2022屆新高考一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合 教案

豆習(xí)要求

1.理解集合的含義，熟悉元素與集合的關(guān)系.

2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

3.理解全集與空集的概念.

4.掌握集合之間，交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算.

5.能使用Venn圖來表示集合之間的基本關(guān)系.

知識(shí)梳理

1.集合與元素

（1）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性.

（2）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于或者不屬于，用符號(hào)G或e表示.

（3）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、自然語言.

（4）常見數(shù)集及符號(hào)表示

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)N*或N*ZQR

2.集合之間的基本關(guān)系

(1)

基本關(guān)系子集真子集集合相等

自然語言如果集合A中的任如果集合A是集合B一般地，如果集合

何一個(gè)元素都是集的子集，并且集合BA中的每一個(gè)元素

合B中的元素，那么中至少有一個(gè)元素不都是集合B中的

集合A叫做集合B屬于集合A,那么集元素，反過來，集

的子集合A叫做集合B的真合B中的每一個(gè)

子集元素都是集合A

中的元素，那么集

合A等于集合B

符號(hào)語言A^B（或B衛(wèi)A）A\jB（或8?A）A=B

(2)不含任何元素的集合叫做空集，記作0,空集是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

(3)含有〃個(gè)元素的集合，其子集的個(gè)數(shù)為2"個(gè)，真子集的個(gè)數(shù)為2"-1個(gè).

3.集合之間的基本運(yùn)算

基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集

自然語言對(duì)于給定的集合對(duì)于給定的集合對(duì)于給定的集合A

A,B,由所有屬于A,B,由所有屬于是全集U的一個(gè)

A或?qū)儆诩螧的集合A且屬于集子集，由全集U中

元素組成的集合，合B的元素組成不屬于集合A的

稱為集合A與集的集合，稱為集合所有元素組成的

合B的并集A與B的交集集合稱為集合A

相對(duì)于全集U的

補(bǔ)集

符號(hào)語言AUBAABU

圖形語言r?1

模塊一：集合的概念

1.求集合中元素的個(gè)數(shù)或已知元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)

【例1】已知集合人={(%)，胭+|y|<2,xeZ,yeZ},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.10C.12D.13

【答案】D

【解析】由題意可知，集合A中的元素有：(-2,0),(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-2)、

(0,-1).(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1-1).(1,0)、(1,1)、(2,0),共13個(gè),

故選D.

【變式1.1］設(shè)集合A={T,0,l,2},B={\,2},C={x\x=ab,aeA,beB},

則集合C中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】當(dāng)。=一1,匕=1時(shí)，ab--l；當(dāng)a=-l,6=2時(shí)，ab=-2；

當(dāng)a=0,。=1或2時(shí)，ab=O；當(dāng)a=l,。=1時(shí)，ab^l；

當(dāng)a=l,b=2或a=2,〃=1時(shí)，ab—2；當(dāng)。=2,6=2時(shí)，ab=4；

.-.C=｛-2,-l,0,l,2,4｝,故C中元素的個(gè)數(shù)為6個(gè)，故選B.

【例2】已知集合4=｛》6帥<》<1082%｝,集合A中至少有2個(gè)元素，則（）

A.kNT6B.k>16C.k>SD.k>S

【答案】D

【解析】因?yàn)榧螦中至少有2個(gè)元素，所以log2k>3,解得左>8,故選D.

【變式2.1]若集合A=｛x|依2+2x+1=0｝中有且僅有一個(gè)元素,則k的值為.

【答案】0或1

【解析】當(dāng)左=0時(shí)，方程為2x+l=0,有且只有一解，符合題意；

當(dāng)上。0時(shí)，方程4：2+2x+l=0有且僅有一個(gè)解等價(jià)于4=22—4k=0,解得左=1,

故答案為0或1.

2.對(duì)描述法表示集合的理解

【例3】有下列三個(gè)集合：①｛小=丁+1/21,”可；②卜卜=/+1”1t｝；③

｛（x,y）|y=/+i｝；

（1）它們是不是相同的集合？

（2）它們的各自含義是什么？

【答案】（1）不是；（2）答案見解析.

