數(shù)學七年級下學期第10講整式化簡與整式除法

第10講整式化簡與整式除法（核心考點講與練）一．整式的混合運算—化簡求值先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似．二．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．a(chǎn)m÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整數(shù)，m＞n）①底數(shù)a≠0，因為0不能做除數(shù)；②單獨的一個字母，其指數(shù)是1，而不是0；③應用同底數(shù)冪除法的法則時，底數(shù)a可是單項式，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是什么，指數(shù)是什么．三．整式的除法整式的除法：（1）單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式．關(guān)注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式．（2）多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式．多項式除以單項式的結(jié)果仍是一個多項式．四．整式的混合運算（1）有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似．（2）“整體”思想在整式運算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時應注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來．五．零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．六．負整數(shù)指數(shù)冪負整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝1ap（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計算負整數(shù)指數(shù)冪時，一定要根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯誤．③當?shù)讛?shù)是分數(shù)時，只要把分子、分母顛倒，負指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運算中，始終要注意運算的順序．一．整式的混合運算—化簡求值（共5小題）1．（2021秋?利通區(qū)期末）先化簡再求值：4（m+1）2﹣（2m+5）（2m﹣5），其中m＝﹣3．【分析】根據(jù)完全平方公式，平方差公式化簡，然后把給定的值代入求值．【解答】解：4（m+1）2﹣（2m+5）（2m﹣5），＝4（m2+2m+1）﹣（4m2﹣25），＝4m2+8m+4﹣4m2+25，＝8m+29，當m＝﹣3時原式＝8×（﹣3）+29＝﹣24+29＝5．【點評】主要主要考查了完全平方公式，平方差公式，去括號以及合并同類項．去括號時，注意符號的處理．2．（2021秋?杭州期末）已知M＝（ab﹣4a2）﹣8ab，N＝2a（a﹣b），求M+N的值，其中a＝﹣1，b＝．【分析】將已知整式代入，然后去括號，合并同類項進行化簡，最后代入求值．【解答】解：∵M＝（ab﹣4a2）﹣8ab，N＝2a（a﹣b），∴M+N＝（ab﹣4a2）﹣8ab+2a（a﹣b）＝ab﹣2a2﹣8ab+2a2﹣ab＝﹣8ab，當a＝﹣1，b＝時，原式＝﹣8×（﹣1）×＝．【點評】本題考查整式的加減—化簡求值，掌握合并同類項（系數(shù)相加，字母及其指數(shù)不變）和去括號的運算法則（括號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里的各項不變號；括號前面是“﹣”號，去掉“﹣”號和括號，括號里的各項都變號）是解題關(guān)鍵．3．（2021秋?沙坪壩區(qū)校級期末）先化簡，再求值：2x2+2（x2﹣xy）+（y﹣x）（y+3x），其中x＝，y＝﹣1．【分析】根據(jù)單項式乘多項式，多項式乘多項式的運算法則先算乘法，然后合并同類項進行化簡，最后代入求值．【解答】解：原式＝2x2+2x2﹣2xy+y2+3xy﹣xy﹣3x2＝x2+y2，當x＝，y＝﹣1時，原式＝（）2+（﹣1）2＝+1＝．【點評】本題考查整式的混合運算，掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關(guān)鍵．4．（2021秋?嵩縣期末）（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值；（2）先化簡，再求值：[（x﹣3y）2﹣x（2x﹣4y）+x2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝2．【分析】（1）利用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運算法則將原式進行變形，然后代入求值；（2）利用完全平方公式和單項式乘多項式的運算法則計算括號內(nèi)的乘方和乘法，然后合并同類項進行化簡，最后算括號外面的除法，再代入求值即可．【解答】解：（1）原式＝xm?x2n＝xm?（xn）2，∵xm＝2，xn＝3，∴原式＝2×32＝2×9＝18，即xm+2n的值為18；（2）原式＝（x2﹣6xy+9y2﹣2x2+4xy+x2）÷（﹣2y）＝（﹣2xy+9y2）÷（﹣2y）＝﹣2xy÷（﹣2y）+9y2÷（﹣2y）＝，當x＝1，y＝2時，原式＝＝1﹣9＝﹣8．【點評】本題考查整式的混合運算—化簡求值，掌握冪的乘方（am）n＝amn運算法則，完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵．5．（2021?