第14講一元一次方程應(yīng)用題解法方法分類總結(jié)訓(xùn)練(原卷版)

第14講一元一次方程應(yīng)用題解法方法分類總結(jié)訓(xùn)練【知識點睛】一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟：步驟“點睛”“審”（審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關(guān)系；“設(shè)”（設(shè)未知數(shù)）一般原則是：問什么就設(shè)什么；或未知量較多時，設(shè)較小的量，表示較大的量“列”【列方程】找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程“解”【解方程】根據(jù)一元一次方程的解法解出方程，注意解方程的過程不需要在解答中體現(xiàn)“驗”（檢驗）（非必須）檢驗分兩步，一是檢驗方程是否解正確；二是檢驗方程的解是否符合題意“答”（寫出答案）最后的綜上所述類型一銷售問題【常用等量關(guān)系】利潤=售價進價售價=標(biāo)價×折扣利潤率=利潤=進價×利潤率售價=進價×（1＋利潤率）總利潤=單件利潤×數(shù)量【例題】1．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作之一，書中記載：“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六，問人數(shù)幾何？”意思是：“有若干人共同出錢買雞，如果每人出九錢，那么多了十一錢；如果每人出六錢，那么少了十六錢．問：共有幾個人？”設(shè)有x個人共同買雞，依題意可列方程為（）A．9x﹣11＝6x+16 B．9x+11＝6x﹣16 C． D．2．某個體商戶在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，售價都是270元，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，在這次買賣中商戶（）A．賠36元 B．賺18元 C．不賺不賠 D．賺36元3．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：今有人合伙買一只羊，每人出5錢，會差45錢；每人出7錢，會差3錢．問合伙人數(shù)、羊價各是多少？設(shè)羊價為x錢，所列方程是．4．綜合與實踐北京時間2022年11月20日，卡塔爾世界杯開幕式在卡塔爾舉行．世界杯期間，人們對足球的需求量增加．市場調(diào)研：某班數(shù)學(xué)組對東東商場進行調(diào)研后了解到如下信息：信息一東東商場從廠家購進了A品牌足球7個，B品牌足球5個，共付款920元．已知每個B品牌足球比每個A品牌足球進價貴40元．信息二東東商場將B品牌足球按信息一中的進價提高50%后標(biāo)價，實際銷售時再打折出售，此時每個B品牌足球仍可獲利35元．問題解決：（1）設(shè)每個A品牌足球進價x元，則每個B品牌足球進價元，根據(jù)題意可列方程；（2）由（1）求得每個A品牌足球進價元，每個B品牌足球進價元；問題延伸：（3）利用一元一次方程求出信息二中B品牌足球的打折數(shù)．【練習(xí)】5．某商品的標(biāo)價為126元，若降價以九五折出售（優(yōu)惠5%）仍可獲利5%（相對于進貨價）則該商品的進貨價是（）A．114元 B．元 C．元 D．112元6．某超市在“元旦”活動期間，推出如下購物優(yōu)惠方案：①一次性購物在100元（不含100元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；②一次性購物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；③一次性購物在350元（含350元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏在該超市兩次購物分別付了90元和270元，如果小敏把這兩次購物改為一次性購物，則小敏至少需付款（）元A．288 B．296 C．312 D．3207．本人三年前存了一份3000元的教育儲蓄，今年到期時的本利和為3243元，請你幫我算一算這種儲蓄的年利率．若年利率為x%，則可列方程．（年存儲利息＝本金×年利率×年數(shù)，不計利息稅）8．甲，乙兩家商店出售兩種同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定價40元，乒乓球每盒定價5元．而甲，乙兩店的促銷方案不同，甲店每買一副球拍贈送一盒乒乓球，乙店全部按定價的九折優(yōu)惠．該班需球拍5副，乒乓球若干盒（不小于5盒）．（1）當(dāng)購買乒乓球多少盒時，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣？（2）若購買15盒乒乓球時，請你去辦這件事，你打算去哪一家商店購買？為什么？9．學(xué)校為了豐富同學(xué)們的學(xué)習(xí)生活，在六年級開展讀書活動，現(xiàn)購買一批科技書和故事書，科技書有400本，科技書本數(shù)比故事書本數(shù)多．