【解析】（1）?｛x|v=x2+l,y>l,yeR｝=R；②｛y[y=/+i,xeR｝=[i,+oo）；③

｛（x,y）\y=V+1｝是點(diǎn)集，它們不是相同的集合.

（2）①卜1=/+1,丁21,”可表示函數(shù)的定義域；②｛小=V+l,xeR｝表示函數(shù)的

值域；③｛（x，y）|y=f+i｝表示點(diǎn)的集合.

【變式3.1](多選)下列與集合M=(x,y)['表示同一個(gè)集合的有()

|[x-y-3=0

A.{(2,-1)}B.{2,-1}

C.{(x,y)|x=2,y=_1}D.(x=2,y=-1}

E{(T2)}

【答案】AC

【解析】由°c，得即M=2,—1},

x-y-3=01y=-l1)

所以根據(jù)集合的表示方法知A,C與集合M表示的是同一個(gè)集合，故選AC.

解題歸納)

與集合有關(guān)問題的解題方略

①確定集合的代表元素；

②看代表元素滿足的條件；

③根據(jù)條件列式求參數(shù)的值域或確定集合元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合中元素是否

滿足互異性.

模塊二：集合之間的基本關(guān)系

1.集合間關(guān)系的判斷

【例4】已知集合"={x|y=ln(x+6)},N={y|y=2，-1},則下列關(guān)系正確的是()

A.M=NB.N=MC.NeMD.=0

【答案】B

【解析】Vx+6>0,：.M={x|x>-6},

又,.2>0,，N={y[y>-l},NqM,故選B.

【變式4.1]設(shè)集合用=1,—%>（）},N=—?jiǎng)t（）

A.M=NB.NjMC.M=ND.M\JN=R

【答案】C

【解析】由題意得：集合M={x|x>l或X<O},

11—XI

由一<1,則——V0,即工。-1)>0,所以尤>1或l<0,所以集合"="尢>1或％<0},

XX

即A/二N,故選C.

JI'JI'Ji'It

【例5】若集合“keZ卜N=^xX=k--+-,k&l\,

則()

A.M=NB.MqNC.NqMD.MflN=0

【答案】B

【解析】匕￡-￡=(24-1)：,ZeZ時(shí)，2A—1取得所有奇數(shù)；

-二+乙=(k+2)3，AeZ時(shí)，左+2取得整數(shù)，

424

因此M=N,故選B.

【變式5.1】如果集合5={劃工=3〃+1,”?]^},T={x\x=3k-2,keZ},

則()

A.S^TB.ToSC.S=TD.S(JT

【答案】A

【解析]由7={幻工=3女_2=3/一1)+1,%62}="|%=3/—1)+1,4_162},

令。=左一1,則reZ,所以T={x|x=3f+l,feZ},

通過對(duì)比S、T,且由常用數(shù)集N與Z可知NUZ,故SUT,故選A.

解題歸納)

判斷集合間關(guān)系的常用方法

1.觀察法

當(dāng)集合中元素較少時(shí)，可列舉出集合中的全部元素，通過定義得出集合之間的關(guān)系.

2.集合元素特征法

先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷得

出集合之間的關(guān)系.

一般地，設(shè)4=卜加(%)},5={x|q(x)}.

①若由p(x)可推出q(x),則A[3；

②若由q(x)可推出p(x),則B=

③若p(x),q(x)可以互相推出,則A=3；

④若由p(x)推不出q(x),由q(x)也推不出p(x),則集合A,8無包含關(guān)系.

2.根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)或其范圍

[例6](多選)已知集合4=卜6叫》2_3了_18<0},B={xGR|x2+ax+a2-27<0},

則下列命題中正確的是()

A.若A=8,則。=一3B.若A=則q=—3

C.若8=0,貝iJaV-6或。26D.若。=3,則408={乂-3<x<6}

【答案】ABC

【解析】由己知得A={x|-3<x<6},令g(x)=Y+ax+a2-27.