蘭山區(qū)模擬）《數(shù)書九章》中的秦九韶算法是我國南宋時期的數(shù)學家秦九提出的一種多項式簡化算法，現(xiàn)在利用計算機解決多項式的求值問題時，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法．例如，計算“當x＝8時，多項式3x3﹣4x2﹣35x+8的值”，按照秦九韶算法，可先將多項式3x3﹣4x2﹣35x+8進行改寫：3x3﹣4x2﹣35x+8＝x（3x2﹣4x﹣35）+8＝x[x（3x﹣4）﹣35]+8按改寫后的方式計算，它一共做了3次乘法，3次加法，與直接計算相比節(jié)省了乘法的次數(shù)，使計算量減少，計算當x＝8時，多項式3x3﹣4x2﹣35x+8的值為1008．請參考上述方法，將多項式x3+2x2+x﹣1改寫為：x[x（x+2）+1]﹣1，當x＝8時，這個多項式的值為647．【分析】仿照題中的方法將原式改寫，把x的值代入計算即可求出值．【解答】解：x3+2x2+x﹣1＝x[x（x+2）+1]﹣1，當x＝8時，原式＝647，故答案為：x[x（x+2）+1]﹣1；647【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，弄清題中的方法是解本題的關(guān)鍵．二．同底數(shù)冪的除法（共4小題）6．（2021秋?蘭考縣期末）若4x＝a，8y＝b，則22x﹣3y可表示為．（用含a、b的代數(shù)式表示）【分析】逆向運算同底數(shù)冪的除法法則，結(jié)合冪的乘方運算法則計算即可．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【解答】解：∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b，∴22x﹣3y＝22x÷23y＝．故答案為：．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方，掌握冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．7．（2021春?鄞州區(qū)校級期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x?27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方運算法則求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x?27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1＝．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方，掌握相關(guān)運算法則是解答本題的關(guān)鍵．8．計算：[（xn+1）4?x2]÷[（xn+2）3÷（x2）n]．【分析】首先根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方計算括號里面的式子，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法進行計算即可．【解答】解：原式＝x4n+4+2÷（x3n+6÷x2n）＝x4n+6÷xn+6＝x3n．【點評】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法、乘法，以及冪的乘方，關(guān)鍵是掌握各運算法則．9．（2021春?奉化區(qū)校級期末）（1）已知a+4＝﹣3b，求3a×27b的值；（2）已知3m＝6，9n＝2，求32m﹣4n的值．【分析】（1）由a+4＝﹣3b可得a+3b＝﹣4，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運算法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方運算法則計算即可．【解答】解：（1）因為a+4＝﹣3b，所以a+3b＝﹣4，所以3a×27b＝3a×33b＝3a+3b＝3﹣4＝；（2）因為3m＝6，9n＝2，所以32n＝2，所以32m﹣4n＝（3m）2÷（32n）2＝62÷22＝36÷4＝9．【點評】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方，熟記冪的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．三．整式的除法（共3小題）10．（2021秋?泉港區(qū)期末）計算：（6x2y﹣2xy2）÷2xy＝3x﹣y．【分析】根據(jù)多項式除單項式的運算法則計算，得到答案．【解答】解：（6x2y﹣2xy2）÷2xy＝6x2y÷2xy﹣2xy2÷2xy＝3x﹣y，故答案為：3x﹣y．【點評】本題考查的是整式的除法，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．11．（2020秋?奉賢區(qū)期末）計算：（6x3+3x2﹣2x）÷（﹣2x）﹣（x﹣2）2．【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：原式＝6x3÷（﹣2x）+3x2÷（﹣2x）+（﹣2x）÷（﹣2x）﹣（x﹣2）2＝﹣3x2﹣x+1﹣（x2﹣4x+4）＝﹣3x2﹣x+1﹣x2+4x﹣4＝﹣4x2+x﹣3．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．12．（2021秋?椒江區(qū)校級期中）兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21計算如下：因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．（1）閱讀上述材料后，試判斷x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，說明理由．（2）利用上述方法解決：若多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求的值．