新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)3空間向量基本定理新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

課時(shí)分層作業(yè)(三)空間向量基本定理一、選擇題1．已知{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是()A．a(chǎn)＋b，a，a－b B．a(chǎn)＋b，b，a－bC．a(chǎn)＋b，c，a－b D．a(chǎn)＋b，2a－b，a－b 2．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，若BA＝a，BC＝b，BB1＝c，則下列向量與BM相等的是(A．－12a－12b＋c B．12a＋1C．－12a＋12b＋c D．12a＋13．若向量MA，MB，MC的起點(diǎn)M與終點(diǎn)A，B，C互不重合，且點(diǎn)M，A，B，C中無三點(diǎn)共線，滿足下列關(guān)系(O是空間任一點(diǎn))，則能使向量MAA．OM＝1B．MA≠M(fèi)BC．OM＝OAD．MA＝2MB4．已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)E為上底面A1B1C1D1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，則x，y的值分別為(A．1，1B．1，12C．12，125．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6．若E是棱BB1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與AC1所成角的余弦值為()A．1313B．21313C．313二、填空題6．已知向量a，b，c構(gòu)成空間的一個(gè)基底{a，b，c}，若d＝3a＋4b＋c，且d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，則x＝________．7．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝π3，∠BAA1＝∠DAA1＝π4，則AC1的長(zhǎng)為8．正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝22，D為棱A1B1的中點(diǎn)，則異面直線AD與CB1所成角的大小為________．三、解答題9．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的長(zhǎng)．10．(多選)在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點(diǎn)，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，則下列說法正確的是()A．EG⊥PG B．EG⊥BCC．FG∥BC D．FG⊥EF11．(多選)如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是()A．AC1＝66B．AC1⊥DBC．向量B1C與AD．BD1與AC所成角的余弦值為612．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子(原子、離子或分子)在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體．在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞．已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn))．則圖中原子連線BF與B1E所成角的余弦值為________．13．棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線EF與AB所成角的大小是________，線段EF的長(zhǎng)度為________．14．如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點(diǎn)O，EC⊥底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面ACF．(2)求證：BD⊥AE．(3)若AB＝2CE，在線段EO上是否存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO15．如圖，在三棱錐O-ABC中，G是△ABC的重心(三條中線的交點(diǎn))，P是空間任意一點(diǎn)．(1)用向量OA，OB，OC(2)設(shè)OP＝xOA＋yOB＋zOC，x，y，z∈R，請(qǐng)寫出點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部(不包括邊界)的充要條件(不必給出證明)．課時(shí)分層作業(yè)(三)1．C2．D3．C4．C5．A6．27．98+569．解：(1)證明：設(shè)AB＝p，AC＝q，AD＝r．由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.連接AN(圖略)．MN＝AN＝12(AC＝12(q＋r－p)∴MN·AB＝12(q＋r－p＝12(q·p＋r·p－p2＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2＝0，∴MN⊥AB，同理可證MN⊥CD．(2)由(1)可知，MN＝12(q＋r－p)∴|MN|2＝14(q＋r－p)＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p＝1＝14×2a2＝a∴|MN|＝22a，∴MN的長(zhǎng)為2210．ABD[如圖，設(shè)PA＝a，PB＝b，PC＝c，則{a，b，c}是空間的一個(gè)正交基底，則a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中點(diǎn)H，則PG＝23PH＝23×12(a＋b)＝13PE＝PB+BE＝PB＋13BC＝PB＋13(PCEG＝PG-PE＝13a＋13b－23b－13c＝13a－13b－1FG＝PG-PF＝13a＋13b－13EF＝PF-PE＝13b－13c+2∴EG·PG＝0，A正確；EG·BC＝0，B正確；FG≠λBC(λ∈R)，C不正確；FG·EF＝0，D11．AB[因?yàn)橐皂旤c(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，所以AA1·AB＝AA1·AD＝AD·(AA1+AB+AD)2＝AA12＋AB2＋＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，則|AC1|＝|AA1+AB+AC1·DB＝(AA1+AB+AD)·(AB顯然△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D＝60°．因?yàn)锽1C＝A1D，且向量A1D與AA1的夾角是120°，所以BD1＝AD+所以|BD1|＝AD+A|AC|＝AB+AD2＝又BD1·AC＝(AD+AA1所以cos〈BD1，AC〉＝BD1·ACBD12．1512．π413．14．解：(1)證明：設(shè)CB＝a，CD＝b，CE＝c，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0．依題意得DE＝CE-CD＝c－b，CA＝CB+BA＝a＋b，CF＝12(CB+設(shè)DE＝xCA＋yCF(x，y∈R)，則c－b＝x(a＋b)＋y12a+12c＝x+12因此x+1又CA與CF不共線，所以DE，CA，CF共面．又直線DE不在平面ACF內(nèi)，所以DE(2)證明：依題意得BD＝BA+BC＝b－a，AE＝AC+CE＝AD+DC+CE＝－a－b＋c＝c－a－b，則BD·AE＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0(3)由AB＝2CE，設(shè)|a|＝|b|＝2，則|c|＝2，假設(shè)在線段EO上存在點(diǎn)G，使CG⊥平面BDE．由O，G，E三點(diǎn)共線，設(shè)CG＝(1－λ)CE＋λCO＝12λa＋12λb＋(1－λ)c(0≤λ≤由CG⊥平面BDE，知CG⊥DE，而DE＝c－b，所以CG·DE＝12λa+12λb+1-λc·(c－b)＝(1－λ)