A：若A=8,即一3,6是方程8(%)=。的兩個(gè)根，則廣:得。=一3,正確;

一”_R

g(-3)=a2-3?-18<0

B：若4三3,解得。=一3,正確;

g(6)=a2+6a+9<0

C：當(dāng)3=0時(shí),J=a2-4(a2-27)<0,解得aK-6或。26,正確;

D：當(dāng)a=3時(shí)，有8=卜€(wěn)R,+3x-18<0}={x|-6<x<3},

所以408=何一3Vx<3},錯(cuò)誤,

故選ABC.

【變式6.1](多選)已知「=卜卜2-8》一2040},集合S={x|l若XGP

是xeS的必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值可以是。

A.-1B.1C.3D.5

【答案】ABC

【解析】由％2—8%一20?0,解得一2WxW10,/.P=[-2,10],

非空集合5={巾一加<》<1+〃?},

又xe尸是xeS的必要條件，所以SqP,

當(dāng)S=0,即團(tuán)<0時(shí)，滿足題意；

—2<1—/w

當(dāng)SW0,即加N0時(shí)，，八，解得0<加<3,

1+777<10

，〃?的取值范圍是(3,3],實(shí)數(shù)m的取值可以是T,1,3,故選ABC.

【變式6.2]集合A={x|x<-1或x23},5=3奴+1<0},若則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是()

A.1B.1

47-?

D.——,0jlJ(OJ)

c.(^?,-I)U[O,-H?)

【答案】A

【解析】?：BA,

二①當(dāng)8=0時(shí)，即田:+1V0無解，此時(shí)。=0,滿足題意;

②當(dāng)3H0時(shí)，即辦+1W0有解,

[?>0

當(dāng)。>0時(shí)，可得xW-L,要使8口4,則需要41

解得0<〃<1;

a——<-1

、a

a<0

當(dāng)。<0時(shí)，可得xZ-L,要使8=A則需要11.，解得

a——>33

Ia

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是-；』)，故選A.

3.有限集的子集或真子集的個(gè)數(shù)

【例7】已知集合M滿足{1,2}=加。{1,2,5,6,7},則符合條件的集合M有_____個(gè).

【答案】7

【解析】據(jù)子集的定義，可得集合M必定含有1、2兩個(gè)元素，而且含有5,6,7中的

至多兩個(gè)元素，

因此，滿足條件{1,2}qMU{1,2,5,6,7}的集合M有：{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},

{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7個(gè),

故答案為7.

【變式7.1】已知集合4={4,5,6,7},8={x|4<x<9},則的子集個(gè)數(shù)為（）

i.4B.8C.16D.32

【答案】B

【解析】由已知可得AD3={5,6,7},因此，AA6的子集個(gè)數(shù)為丁=8,故選B.

模塊三：集合的基本運(yùn)算

1.集合的交并補(bǔ)運(yùn)算

【例8】(1)設(shè)集合A={X|X2-2X—3K0},B={x|^/^萬<2,xGZ},則AD8=()

A.{1,2,3}B.{x|l<x<3}C.{1,2,3,4)D.{x|TVx<5}

【答案】A

【解析】由4={x|Y-2)-340}=[-1,3]；B={X|VXM<2,XGZ}={1,2,3,4),

則4口8={1,2,3},故選A.

(2)已知集合人二卜,"},3={小<1},則集合4UB等于()

A.(x|l<%<2!x|x>1||JV|X<2|

【答案】C

【解析】由不等式/<4,可得一2Wx<2,即集合A={x|—24x<2},

又由集合8={小<1},可得AU8={X|X?2},故選C.

A.{x[l<x<2}B.{x|l<x<2}C.{x|x>2}D.{x\x>2]

【答案】C

【解析】因?yàn)锳={x|lnx>O}={x|x>l},B=[x|=V0]={x|(x-l)(x—2)V0且

x^l}=[x\l<x<2},

所以“B={x|x>2},故選C.