【分析】（1）直接利用豎式計算，進一步判定即可；（2）豎式計算，根據(jù)整除的意義，利用對應項的系數(shù)對應倍數(shù)求得答案即可．【解答】解：（1）x3﹣x2﹣5x﹣3能被x+1整除；理由如下：（2）若多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除則有所以a+9＝﹣3，a＝﹣12，b＝6；＝﹣2．【點評】此題考查利用豎式計算整式的除法，注意同類項的對應．四．整式的混合運算（共3小題）13．（2021秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖是一個由4張紙片拼成的長方形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中（1）（2）是兩個面積相等的梯形，（3）（4）是正方形，若要求出長方形的面積，則需要知道下列哪個條件（）A．（1）與（2）的周長之差 B．（3）的面積 C．（1）與（3）的面積之差 D．長方形的周長【分析】設正方形邊長為a，長方形的寬為a+x，長為2a+y，分別表示出長方形的面積，圖形（1）與（2）的周長之差，圖形（3）的面積，圖形（1）與（3）的面積之差，長方形的周長，逐一進行比較即可求得答案．【解答】解：設正方形邊長為a，長方形的寬為a+x，長為2a+y，則：長方形的面積為（2a+y）（a+x）＝2a2+2ax+ay+xy，∵（1）、（2）是兩個面積相等的梯形，∴（a+x+a）y＝（2a+y+2a）x，∴xy+2ay＝4ax+xy，∴y＝2x，∴長方形的面積為：2a2+2ax+ay+xy＝2a2+2ax+2ax+2x2＝2（a+x）2，圖形（1）與圖形（2）的周長之差為a+a+x+y﹣（2a+2a+y+x）＝﹣2a，∴A選項條件不能求出長方形的面積；圖（3）的面積是a2，∴B選項條件，不能求出長方形的面積；圖形（1）與圖形（3）的面積之差為：（a+a+x）y﹣a2＝ay+xy﹣a2＝2ax+x2﹣a2，∴C選項條件，不能求出長方形的面積；長方形的周長為：2[（2a+y）+（a+x）]＝6a+6x＝6（a+x），∴D選項條件，能求出長方形的面積，故選：D．【點評】本題考查了正方形面積，梯形面積，長方形的面積和周長，整式的混合運算等，掌握基本平面圖形的面積計算方法是解決問題的關(guān)鍵．14．（2021春?浦江縣期末）計算：（1）a2÷a3?（﹣3a）2；（2）（8x2﹣12x3+16x）÷4x．【分析】（1）直接利用積的乘方運算法則以及整式的乘除運算法則分別計算得出答案；（2）直接利用多項式除以單項式計算，進而得出答案．【解答】解：（1）原式＝a﹣1?9a2＝9a；（2）（8x2﹣12x3+16x）÷4x＝8x2÷4x﹣12x3÷4x+16x÷4x＝2x﹣3x2+4．【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．15．（2021秋?蕭山區(qū)期中）將7張如圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S＝S1﹣S2，周長差為C＝C1﹣C2．（1）當a＝7，b＝2，AD＝28時，求：①長方形ABCD的面積；②S及C的值；（2）當b＝2，AD＝28時，請用含a的代數(shù)式表示S的值；（3）當AD的長度變化時，將這7張小長方形紙片按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi)，若C1與C2始終相等，求a，b滿足的關(guān)系式．【分析】（1）①根據(jù)長方形的面積公式即可得答案；②由已知表示出S1、S2，C1、C2即可得到答案；（2）表示出S1、S2，根據(jù)S＝S1﹣S2即得答案；（3）由已知得C1﹣C2＝14b﹣4a，根據(jù)C1與C2始終相等列出式子即得答案．【解答】解：（1）∵a＝7，b＝2，∴AB＝3b+a＝13，BC＝AD＝28，∴①S長方形ABCD＝13×28＝364；②S＝S1﹣S2＝（AD﹣a）×3b﹣a（28﹣4b）＝（28﹣7）×3×2﹣2（28﹣8）＝126﹣40＝86；C＝（28﹣a+3b）×2﹣2×（28﹣4b+a）＝14b﹣4a＝14×2﹣4×7＝0；（2）S＝（28﹣a）×3×2﹣a（28﹣4×2）＝168﹣6a﹣20a＝168﹣26a；（3）由已知可得C＝C1﹣C2＝（AD﹣a+3b）×2﹣2×（AD﹣4b+a）＝14b﹣4a，若C1與C2始終相等，則14b﹣4a＝0，∴2a﹣7b＝0．【點評】此題考查了整式的混合運算和長方形的面積，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．五．零指數(shù)冪（共4小題）16．（2021秋?應城市期末）20200＝1．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)得出答案．【解答】解：20200＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)，正確把握定義是解題關(guān)鍵．17．（2021春?江北區(qū)期中）若（1﹣x）2﹣3x＝1，則x＝或0或2．【分析】根據(jù)任何非零數(shù)的零次冪等于1以及負整數(shù)指數(shù)冪的定義計算即可．【解答】解：∵（1﹣x）2﹣3x＝1，①當2﹣3x＝0，x＝；②當1﹣x＝1，即x＝0時，2﹣3x＝2，12＝1；③當1﹣x＝﹣1，即x＝2時，2﹣3x＝﹣4，（﹣1）﹣4＝1．∴x＝或0或2．故答案為或0或2．【點評】本題主要考查了零次冪以及負整數(shù)指數(shù)冪，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．18．（2021春?七星關(guān)區(qū)期末）計算：（π﹣3.14）0＝1．【分析】根據(jù)任何非0數(shù)的0次冪等于1解答．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1，故答案為1．【點評】本題是考查含有零指數(shù)冪的運算，比較簡單．