新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程章末綜合提升教師用書含答案新人教A版選擇性必修第一冊

第2章直線和圓的方程章末綜合提升類型1兩條直線的平行與垂直1．解決此類問題關(guān)鍵是掌握兩條直線平行與垂直的判定：若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．對于兩條直線平行的問題，要注意排除兩條直線重合的可能性．2．一般式方程下兩直線的平行與垂直已知兩直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.3．通過討論兩條直線的平行與垂直，提升邏輯推理的學(xué)科素養(yǎng)．【例1】已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分別滿足下列條件的a，b的值．(1)直線l1過點(diǎn)(－3，－1)，并且直線l1與直線l2垂直；(2)直線l1與直線l2平行，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到l1，l2的距離相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.即a2－a－b＝0.①又點(diǎn)(－3，－1)在l1上，∴－3a＋b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝2.(2)∵l1∥l2且l2的斜率為1－a，∴l(xiāng)1的斜率也存在，ab＝1－a，即b＝a故l1和l2的方程可分別表示為l1：(a－1)x＋y＋4a-1l2：(a－1)x＋y＋a1-∵原點(diǎn)到l1與l2的距離相等，∴4a-1a＝a1-a，解得a＝因此a=2，類型2兩條直線的交點(diǎn)與距離問題1．2．兩條直線的位置關(guān)系的研究以兩直線的交點(diǎn)為基礎(chǔ)，通過交點(diǎn)與距離涵蓋直線的所有問題．3．解決解析幾何中的交點(diǎn)與距離問題，往往是代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形直觀分析相結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【例2】(1)兩平行直線l1：3x＋2y＋1＝0與l2：6mx＋4y＋m＝0之間的距離為()A．0B．1313C．1326D(2)過點(diǎn)P(0，1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程．(1)C[直線l1與l2平行，所以36m＝24≠1m，解得m＝1，所以直線l2的方程為6x＋4y＋1＝0，所以直線l1：3x＋2y＋1＝0，即6x＋4y＋2＝0，與直線l2：6x＋4y＋1＝0的距離為d＝2-136+16(2)[解]設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a，8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.類型3求圓的方程1．求圓的方程是考查圓的方程問題中的一個(gè)基本點(diǎn)，一般涉及圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等，主要依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、直線與圓的幾何性質(zhì)，運(yùn)用幾何方法或代數(shù)方法解決問題，多以選擇題、填空題為主，屬于基礎(chǔ)題．(1)圓的方程中有三個(gè)參數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F(xiàn)，因此需要三個(gè)獨(dú)立條件建立方程組求解．(2)求圓的方程時(shí)，首選幾何法，即先分析給出的條件的幾何意義，或直接利用待定系數(shù)法求解．2．通過圓的方程的求解，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【例3】(1)已知△ABC的頂點(diǎn)C(2，－8)，直線AB的方程為y＝－2x＋11，AC邊上的高BH所在直線的方程為x＋3y＋2＝0.①求頂點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；②求△ABC外接圓的一般方程．(2)已知圓的半徑為10，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長為42，求圓的方程．[解](1)①聯(lián)立y=-2x+11，x+3因?yàn)锳C⊥BH，所以kAC·kBH＝－1，已知kBH＝－13，所以kAC＝3所以設(shè)直線AC的方程為y＝3x＋b，將C(2，－8)代入得b＝－14，所以直線AC的方程為y＝3x－14.由y=-2x+11，②設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將A(5，1)，B(7，－3)和C(2，－8)三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得5解得D所以△ABC外接圓的一般方程為x2＋y2－4x＋6y－12＝0.(2)法一：設(shè)圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝10.因?yàn)閳A心在直線y＝2x上，所以b＝2a.①由方程組x得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0，所以x1＋x2＝a＋b，x1·x2＝a2由弦長公式得2·a+b化簡得(a－b)2＝4.②解①②組成的方程組，得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10，則圓心為(a，b)，半徑r＝10，圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離d＝a-由半弦長、弦心距、半徑組成的直角三角形得d2＋4222＝即a-b22＋8＝10，所以(a－b又因?yàn)閎＝2a，所以a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.類型4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．圓具有許多重要的幾何性質(zhì)，如圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；圓心與弦的中點(diǎn)的連線垂直于弦；切線長定理；直徑所對的圓周角是直角等．充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運(yùn)算量．另外，對于未給出圖形的題目，要邊讀題邊畫圖，這樣能更好地體會(huì)圓的幾何形狀，有助于找到解題思路．2．研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【例4】(1)若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為23，求a的值．(2)已知點(diǎn)M(3，1)，直線ax－y＋4＝0及圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.①求過M點(diǎn)的圓的切線方程；②若直線ax－y＋4＝0與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長為23，求a的值．[解](1)由題意知，圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直線的方程為2ay－2＝0，而x2＋y2＝4的圓心(0，0)到2ay－2＝0的距離為d＝-22a∴22＝(3)2＋1a2，結(jié)合a>0得a(2)①圓心C(1，2)，半徑r＝2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x＝3.由圓心C(1，2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，此時(shí)，直線與圓相切．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)