(4)己知全集。=口，集合M={xwZ||無一[<3},N={T-2,0,l,5},則下列Venn圖

中陰影部分的集合為()

A.{0,1}B.{-3,1,4}C.{-1,2,3}D.{-1,0,2,3}

【答案】C

【解析】集合

M={xGZ||x-l|<3}={xeZ|-3<x-l<3}={xeZ|-2<x<4}={-l,0,l,2,3）,

Venn圖中陰影部分表示的集合是MI”={-1,2,3},故選C.

【變式8.1]設(shè)集合A={y|y=GI},集合6={幻V一以>o},則&為必等于

（）

A.（0,4]B.[4,+co）C.[0,4]D.（4,-H?）

【答案】C

【解析】集合A={y|y=Jx-2}={y|y20},

集合5={x|J_4x>o}={x|x（x-4）>0}={》|》<0或%>4},

則為6={x[0<x<4},.?.（aB）nA={x[0Wx<4}=[0,4],故選C.

2.根據(jù)集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或范圍

【例9】已知集合4={（蒼?。?+0一°=0},8={（x,y）卬+（2a+3）y-l=。}.

若Ap|B=0,則實(shí)數(shù)。=（）

A.3B.-1C.3或—1D.-3或1

【答案】A

【解析】因?yàn)?n8=0,所以直線x+紗-a=（）與直線3+（2a+3）y-1=0沒有交點(diǎn)，

所以直線工+政一。=0與直線6+（2a+3）y—1=0互相平行，

所以lx（2a+3）-axa=0,解得。=一1或a=3.

當(dāng)a=T時(shí)，兩直線為x-y+l=(),-x+y-1=0,此時(shí)兩直線重合，不滿足;

當(dāng)a=3時(shí)，兩直線為x+3y-3=0,3x+9y-l=0,此時(shí)兩直線平行，滿足，

所以"的值為3,故選A.

【變式9.1]集合A=x；W2"8>,fi={x|log2(x-?)>l},若AA8=0,則。的取

值范圍為()

A.[-1,4W)B.(-1,4W)c.[1,+<?)D.(1,+?)

【答案】C

【解析】=|x|^-81={x|-2<x<31,8={x|log2(x-a)>1}={x|x〉a+2},

又AnB=0,所以a+223,即aNl,故選C.

【例10】已知集合A,8滿足AU8={x[l<x<3},An3={x[a<xWa+l},

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.[1,2]B.(1,2)C.(1,2]D.0

【答案】C

a>1/r

【解析】由ADBuAUB知，,,解得ae1,2,故選C.

a+l<3

【變式10.1】已知集合4=卜,2+*_6<0},3={鄧-xW2〃z},且AC|8={x|-1WXW2},

則"?=()

A.—B.0C.—1D.1

2

【答案】D

【解析】因?yàn)锳={x,+x_6Vo}={兀卜3?2},Bl-2m1,

且AnB={x|-K2},

所以1-2〃2=-1,解得m=1,故選D.

【變式10.2]設(shè)集合4={幻/+〃a-2<0},3={劃-1(如3},且41；8=3-2<三3},

則Ap|8=()

A.{x|-l<x<l}B.{xj-2<x<l}C.{x|-2<x<-l}D.{x|l<x<3}

【答案】A

【解析】由題意，集合B={x|-且AUB={x|—2<x<3},

可得一2是方程Y+/7f2=0的根，即(-2)2+mx(-2)-2=0,解得加=1,

所以A={x|X?+x—2<()}={x|-2<x<1},

則AnB={x|-l〈x<l},故選A.

【例已知集合人={—1,0,1},B={x,%2},若4nB=3,則實(shí)數(shù)x=。

A.-1B.1C.±1D.0或±1

【答案】A

【解析】由4口8=8,得6=A,

x=0時(shí)，》2=0=》不合題意；x=l時(shí)，％2=1=%也不合題意；

x=-l時(shí)，f=i,滿足題意，

故選A.

