故選：A．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型．4．B解：∵直角邊AC＝6cm、BC＝8cm∴根據(jù)勾股定理可知：BA=√62+82=10∵A,B關于DE對稱，∴BE=10÷2=55．C【分析】在直角三角形中利用勾股定理計算出直角邊，即可求出小巷寬度.解：在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故選：C．【點撥】本題考查勾股定理的運用，利用梯子長度不變找到斜邊是關鍵.6．C【分析】利用角度關系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出時間即可．解：，連接，

中，巡航船前去救助，沿直線方向用時最少，故選C．【點撥】本題考查解直角三角形，利用題中的數(shù)據(jù)找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解題的關鍵．7．C【分析】利用勾股定理可以得出梯子的初始高度，梯子的底端水平向外滑動后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．解：則題意得，，∴，梯子的底端水平向外滑動，梯子的頂端向下滑動x米，則，，由勾股定理得，

故選：C．【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，熟知勾股定理是解答此題的關鍵．8．B【分析】設水深為h尺，則蘆葦高為尺，根據(jù)勾股定理列方程，求出h即可．解：解:設水深為h尺，則蘆葦高為尺，由題意知蘆葦距離水池一邊的距離為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得，即水深為12尺，故選：B．【點撥】本題主要考查勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關鍵．9．A【分析】設繩索的長是m，則m，得到（m），由勾股定理得，求出的值，即可得到的長．解：設繩索的長是m，則m∵m，m,∴（m）∵∴∴∴m故選：A．【點撥】本題考查勾股定理的應用，關鍵是由勾股定理列出關于的方程．10．C【分析】過D作于點N，連接，容易證得，，則有，；根據(jù)，，，可證得四邊形是矩形，即D、I、H三點共線，根據(jù)AAS可證，則有，，可得，則，據(jù)此求解．解：如圖所示，過D作于點N，連接，，，同理可證，，，，則有，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，，∴D、I、H三點共線，又，，，，,，，，，即所以知道陰影部分的面積的和，則一定能求出的面積．故選：C【點撥】本題考查勾股定理和三角形全等的證明，將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結合和應用是解題的關鍵．11．【分析】設AC=x，則AB=10-x，再由即可列出方程．解：∵，且，∴，在Rt△ABC中，由勾股定理有：，即：，故可列出的方程為：，故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解決本題的關鍵．12．10【分析】如圖（見分析），將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短可知的長度即為所求，利用勾股定理求解即可得．解：如圖，將玻璃杯側面展開，作關于的對稱點，作，交延長線于點，連接，

由題意得：，，∵底面周長為，，，由兩點之間線段最短可知，螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為，故答案為：10．【點撥】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．13．．【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應用-方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．14．15【分析】過作于，作關于的對稱點，連接交于，連接，則就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，求出，，根據(jù)勾股定理求出即可．解：沿過的圓柱的高剪開，得出矩形，過作于，作關于的對稱點，連接交于，連接，則就是螞蟻到達蜂蜜的最短距離，，，，，，在△中，由勾股定理得：，故答案為：15．【點撥】本題考查了勾股定理，軸對稱最短路線問題的應用，解題的關鍵是找出最短路線．15．3.6或4.32或4.8【分析】在Rt△ABC中，通過解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=6，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面積即可．解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB==5，S△ABC=AB?BC=6．沿過點B的直線把△ABC分割成兩個三角形，使其中只有一個是等腰三角形，有三種情況：①當AB=AP=3時，如圖1所示，S等腰△ABP=?S△ABC=×6=3.6；②當AB=BP=3，且P在AC上時，如圖2所示，作△ABC的高BD，則BD=，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6，∴S等腰△ABP=?S△ABC=×6=4.32；③當CB=CP=4時，如圖3所示，S等腰△BCP=?S△ABC=×6=4.8；綜上所述：等腰三角形的面積可能為3.6或4.32或4.8，故答案為3.6或4.32或4.8．【點撥】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面積是解題的關鍵．16．【分析】設木柱長為尺，根據(jù)勾股定理列出方程解答即可．解：如圖所示，設木柱長為尺，根據(jù)題意得：

∵則解得故答案為：【點撥】本題考查了勾股定理的應用，找準等量關系，正確列出方程是解題的關鍵．17．【分析】設繩索的長為x尺，則木柱的長為尺，在中，根據(jù)勾股定理即可列出方程解答即可．解：設繩索的長為x尺，則木柱的長為尺，在中，由勾股定理得，，即，解得，答：繩索長為尺．故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，熟記直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．18．1000【分析】延長700米和400米的兩邊，交于點C，分析得出，再分別求出和，利用勾股定理計算即可．解：如圖，延長700米和400米的兩邊，交于點C，由題意可得：，由圖中數(shù)據(jù)可得：，，∴米，故答案為：1000．【點撥】本題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是構造直角三角形．19．旗桿的高度為【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構成直角三角形，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)，用勾股定理解答即可．解：設旗桿高米，則繩子長為米，∵旗桿垂直于地面，∴旗桿，繩子與地面構成直角三角形，在中，，∴，解方程得：，答：旗桿高度為15米．【點撥】本題考查的是勾股定理的應用，根據(jù)題意得出△ABC是直角三角形式解答此題的關鍵．20．（1）證明見分析；（2），，之間的關系是．理由見分析．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之間的關系．解：（1）由折疊的性質(zhì)，得，，在長方形紙片中，，∴，∴，∴，∴．（2），，之間的關系是．理由如下：由（1）知，由折疊的性質(zhì)，得，，．在中，，所以，所以．【點撥】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．21．24【分析】連接AC，利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜邊，通過三角形ACD的三邊關系可確定它為直角三角形，木板面積為這兩三角形面積之差．解：連接AC，∵在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，∴AC=5，∵在△ACD中，AC=5，DC=12，AD=13，∴DC2+AC2=122+52=169，AD2=132=169，∴DC2+AC2=AD2，△ACD為直角三角形，AD為斜邊，∴木板的面積為：S△ACD-S△ABC=×5×12-×3×4=24．【點撥】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息畫圖是解題的關鍵．22．乙直升機的飛行速度為每小時飛行240海里．【分析】根據(jù)已知條件得到∠ABO=25°+65°=90°,根據(jù)勾股定理即可得到結論．解：∵甲直升機航向為北偏東25°,乙直升機的航向為北偏西65°,∴∠ABO=25°+65°=90°,∵OA=40,OB=180×=24(海里),∴AB===32(海里),∵32÷=240(海里/小時),答:乙直升機的飛行速度為每小時飛行240海里．【點撥】本題考查勾股定理解直角三角形，方向角問題,正確的理解題意是解題的關鍵．23．（1）△ABC是直角三角形，理由見分析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見分析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結果．解：（1）△ABC是直角三角形；理由