19．（2020春?安吉縣期末）計算：（﹣2）3+（π﹣3）0．【分析】先計算乘方和零指數(shù)冪，再計算加減可得．【解答】解：原式＝﹣8+1＝﹣7．【點評】本題主要考查零指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘方的運算法則和零指數(shù)冪的規(guī)定：a0＝1（a≠0）．六．負整數(shù)指數(shù)冪（共4小題）20．（2022?海曙區(qū)校級開學）計算：（﹣）﹣1＝．【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的定義解決此題．【解答】解：（﹣）﹣1＝．故答案為：．【點評】本題主要考查負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪是解決本題的關(guān)鍵．21．（2020秋?奉賢區(qū)期末）計算（）﹣2＝．【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)為正整數(shù)指數(shù)的倒數(shù)，可得答案．【解答】解：原式＝（），故答案為：．【點評】本題考查了負整指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)為正整數(shù)指數(shù)的倒數(shù)是解題關(guān)鍵．22．（2021?湖州）計算：2×2﹣1＝1．【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計算得出答案．【解答】解：2×2﹣1＝2×＝1．故答案為：1．【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．23．（2013春?溫嶺市校級期中）計算：（1）（2）（3x3y2z﹣1）﹣2?（5xy﹣2z3）2．【分析】（1）先根據(jù)有理數(shù)乘方的法則、負整數(shù)指數(shù)冪及0指數(shù)冪的計算法則、絕對值的性質(zhì)計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可；（2）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的計算法則進行計算即可．【解答】解：（1）原式＝9﹣+﹣1＝8；（2）原式＝（）2＝（）2＝（）2＝．【點評】本題考查的是實數(shù)的運算，熟知有理數(shù)乘方的法則、負整數(shù)指數(shù)冪及0指數(shù)冪的計算法則、絕對值的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎過關(guān)練一．選擇題（共9小題）1．（2021?南潯區(qū)二模）計算a8÷a4，正確的結(jié)果是（）A．4 B．a(chǎn)4 C．a(chǎn)2 D．4a【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算．【解答】解：原式＝a8﹣4＝a4．故選：B．【點評】本題考查冪的運算法則，正確運用同底數(shù)冪的除法法則是求解本題的關(guān)鍵．2．（2021春?慈溪市期末）計算：3﹣1＝（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【分析】利用負整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)），進而得出答案．【解答】解：3﹣1＝＝．故選：C．【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪，正確掌握負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2020秋?齊齊哈爾期末）已知m+n＝2，mn＝﹣2．則（1+m）（1+n）的值為（）A．6 B．﹣2 C．0 D．1【分析】原式利用多項式乘以多項式法則計算，整理后將已知等式代入計算即可求出值．【解答】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2，∴原式＝1+（m+n）+mn＝1+2﹣2＝1，故選：D．【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2021?蒼南縣一模）計算﹣2a4÷a，正確結(jié)果是（）A．16a3 B．﹣16a3 C．﹣2a4 D．﹣2a3【分析】根據(jù)單項式除以單項式的運算法則進行計算后即可確定正確的選項．【解答】解：原式＝﹣2a4﹣1＝﹣2a3，故選：D．【點評】考查了整式的除法，了解整式除法的運算法則是解答本題的關(guān)鍵，難度較?。?．（2021?下城區(qū)一模）下列計算結(jié)果是負數(shù)的是（）A．2﹣3 B．3﹣2 C．（﹣2）3 D．（﹣3）2【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及有理數(shù)的乘方運算法則分別計算得出答案．【解答】解：A、2﹣3＝，故此選項不合題意；B、3﹣2＝，故此選項不合題意；C、（﹣2）3＝﹣8，故此選項符合題意；D、（﹣3）2＝9，故此選項不合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及有理數(shù)的乘方運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．6．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，則這四個數(shù)從小到大排列順序是（）A．a(chǎn)＜b＜c＜d B．d＜a＜c＜b C．a(chǎn)＜d＜c＜b D．b＜c＜a＜d【分析】直接利用冪的乘方運算法則以及負指數(shù)冪的性質(zhì)、分數(shù)的性質(zhì)統(tǒng)一各數(shù)指數(shù)，進而比較即可．