(2)已知集合A={x|x2—8x+〃?=0,〃?eR},B={x|or-l=0,?eR},

且AUB=A.

①若傘3={3},求m,a的值；

②若加=12,求實(shí)數(shù)a組成的集合.

【答案】①加=15,②1°H

【解析】①因?yàn)锳={x|f—8x+m=0,meR|,B={%|ax—\=0,aeR},

且AUB=A.

。3={3},所以3wA,3e8,所以32-8x3+m=0，解得加=15,

所以A={3,5},所以5e8,所以5a-l=0,解得a=(.

②若m=12,所以A={2,6},因?yàn)锳UB=A,所以

當(dāng)3=0,貝U〃=0；

當(dāng)3={2},則a=g；

當(dāng)3={6},則

綜上可得

【變式11.11設(shè)全集為R,A={x\3<x<7},fi={x|x2-14x+40<0}.

(1)求4(A|JB)及(4A)n3；

（2）若集合C={x|2m+1WXWm+4},且AUC=4,求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

【答案】(1)\(AU8)={x|x<3或xNK)},(^A)AB={x|7<x<10};(2){m|m>l}.

【解析】⑴求解得集合8={X|X2-14X+40<0}={X[4<X<10},

所以"A={x|x<3或x>7},

所以&A)DB={x[7<x<10},Q(AU8)={中<3或xN10}.

(2)因?yàn)锳UC=A,所以C=A.

當(dāng)集合C=0時(shí)，2加+1>〃?+4,得〃2>3；

2m+1<m+4

當(dāng)集合C±0時(shí),<2m+l>3,得14根<3,

m+4<7

綜上，加的取值范圍為{加|mN1}.

模塊四：集合的新定義問題

【例12】設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6},且U的子集可表示由0,1組成的6位字符串，如：

{2,4}表示的是自左向右的第2個(gè)字符為1,第4個(gè)字符為1,其余字符均為0的6位

字符串010100,并規(guī)定，空集表示的字符串為000000；對(duì)于任意兩集合A,B,我們

定義集合運(yùn)算4-8={x|xeA且xeB},A*3=（A—3）U（3—A）.若A={2,3,4,5},

={3,5,6},則A*8表示的6位字符串是（）

A.101010B.011001C.010101D.000111

【答案】C

【解析】由題意可得若A={2,3,4,5},B={3,5,6},則A*6={2,4,6},

所以此集合的第2個(gè)字符為1,第4個(gè)字符為1,第6個(gè)字符為1,其余字符均為0,

即A*3表示的6位字符串是010101,故選C.

【變式12.1】定義集合運(yùn)算：A*8={z|z=^,xwA,ye8},設(shè)人={1,2},8={1,2,3},

則集合A*8的所有元素之和為()

A.16B.18C.14D.8

【答案】A

【解析】由題設(shè)知：A*B={1,2,3,4,6},

二所有元素之和1+2+3+4+6=16,故選A.

模塊五：集合的應(yīng)用

【例13】某小學(xué)五年級(jí)一班共有50名學(xué)生，在期中考試中語文25人優(yōu)秀，數(shù)學(xué)30

人優(yōu)秀，兩門都不是優(yōu)秀者7人，則兩門都是優(yōu)秀同學(xué)共有人.

【答案】12

【解析】設(shè)兩門都是優(yōu)秀同學(xué)共有x人，利用Venn圖表示如圖,

W/\

語

數(shù)

門

文

i學(xué)

均

優(yōu)

/優(yōu)

坡

秀

秀

兩門均不優(yōu)秀

所以有25+30-*+7=50,解得x=12,

故兩門都是優(yōu)秀同學(xué)共有12人，故答案為12.

【變式13.1】某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂的講座，其中有85人聽了數(shù)學(xué)講

座，70人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，16人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人

同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、音樂講座，9人同時(shí)聽了歷史、音樂講座，還有5人聽了全部講座，則

聽講座的人數(shù)為.