（1）求學(xué)校購買了多少本故事書；（2）已知書店里一本故事書的價格恰好比一本科技書的價格少，若購買這批圖書共花費21500元，求購買一本科技書和一本故事書各需多少元；（3）在（2）的條件下，通過調(diào)查反饋，六年級學(xué)生非常喜歡讀書活動，因此學(xué)校決定在七年級也開展讀書活動，學(xué)校再購買131本故事書和若干本科技書，并使得第二次購買的兩種書總數(shù)與第一次購買的故事書的數(shù)量之比為147：100，同時書店給予一定的優(yōu)惠：當(dāng)購買總數(shù)超過400本時，每本書的單價優(yōu)惠，第二次買書學(xué)校一共花了多少元？類型二行程類問題【常用等量關(guān)系】基本等量關(guān)系：速度×?xí)r間=路程；路程÷速度=時間；路程÷時間=速度；相遇問題：S甲＋S乙=S總；同時出發(fā)→時間×速度和=S總；追及問題：S快S慢=S相距；同時出發(fā)→時間×速度差=S相距；航行問題：V順?biāo)?V船＋V靜水；V逆水=V船V靜水；V順風(fēng)=V機＋V風(fēng)；V逆風(fēng)=V機V風(fēng)；此類問題中，船的速度和水流的速度是不變的，兩地間的路程也不變，這都可以成為表示數(shù)據(jù)或者列方程的等量關(guān)系；飛機問題分析同上。行程類問題，要特別注意所給路程、速度、時間的單位是否統(tǒng)一，不統(tǒng)一時，需先化成統(tǒng)一形式之后再代入計算。【例題】1．古代名著《算學(xué)啟蒙》中有一題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里．駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？意思是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程為（）A．240x＝150x+12×150 B．240x＝150x﹣12×150 C．240（x﹣12）＝150x+150 D．240（x﹣12）＝150x+150×122．《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，其中記載了一道有趣的題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢？”大意是：今有野鴨從南海起飛，7天到北海；大雁從北海起飛，9天到南海．現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時起飛，問經(jīng)過多少天相遇？設(shè)經(jīng)過x天相遇，根據(jù)題意可列方程為（）A．（+）x＝1 B．（﹣）x＝1 C．（9﹣7）x＝1 D．（9+7）x＝13．某輪船在兩個碼頭之間航行，順?biāo)叫行?小時，逆水航行需6小時，水流速度是2千米/小時，求兩個碼頭之間距離x的方程是（）A． B． C． D．4．甲、乙兩人分別從相距30千米的A，B兩地騎車相向而行，甲騎車的速度是10千米/時，乙騎車的速度是8千米/時，甲先出發(fā)1小時后，乙騎車出發(fā)，乙出發(fā)后x小時兩人相遇，則列方程為．5．在東西走向的適園路上，有A、B兩個共享單車投放點，A在B的西面．（1）某天小明騎共享自行車從A地出發(fā)行駛，他行駛里程記向東為正，向西為負(fù)，單位：千米如下：+4，+1，﹣3，﹣2，+2．問最后小明停下的C地距離A地多遠？（2）現(xiàn)從甲、乙兩廠家向A、B兩地運送自行車．已知甲有14輛自行車，乙有22輛自行車；A地需20輛自行車，B地需16輛自行車．甲、乙兩家向A、B兩地的運費如下表．當(dāng)甲、乙兩廠家各運往A、B兩地多少輛自行車時，總運費等于703元？運往運費（元/輛）甲廠家乙廠家A地2418B地2516（3）已知A，B兩處相距12km，小明在（1）中的C處自行車出現(xiàn)損壞，只能下車以4km/h的速度從C向B推行，此時在A處南南借了一輛自行車以10km/h的速度從A到B騎行，同時在B處的潯潯借了一輛電動車以20km/h的速度從B到A騎行，問：在潯潯到達A處前，其中一人位置是另外兩人位置中點時，潯潯行駛了多少時間？【練習(xí)】6．元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）7．甲、乙兩人在一條筆直的道路上相向而行，甲騎自行車從A地到B地需4分鐘，乙騎自行車從B地到A地需6分鐘．現(xiàn)乙從B地先發(fā)出1分鐘后，甲才從A地出發(fā)，問多久后甲、乙相遇？設(shè)乙出發(fā)x分鐘時，甲、乙相遇，則可列方程為（）A． B． C． D．8．兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順?biāo)?，乙船逆水，兩船在靜水中的速度都是30千米/時，3小時后甲船能比乙船多航行60千米，設(shè)水流速度是x千米/時，則可列方程．9．A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地出發(fā)，每小時走60千米，一列快車從B地出發(fā)，每小時走105千米．