【解答】解：∵a＝2﹣55＝（2﹣5）11＝，b＝3﹣44＝（3﹣4）11＝，c＝4﹣33＝（4﹣3）11＝，d＝5﹣22＝（5﹣2）11＝∴b＜c＜a＜d．故選：D．【點評】此題主要考查了冪的乘方運算以及負指數(shù)冪的性質(zhì)、分數(shù)的性質(zhì)，正確將各數(shù)統(tǒng)一指數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2021春?諸暨市期末）一質(zhì)點P從距原點8個單位的M點處向原點方向跳動，第一次跳動到OM的中點M1處，第二次從M1跳到OM1的中點M2處，第三次從點M2跳到OM2的中點M3處，如此不斷跳動下去，則第2021次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為（）A．2﹣2018 B．2﹣2019 C．2﹣2020 D．2﹣2021【分析】根據(jù)題意，得第一次跳動到OM的中點M1處，即在離原點的處，第二次從M1點跳動到M2處，即在離原點的8×（）2處，則跳動n次后，即跳到了離原點的8×（）n處，即可根據(jù)規(guī)律計算出M2021到原點O的距離．【解答】解：由題意可得：OM＝8，質(zhì)點P從M點處向原點方向跳動，第一次跳動到OM的中點M1處，此時質(zhì)點到原點O的距離為8×＝4＝22＝23﹣1，第二次從M1跳到OM1的中點M2處，此時質(zhì)點到原點O的距離為8××＝8×（）2＝2＝23﹣2，第三次從點M2跳到OM2的中點M3處，此時質(zhì)點到原點O的距離為8×××＝8×（）3＝1＝20＝23﹣3，..．第n次從點Mn﹣1跳到OMn﹣2的中點Mn處，此時質(zhì)點到原點O的距離為8×（）n＝23﹣n，∴第2021次跳動后，該質(zhì)點到原點O的距離為23﹣2021＝2﹣2018，故選：A．【點評】本題主要考查負整數(shù)指數(shù)冪及數(shù)字的規(guī)律探索，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．找出各個點跳動的規(guī)律并理解a﹣p＝（a≠0）是解題關(guān)鍵．8．（2021春?上城區(qū)期末）一個長方形的面積是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一邊長是5x3y2，則它的另一邊長是（）A．2y3﹣3xy2+4 B．3y3﹣2xy2+4 C．3y3+2xy2+4 D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用長方形的面積公式，列出相應的式子，結(jié)合整式的除法法則進行運算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故選：B．【點評】本題考查了整式的除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握長方形的面積公式和整式的除法法則．9．（2020秋?寧波期末）已知長方形ABCD，AD＞AB，AD＝10，將兩張邊長分別為a和b（a＞b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2．當S2﹣S1＝3b時，AB＝（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】利用面積的和差分別表示出S1和S2，然后利用整式的混合運算計算它們的差，再由S2﹣S1＝3b，AD＝10，列出方程求得AB便可．【解答】解：S1＝（AB﹣a）?a+（CD﹣b）（AD﹣a）＝（AB﹣a）?a+（AB﹣b）（AD﹣a），S2＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），∴S2﹣S1＝AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）?a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）＝（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）＝b?AD﹣ab﹣b?AB+ab＝b（AD﹣AB），∵S2﹣S1＝3b，AD＝10，∴b（10﹣AB）＝3b，∴AB＝7．故選：D．【點評】本題考查了列代數(shù)式，正確表示出陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）10．（2021秋?青山區(qū)期末）計算30＝1．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）進行運算即可．【解答】解：30＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了零指數(shù)冪的運算，掌握零指數(shù)冪的運算法則是關(guān)鍵．11．（2021秋?巴南區(qū)期末）計算：（﹣2022）0+（）﹣1＝﹣1．【分析】化簡零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，然后再計算．【解答】解：原式＝1﹣2＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，理解a0＝1（a≠0），a﹣p＝是解題關(guān)鍵．12．（2021?涼山州模擬）已知x2﹣4x﹣1＝0，則代數(shù)式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2＝12．【分析】原式利用完全平方公式及平方差公式化簡，整理后，將已知等式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，即x2﹣4x＝1，∴原式＝4x2﹣12x+9﹣x2+y2﹣y2＝3x2﹣12x+9＝3（x2﹣4x）+9＝3+9＝12．故答案為：12．【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（2021秋?桐柏縣期末）已知xm＝6，xn＝3，則x2m﹣n的值為12．