【答案】184

【解析】將已知條件用Venn圖表示出來如下圖所示，

所以聽講座的人數(shù)為62+7+5+11+45+4+50=184,故答案為184.

數(shù)學(xué)

^9

【變式13.2】某班共38人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，16人

對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為.

【答案】12

【解析】設(shè)兩者都喜歡的人數(shù)為x人，則只喜愛籃球的有(15-幻人，只喜愛乒乓球的

有(10-x)人,由此可得(15-x)+(10-x)+x+16=38,解得x=3,

所以15-x=12,

即所求人數(shù)為12人，故答案為12.

課后作業(yè)

一、選擇題.

1.已知集合4={刈1。82屏一1)<0},B={X|X2<9},則AU3=()

A.(-oo,3]B.[-3,3]C.[-3,2)D.(1,2)

【答案】B

[解析]A={x|log2(x-l)<0}={x|0<x-l<l}={x|l<x<2},

B={X|X2<9}={X|-3<X<3},

所以AUB=A={x|-34xW3},故選B.

2.設(shè)全集U={xeZ|W<2},A={x\x+l<0},B={—2,0,2},則(另A)U§=()

A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(一1,2]U{-2}

【答案】C

【解析】?.?U={xeZ|國(guó)W2}={—2,—1,0,1,2},A=U|%+l<0}={x|x<-l},

.??*={0,1,2},??.&A)U3={—2,0,1,2},

故選c.

3.集合A={O,—1,/},8={-2,/},若AU3={—2,7,0,4,16},則。=()

A.±1B.±2C.±3D.±4

【答案】B

f/=4

【解析】由408={—2,-1,0,4,16}知，4],解得。=±2,

故選B.

4.設(shè)4=卜X2_4X+3W。},6={Min(3—2x)<0},則圖中陰影部分表示的集合為()

C.(1,3]

【答案】B

【解析】由圖可知陰影部分既屬于集合A,也屬于集合3,即陰影部分表示為4nB.

因?yàn)锳={x|X2-4X+340}={X|14XV3},B={x|ln(3-2x)<0}={x|l<x<-|},

所以AnB=(l,1),故選B.

5.已知集合人={1,一1},8=[“0K〃〈10,〃ez},則AU8中元素的個(gè)數(shù)為。

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】VA={1,-1},B={n|0<n<10,^€z}={0,l,4,9},

AUB={T,0,l,4,9},.?.AU8中元素的個(gè)數(shù)為5,故選B.

6.定義集合A*B={x|x=A,"eB},設(shè)4={2集},B={1,2},則集合A*B的非

空真子集的個(gè)數(shù)為。

A.12B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】AaB={2,3,4,6),所以集合A卷B的非空真子集的個(gè)數(shù)為24-2=14，

故選B.

7.定義集合=,已知集合4=卜產(chǎn)+3工一10<()},

8={川一7<%<0},則A(2)B=()

A.卜卜5cx<-1}B.{止7cx<2}C.{x|-5<x<l}D.{中5cx<0}

【答案】C

【解析】由不等式H+3x—10=(x—2)。+5)<0,解得一5<x<2,

即A={x|-5<x<2},

又由5={x|-7<x<0},若leB,可得xe{x|-6<x<l},

所以A88={H_5<X<1},故選C.

8.某校高一(9)班共有49名同學(xué)，在學(xué)校舉辦的書法競(jìng)賽中有24名同學(xué)參加，在

數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有25名參加，已知這兩項(xiàng)都參賽的有12名同學(xué)，在這兩項(xiàng)比賽中，該班

沒有參加過比賽的同學(xué)的人數(shù)為。

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【解析】因?yàn)槟承８咭?9)班共有49名同學(xué)，

參加學(xué)校舉辦的書法競(jìng)賽中有24名同學(xué)，

參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有25名，且兩項(xiàng)都參賽的有12名同學(xué)，

所以在兩項(xiàng)比賽中，該班參加過比賽的同學(xué)的人數(shù)共有24+25-12=3