（1）兩車同時出發(fā)相向而行，x小時相遇，可列方程；（2）兩車同時出發(fā)相背而行，x小時后兩車相距620千米，可列方程；（3）慢車出發(fā)1小時后快車從B地出發(fā)，同向而行，請問快車出發(fā)幾小時后追上慢車？10．小北同學(xué)在校運動會400米賽跑中，先以6米/秒的速度跑完大部分賽程，最后以8米/秒的速度沖刺到達終點，成績?yōu)?5秒．請問：（1）小北同學(xué)沖刺的時間有多長？（2）如果他想把成績提高1秒（即減少1秒鐘），他需要提前幾秒開始最后沖刺？11．如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點，分別表示的數(shù)為a，b，且（a+53）2+|b﹣79|＝0．點P從A點出發(fā)以每秒19個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，當(dāng)它到達B點后立即以相同的速度返回往A點運動，并持續(xù)在A，B兩點間往返運動．在點P出發(fā)的同時，點Q從B點出發(fā)以每秒3個單位長度向左勻速運動，當(dāng)點Q到達A點時，點P，Q停止運動．（1）AB＝132（填空），并求運動了多長時間后，點P，Q第一次相遇，以及相遇點所表示的數(shù)；（2）點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為81，在數(shù)軸上是否存在點M，使MA+MB＝MC，若存在，求出點M對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由；（3）求當(dāng)點P，Q停止運動時，點P所在的位置表示的數(shù)；在整個過程中，點P和點Q一共相遇了多少次？類型三工程類問題【常用等量關(guān)系】工作量=工作效率×工作時間；工作效率=總工作量÷工作時間工作時間=總工作量÷工作效率完成某項工作的各工作量的和=總工作量=1【例題】1．有一項城市綠化整治任務(wù)交甲、乙兩個工程隊完成，已知甲單獨做10天完成，乙單獨做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作x天后，共同完成任務(wù)，則可列方程為（）A． B． C． D．2．一件工程單獨完成甲要10小時，乙要15小時，則甲、乙合作完成所需的時間是（）A．4小時 B．5小時 C．6小時 D．7小時3．為打造綠色生態(tài)環(huán)境，一段長為2400米的河道整治任務(wù)交由甲、乙兩個工程隊接力完成，共用時80天．已知甲隊每天整治32米，乙隊每天整治24米．（1）根據(jù)題意，小李、小張分別列出如下的一元一次方程（尚不完整）：小李：32x+24（）＝2400；小張：＝80；請分別指出上述方程中的意義，并補全方程：小李：x表示；小張：x表示．（2）求甲、乙兩隊分別整治河道多少米？（寫出完整的解答過程）4．哈市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程．這個工程若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成．（1）若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務(wù)？（2）在（1）的條件下，若付給兩個工程隊的報酬按完成工作量的比例來分配，已知這項工程改造的總報酬為10萬元，問甲隊和乙隊各得報酬多少錢？【練習(xí)】5．一個蓄水池裝有甲、乙兩個進水管和丙一個出水管，單獨開放甲管3小時可注滿一池水，單獨開放乙管6小時可注滿一池水，單獨開放丙管4小時可放盡一池水．若甲管先開放1小時，而后同時開放乙、丙兩個水管，則還需（）小時可注滿水池．A． B． C．3 D．46．一個打字員打一篇稿件，第一天打了總數(shù)的，第二天打了總數(shù)的40%，第二天比第一天多打了6頁，這篇稿件共有多少頁？7．學(xué)校計劃加工一批校服，現(xiàn)有甲、乙兩個工廠都想加工這批校服，已知甲工廠每天能加工這種校服80件，且乙工廠每天加工這種校服的件數(shù)比甲工廠每天加工這種校服的件數(shù)多．（1）求乙工廠每天加工這種校服多少件？（2）若甲單獨加工這批校服比乙工廠單獨加工這批校服多用20天，求這批校服共有多少件？（3）在（2）的條件下，若先由甲、乙兩廠按原生產(chǎn)速度合作一段時間后，甲工廠停工了，乙工廠提高加工速度后繼續(xù)完成剩余部分，乙工廠的全部工作時間是甲工廠全部工作時間的3倍還少8天，若在加工過程中，甲工廠每天所需費用400元，乙工廠每天所需費用500元，學(xué)校共需支付甲乙兩工廠18800元，求乙工廠提高加工速度后每天加工這種校服多少件？類型四分配與配套問題【常用等量關(guān)系】分配類問題緊抓一點：兩種分配形式下，總數(shù)不變。配套問題思考步驟根據(jù)人數(shù)的等量關(guān)系設(shè)未知量，設(shè)一個表示一個；列表分別表示出兩類物品的總數(shù)；寫出配套關(guān)系中兩類物品的數(shù)量關(guān)系（或倍數(shù)關(guān)系）；根據(jù)分析中的數(shù)量關(guān)系列出方程求解；【例題】1．