【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減，進行運算即可．【解答】解：x2m﹣n＝（xm）2÷xn＝36÷3＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法運算及冪的乘方的知識，屬于基礎題，掌握各部分的運算法則是關(guān)鍵．14．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）若代數(shù)式ab（5ka﹣3b）﹣（ka﹣b）（3ab﹣4a2）的值與b的取值無關(guān)，則常數(shù)k的值2．【分析】先根據(jù)單項式乘單項式、單項式乘多項式法則展開，再合并同類項，繼而根據(jù)代數(shù)式的值與b的取值無關(guān)知對應項的系數(shù)為0，據(jù)此求解即可．【解答】解：原式＝5ka2b﹣3ab2﹣（3ka2b﹣4ka3﹣3ab2+4a2b）＝5ka2b﹣3ab2﹣3ka2b+4ka3+3ab2﹣4a2b＝2ka2b﹣4a2b+4ka3＝（2k﹣4）a2b+4ka3，根據(jù)題意知2k﹣4＝0，∴k＝2，故答案為：2．【點評】本題主要考查整式的混合運算—化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握單項式乘單項式、單項式乘多項式及合并同類項法則．三．解答題（共4小題）15．（2021春?鶴城區(qū)期末）先化簡，再求值：（2x+3）（2x﹣3）+（x﹣2）2﹣4x（x﹣1），其中x＝2．【分析】根據(jù)整式的運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式＝4x2﹣9+x2﹣4x+4﹣4x2+4x＝x2﹣5，當x＝2時，原式＝4﹣5＝﹣1．【點評】本題考查整式的運算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．16．（2020秋?紫陽縣期末）先化簡，再求值：（﹣x﹣2y）（2y﹣x）+（x+2y）2﹣x（2y﹣x），其中x＝﹣，y＝2．【分析】直接利用整式的混合運算法則計算，進而把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：原式＝x2﹣4y2+x2+4xy+4y2﹣2xy+x2＝3x2+2xy，當時，原式＝3×（﹣）2+2×（﹣）×2＝﹣．【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．17．（2021春?永嘉縣校級期中）當x＝時，求x（4x+3）﹣（2x+）（2x﹣）的值．【分析】直接利用多項式乘以多項式、單項式乘以多項式運算法則計算，進而合并同類項，再把已知數(shù)據(jù)代入求出答案．【解答】解：原式＝4x2+3x﹣（4x2﹣）＝4x2+3x﹣4x2+＝3x+，當x＝時，原式＝3×+＝1．【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．18．（2021秋?臺州期末）計算：（1）3﹣2+120；（2）x2y3z÷（2xy）2．【分析】（1）直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進而利用有理數(shù)的加減運算法則計算得出答案；（2）直接利用積的乘方運算法則化簡，再利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：（1）原式＝+1＝1；（2）原式＝x2y3z÷4x2y2＝y(tǒng)z．【點評】此題主要考查了負整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、整式的除法運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．題組B能力提升練一．填空題（共7小題）1．（2021春?賀蘭縣期中）如果x+y＝1，x2+y2＝3，那么x3+y3＝4．【分析】根據(jù)立方和公式變形，再將已知條件整體代入即可．【解答】解：∵x+y＝1，∴（x+y）2＝1，即x2+2xy+y2＝1，3+2xy＝1，解得xy＝﹣1，∴x3+y3＝（x+y）（x2﹣xy+y2）＝1×（3+1）＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了整式的混合運算，化簡求值．關(guān)鍵是關(guān)鍵是利用立方和公式，完全平方公式將代數(shù)式變形，整體代入求值．2．（2020春?單縣期末）已知32m＝5，32n＝10，則9m﹣n+1的值是．【分析】先逆用冪的乘方法則，把32m、32n轉(zhuǎn)化為9m、9n的形式，再逆用同底數(shù)冪的乘除法法則，把9m﹣n+1轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的乘除法的形式后代入求值．【解答】解：∵32m＝（32）m＝9m＝5，32n＝（32）n＝9n＝10，∴9m﹣n+1＝9m÷9n×9＝5÷10×9＝．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法法則、冪的乘方法則，掌握同底數(shù)冪的乘除法、冪的乘方法則及逆用是解決本題的關(guān)鍵．3．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）若（a﹣3）a+1＝1，則a＝﹣1或4．【分析】可以考慮三種情況：①零指數(shù)冪；②底數(shù)為1；③﹣1的偶數(shù)次方，分別解答即可．【解答】解：當a+1＝0，a﹣3≠0時，a＝﹣1；當a﹣3＝1時，a＝4；當a﹣3＝﹣1時，a＝2，此時a+1＝3，不符合題意；綜上，a＝﹣1或4．故答案為：﹣1或4．【點評】本題考查零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學思想，解題時注意不要漏解．4．（2021春?奉化區(qū)校級期末）已知長方形的面積為4a2﹣9b2，其中長為2a+3b，則寬為2a﹣3b．