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文檔簡介
教案系列數(shù)學教案:一元二次方程實數(shù)根錯例剖析課教案及反思?XML:NAMESPACEPREFIX=O/>x-1=0有兩個不相等的實根,求k
的取值范圍。
錯解:由△=(-2)2-4(1-2k)(-1)=-4k+8>0得k<2又∵k+1≥0∴k≥-1。即k的取值范
圍是-1≤k<2
錯因剖析:漏掉了二次項系數(shù)1-2k≠0這個前提。事實上,當1-2k=0即k=時,原方程變?yōu)橐淮畏匠?,不行能有兩個實根。
正解:-1≤k<2且k≠
例4(2021中考題)已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1=0的兩個實數(shù)根,當x12+x22=15時,求m的值。
錯解:由根與系數(shù)的關(guān)系得
x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2+1,
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
=[-(2m+1)]2-2(m2+1)
=2m2+4m-1
又∵x12+x22=15
∴2m2+4m-1=15
∴m1=-4m2=2
錯因剖析:漏掉了一元二次方程有兩個實根的前提條件是判別式△≥0。因為當m=-4時,方程為x2-7x+17=0,此時△=(-7)2-4171=-19<0,方程無實數(shù)根,不符合題意。
正解:m=2
例5若關(guān)于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有實數(shù)根,求m的取值范圍。
錯解:△=[-2(m+2)]2-4(m2-1)=16m+20
∵
△≥0
∴16m+20≥0,
∴m≥-5/4
又∵m2-1≠0,
∴m≠1
∴m的取值范圍是m≠1且m≥-
錯因剖析:此題只說(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0是關(guān)于未知數(shù)x的方程,而未限定方程的次數(shù),所以在解題時就必需考慮m2-1=0和m2-1≠0兩種狀況。當m2-1=0時,即m=1時,方程變?yōu)橐辉淮畏匠?,仍有實?shù)根。
正解:m的取值范圍是m≥-
例6已知二次方程x2+3x+a=0有整數(shù)根,a是非負數(shù),求方程的整數(shù)根。
錯解:∵方程有整數(shù)根,
∴△=9-4a>0,則a<2.25
又∵a是非負數(shù),∴a=1或a=2
令a=1,則x=-3,舍去;令a=2,則x1=-1、x2=-2
∴方程的整數(shù)根是x1=-1,x2=-2
錯因剖析:概念模糊。非負整數(shù)應包括零和正整數(shù)。上面答案僅是一部分,當a=0時,還可以求出方程的另兩個整數(shù)根,x3=0,x4=-3
正解:方程的整數(shù)根是x1=-1,x2=-2,x3=0,x4=-3
【練習】
練習1、(01中考題)已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2。(1)求k的取值范圍;(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)?假如存在,求出k的值;假如不存在,請說明理由。
解:(1)依據(jù)題意,得△=(2k-1)2-4k2>0解得k<
∴當k<
時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。
(2)存在。假如方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù),則x1+x2=-=0,
解得k=。經(jīng)檢驗k=是方程-的解。
∴當k=時,方程的兩實數(shù)根x1、x2互為相反數(shù)。
讀了上面的解題過程,請推斷是否有錯誤?假如有,請指出錯誤之處,并直接寫出準確答案。
解:上面解法錯在如下兩個方面:
(1)漏掉k≠0,準確答案為:當k<時且k≠0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根。
(2)k=。不滿意△>0,準確答案為:不存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)
練習2(02市)當a
取什么值時,關(guān)于未知數(shù)x的方程ax2+4x-1=0只有正實數(shù)根?
解:(1)當a=0時,方程為4x-1=0,∴x=
(2)當a≠0時,∵△=16+4a≥0∴a≥-4
∴當a≥-4且a≠0時,方程有實數(shù)根。
又因為方程只有正實數(shù)根,設(shè)為x1,x2,則:
x1+x2=->0;
x1.x2=->0解得:a<0
綜
上所述,當a=0、a≥-4、a<0時,即當-4≤a≤0時,原方程只有正實數(shù)根。
【小結(jié)】以上數(shù)例,說明我們在求解關(guān)于二次方程的問題時,往往急于尋求結(jié)論而忽視了實數(shù)根的存在與“△”之間的關(guān)系。
1、運用根的判別式時,若二次項系數(shù)為字母,要留意字母不為零的條件。
2、運用根與系數(shù)關(guān)系時,△≥0是前提條件。
3、條件多面時(如例5、例6)考慮要周全。
【布置作業(yè)】
1、當m為何值時,關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+m2-9=0有兩個正根?
2、已知,關(guān)于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0(m≠0)沒有實數(shù)根。求證:關(guān)于x的方程
(m-5)x2-2(m+2)x+m=0肯定有一個或兩個實數(shù)根。
考題匯編
1、(年省中考題)設(shè)x1、x2是方程x2-5x+3=0的兩個根,不解方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求(x1-x2)2的值。
2、(2021年省中考題)已知關(guān)于x的方程x2-2x+m-1=0
(1)若方程的一個根為1,求m的值。
(2)m=5時,原方程是否有實數(shù)根,假如有,求出它的實數(shù)根;假如沒有,請說明理由。
3、(2021年省中考題)已知關(guān)
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