某車間有68名工人，每人每天能生產(chǎn)8個甲種部件或5個乙種部件，2個甲種部件和3個乙種部件配成一套，為使每天生產(chǎn)的兩種部件剛好配套，設(shè)有x名工人生產(chǎn)甲種配件，列方程正確的是（）A．8x＝5×（68﹣x） B．5x＝8×（68﹣x） C．3×8x＝2×5×（68﹣x） D．2×8x＝3×5×（68﹣x）2．服裝廠生產(chǎn)一批學(xué)生校服，已知生產(chǎn)1件上衣需要布料米，生產(chǎn)1條褲子需要布料1米．因為褲子舊得快，要求1件上衣和2條褲子配一套．生產(chǎn)這批校服共用了2016米布料，共生產(chǎn)了套校服．3．二維碼已經(jīng)給我們的生活帶來了很大方便，它是由大小相同的黑白兩色的小正方形按某種規(guī)律組成的一個大正方形．現(xiàn)有25×25格式的正方形如圖，角上是三個7×7的A型大黑白相間正方形，中間右下有一個5×5的B型黑白相間正方形（A，B型均由C型黑白兩色小正方形組成），除這4個正方形外，其他的C型小正方形黑色塊數(shù)正好是白色塊數(shù)的3倍多53塊，則該25×25格式的二維碼中除去A，B型后，有100塊C型白色小正方形，整個二維碼中共有塊C型白色小正方形．4．某工廠計劃生產(chǎn)一種新型豆?jié){機，每臺豆?jié){機需2個甲種零件和4個乙種零件，已知車間每天能生產(chǎn)甲種零件450個或乙種零件300個，現(xiàn)要在20天中使所生產(chǎn)的零件剛好配套，那么應(yīng)安排多少天生產(chǎn)甲種零件，安排多少天生產(chǎn)乙種零件恰好配套？小明在解決這個問題時設(shè)應(yīng)安排x天生產(chǎn)甲零件．填出表格①②③的表達式，并列方程解決這個問題．工效（個/天）天數(shù)（天）數(shù)量（個）甲種零件450x②乙種零件300③5．某車間為提高生產(chǎn)總量，在原有16名工人的基礎(chǔ)上，新調(diào)入若干名工人，使得調(diào)整后車間的總?cè)藬?shù)是調(diào)入工人人數(shù)的3倍多4人．（1）求調(diào)入多少名工人；（2）在（1）的條件下，每名工人每天可以生產(chǎn)240個螺栓或400個螺母，1個螺栓需要2個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)該安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？【練習(xí)】6．《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x人，可列方程（）A． B． C． D．7．雞兔同籠，有20個頭，54條腿，雞有只，兔有只．8．實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個相同高度的圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，用兩個相同的管子在10cm高度處連通（即管子底部離容器底10cm），現(xiàn)三個容器中，只有乙中有水，水位高4cm，如圖所示．若每分鐘同時向甲和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，甲的水位上升3cm．則開始注入分鐘水量后，甲的水位比乙高1cm．9．某廠用鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制盒身15個或盒底45個，1個盒身與2個盒底配成一套罐頭盒．為了充分利用材料，要求制成的盒身和盒底恰好配套．現(xiàn)有151張鐵皮，最多可做多個包裝盒？為了解決這個問題，小敏設(shè)計一種解決方案：把這些鐵皮分成兩部分，一部分做盒身，一部分做盒蓋．（1）請?zhí)骄啃∶粼O(shè)計的方案是否可行？請說明理由；（2）若是你解決這個問題，怎樣設(shè)計解決方案，使得材料充分利用？請說明理由．10．列方程解應(yīng)用題元旦期間，七（1）班的小明、麗麗等同學(xué)隨家長一同到某公園游玩．下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話（如圖），試根據(jù)圖中的信息解答下列問題：（1）小明他們一共去了幾個成人，幾個學(xué)生？（2）請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？說明理由．（3）買完票后，小明發(fā)現(xiàn)七（2）班的張小濤等8名同學(xué)和他們的12名家長共20人也來買票，請你為他們設(shè)計出最省的購票方案，并求出此時的買票費用．類型六日歷問題【常用等量關(guān)系】日歷問題中，每橫行相鄰兩數(shù)之間相差1，每豎列相鄰兩數(shù)之間相差7；日歷上一個豎列上相鄰3個數(shù)的和最小值為24，最大值為72，且這個和必為3的倍數(shù)；日歷上每月的天數(shù)是不盡相同的，每月有31天的月份：一、三