【分析】根據(jù)長方形的寬＝長方形的面積÷長方形的長列出算式，再進一步計算可得．【解答】解：根據(jù)題意，知長方形的寬為（4a2﹣9b2）÷（2a+3b）＝[（2a+3b）（2a﹣3b）]÷（2a+3b）＝2a﹣3b，故答案為：2a﹣3b．【點評】本題主要考查整式的除法，解題的關(guān)鍵是掌握整式除法的運算法則．5．（2020秋?五常市期末）計算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝﹣8x2+4x﹣2．【分析】直接利用整式除法運算法則計算得出答案．【解答】解：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝﹣8x2+4x﹣2．故答案為：﹣8x2+4x﹣2．【點評】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵．6．（2020秋?臨河區(qū)期末）已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值．【分析】根據(jù)冪的乘方，可得負整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，可得答案．【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝，y﹣n＝（yn）﹣1＝．（x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝，故答案為：．【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，利用負整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2016春?金堂縣期末）已知m＝，n＝，那么2016m﹣n＝1．【分析】根據(jù)積的乘方的性質(zhì)將m的分子轉(zhuǎn)化為以3和5為底數(shù)的冪的積，然后化簡從而得到m＝n，再根據(jù)任何非零數(shù)的零次冪等于1解答．【解答】解：∵m＝＝＝，∴m＝n，∴2016m﹣n＝20160＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，積的乘方的性質(zhì)，難點在于轉(zhuǎn)化m的分母并得到m＝n．二．解答題（共12小題）8．（2021春?長興縣月考）先化簡，再求值：（x﹣3）（x+3）﹣（x﹣1）2，其中x＝．【分析】先根據(jù)平方差公式和完全平方公式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．【解答】解：（x﹣3）（x+3）﹣（x﹣1）2＝x2﹣9﹣（x2﹣2x+1）＝x2﹣9﹣x2+2x﹣1＝2x﹣10，當x＝時，原式＝2×﹣10＝1﹣10＝﹣9．【點評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．9．（2021?義烏市模擬）先化簡，再求值：（2x﹣y）2+y（3x﹣2y），其中x＝1，y＝2．【分析】先根據(jù)完全平方公式和單項式乘多項式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x﹣y）2+y（3x﹣2y）＝4x2﹣4xy+y2+1.5xy﹣y2＝4x2﹣2.5xy，當x＝1，y＝2時，原式＝4×12﹣2.5×1×2＝﹣1．【點評】本題考查了整式的混合運算與求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．10．（2021春?諸暨市月考）（1）化簡求值：已知（x﹣3）2+|x﹣2y+5|＝0，求代數(shù)式：﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2（xy+x2y）]﹣3xy的值．（2）關(guān)于x的代數(shù)式（3﹣ax）（x2+3x﹣1）的展開式中不含x2項，求a的值．【分析】（1）根據(jù)絕對值和偶次方的非負性得出方程組，求出x、y的值，再去小括號，去中括號，合并同類項，最后代入求出答案即可；（2）先根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算，合并同類項后即可得出3﹣3a＝0，再求出a的值即可．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+|x﹣2y+5|＝0，∴，解得：，﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2（xy+x2y）]﹣3xy＝﹣3x2y﹣2[3x2y﹣2xy﹣2x2y]﹣3xy＝﹣3x2y﹣6x2y+4xy+4x2y﹣3xy＝﹣5x2y+xy，當x＝3，y＝4時，原式＝﹣5×32×4+3×4＝﹣168；（2）（3﹣ax）（x2+3x﹣1）＝3x2+9x﹣3﹣ax3﹣3ax2+ax＝﹣ax3+（3﹣3a）x2+（9+a）x﹣3，∵關(guān)于x的代數(shù)式（3﹣ax）（x2+3x﹣1）的展開式中不含x2項，∴3﹣3a＝0，解得：a＝1．【點評】本題考查了絕對值、偶次方的非負性，解二元一次方程組，整式的混合運算與求值等知識點，主要培養(yǎng)了學生運用整式的運算法則進行化簡的能力．11．（2021春?西湖區(qū)校級期中）（1）已知m，n是系數(shù)，且mx2﹣2xy+y與3x2+2nxy+3y的差中不含二次項，求m2+2mn+n2的值．（2）設b＝2am，是否存在實數(shù)m使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化簡為a2，若能，請求出滿足條件的m值；若不能，請說明理由．【分析】（1）先列出算式，再化簡，根據(jù)已知條件得出m﹣3＝0，﹣2﹣2n＝0，求出m、n的值，最后求出答案即可；（2）先算乘法，再合并同類項，最后得出5﹣4m2＝1，求出m即可．【解答】解：（1）（mx2﹣2xy+y）﹣（3x2+2nxy+3y）＝mx2﹣2xy+y﹣3x2﹣2nxy﹣3y＝（m﹣3）x2+（﹣2﹣2n）xy﹣2y，∵mx2﹣2xy+y與3x2+2nxy+3y的差中不含二次項，∴m﹣3＝0，﹣2﹣2n＝0，解得：m＝3，n＝﹣1，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（3﹣1）2＝4；（2）∵b＝2am，∴（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）＝a2+4ab+4b2+4a2﹣b2﹣4ab﹣4b2＝5a2﹣b2＝5a2﹣（2am）2＝（5﹣4m2）a2，當5﹣4m2＝1時，m＝±1，所以存在實數(shù)m，使得（a+2b）2+（2a+b）（2a﹣b）﹣4b（a+b）能化簡為a2，此時m＝±1．【點評】本題考查了整式的混合運算與求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．12．（2021春?婺城區(qū)校級期中）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代數(shù)式：①求：22m+3n的值②求：24m﹣6n的值（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．【分析】（1）分別將4m，8n化為底數(shù)為2的形式，然后代入①②求解；（2）將8x化為23x，將16化為24，列出方程求出x的值．【解答】解：（1）∵4m＝a，8n＝b，∴22m＝a，23n＝b，①22m+3n＝22m?23n＝ab；②24m﹣6n＝24m÷26n＝（22m）2÷（23n）2＝；（2）∵2×8x×16＝223，∴2×（23）x×24＝223，∴2×23x×24＝223，∴1+3x+4＝23，解得：x＝6．【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法以及冪的乘方和積的乘方，掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．13．（2021春?江干區(qū)期末）某校為了改善校園環(huán)境，準備在長寬如圖所示的長方形空地上，修建橫縱寬度均為a米的兩條小路，其余部分修建花圃．（1）用含a，b的代數(shù)式表示花圃的面積并化簡；（2）記長方形空地的面積為S1，花圃的面積為S2，若5S2﹣3S1＝10a2，求的值．【分析】（1）把兩條小路平移使花圃的面積變?yōu)橐粋€長方形的面積，所以花圃的面積＝（2a+b﹣a）（3a+b﹣a），然后利用展開公式展開合并即可；（2）利用5S2﹣3S1＝10a2得到b＝3a，則用a表示S1、S2，然后計算它們的比值．【解答】解：（1）平移后圖形為：（四邊形ABCD為花圃的面積），所以花圃的面積＝（2a+b﹣a）（3a+b﹣a）＝（a+b）（2a+b）＝2a2+ab+2ab+b2＝2a2+3ab+b2；（2）S1＝（2a+b）（3a+b）＝6a2+5ab+b2，S2＝2a2+3ab+b2；∵5S2﹣3S1＝10a2，∴5（2a2+3ab+b2）﹣3（6a2+5ab+b2）＝10a2，∴b2＝9a2，∴b＝3a（負值舍去），∴S1＝6a2+15a2+9a2＝30a2，S2＝2a2+9a2+9a2＝20a2，∴＝＝．【點評】本題考查了整式的乘法和生活中的平移現(xiàn)象：在平面內(nèi)，把一個圖形整體沿某一的方向移動，這種圖形的平行移動，叫做平移變換，簡稱平移．通過平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形．也考查了整式的混合運算．14．（2020秋?寶雞期末）定義一種新運算：觀察下列各式：1⊙3＝1×4+3＝7，3⊙（﹣1）＝3×4﹣1＝11，5⊙4＝5×4+4＝24，4⊙（﹣3）＝4×4﹣3＝13．（1）請你想一想：a⊙b＝4a+b；（2）若a≠b，那么a⊙b≠b⊙a（填“＝”或“≠”）；（3）先化簡，再求值：（a﹣b）⊙（2a+b），其中a＝﹣1，b＝2．【分析】（1）根據(jù)題目中的等式，可以寫出a⊙b的結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以計算出a⊙b和b⊙a的差，然后看是否等于0，即可解答本題；（3）根據(jù)（1）中的結(jié)果，可以將所求式子化簡，然后將a、b的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：（1）由題意可得，a⊙b＝4a+b，故答案為：4a+b；（2）由題意可得，a⊙b﹣b⊙a＝（4a+b）﹣（4b+a）＝4a+b﹣4b﹣a＝3（a﹣b），∵a≠b，∴3（a﹣b）≠0，∴a⊙b≠b⊙a，故答案為：≠；（3）由題意可得，（a﹣b）⊙（2a+b）＝4（a﹣b）+（2a+b）＝4a﹣4b+2a+b＝6a﹣3b，當a＝﹣1，b＝2時，原式＝6×（﹣1）﹣3×2＝﹣6﹣6＝﹣12．【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運算的計算方法．15．（2020?蓮池區(qū)一模）閱讀材料：對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號的意義是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2，（1）按照這個規(guī)定，請你計算的值；（2）按照這個規(guī)定，請你計算：當x2﹣4x+4＝0時，的值．【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；（2）原式利用題中的新定義化簡，將已知等式變形后代入計算即可求出值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式＝40﹣42＝﹣2；（2）∵x2﹣4x+4＝0，即（x﹣2）2＝0，∴x1＝x2＝2，則原式＝（x+1）（2x﹣3）﹣2x（x﹣1）＝2x2﹣3x+2x﹣3﹣2x2+2x＝x﹣3＝﹣1．【點評】此題考查了整式的混合運算﹣化簡求值，以及實數(shù)