必要條件與充分條件 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊(cè)

1.2.1-1必要條件與充分條件導(dǎo)入新課

當(dāng)某一天你和你的媽媽在街上遇到老師的時(shí)候，你向老師介紹你的媽媽說：“這是我的媽媽.”那么，大家想一想這個(gè)時(shí)候你的媽媽還會(huì)不會(huì)補(bǔ)充說“你是她的孩子”呢？不會(huì)了！為什么呢？因?yàn)榍懊婺闼榻B的她是你的媽媽就足于保證你是她的孩子.那么，這在數(shù)學(xué)中類似地是層什么樣的關(guān)系呢？今天我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)有意義的課題——充分條件與必要條件.復(fù)習(xí)回顧問題1：什么是命題？（可以判斷真假，用文字或符號(hào)表述的陳述句叫作命題）問題2：命題有什么樣的基本結(jié)構(gòu)？（一個(gè)命題通常可以表示為“若p，則q”和“p是q”兩種形式當(dāng)命題表示為“若p，則q”時(shí)，p是命題的條件，q是命題的結(jié)論）問題3：我們初中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理都是命題嗎？如果是命題，它們都是真命題嗎？（我們初中學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理都是命題，并且都是真命題）探究新知探究新知必要條件與性質(zhì)定理問題4：閱讀教材第14頁“實(shí)例分析”的內(nèi)容，回答“思考交流”中的問題.（以定理2為例，定理為對(duì)頂角的性質(zhì)定理，兩個(gè)角相等是兩個(gè)角為對(duì)頂角必有的性質(zhì).也就是說，如果能確定兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么一定可以得出這兩個(gè)角相等.而旦某兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角一定不是對(duì)頂角）問題5：在初中數(shù)學(xué)中，我們還學(xué)過哪些重要的平面幾何圖形的性質(zhì)定理，你能舉出一些定理并進(jìn)行分析嗎？（找?guī)酌麑W(xué)生舉例并分析）探究新知問題6：“對(duì)角線互相垂直是菱形必有的性質(zhì)”，如何理解“必有”？（“必有”：必須具備的，不可或缺的；如果沒有就不可以，結(jié)論就不成立）設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)初中學(xué)習(xí)的一些性質(zhì)定理的分析與研究，深化學(xué)生對(duì)必要條件的理解，為抽象概括出必要條件的定義做好鋪墊，體現(xiàn)了從特殊到一般的研究問題的方法.問題7：什么是必要條件？（一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時(shí)，稱q是p的必要條件也就是說，一旦q不成立，p一定也不成立，即q對(duì)于p的成立是必要的）探究新知問題8：你能用必要條件的語言表述前面“實(shí)例分析的3個(gè)定理嗎？（定理1：“四邊形的對(duì)角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必要條件.定理2：“兩個(gè)角相等”是“兩個(gè)角是對(duì)頂角”的必要條件.定理3：“兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等”是“兩個(gè)三角形是全等三角形”的必要條件）問題9：你能總結(jié)判斷必要條件的基本思路方法嗎？（①分清命題的條件與結(jié)論，轉(zhuǎn)化為命題的基本結(jié)構(gòu)：“若p，則q”；②判斷命題“若p，則q”的真假；③在“若p，則q”是真命題的前提下，稱q是p的必要條件）設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例抽象概括出必要條件的概念，用概念分析表述前面“實(shí)例分析”的3個(gè)定理，并總結(jié)判斷必要條件的基本思路方法，加深對(duì)概念的理解和認(rèn)識(shí).典例剖析例1、將下面的性質(zhì)定理寫成“若p，則q”的形式，并用必要條件的語言表述：（1）平面四邊形的外角和是360°；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.（找兩名學(xué)生回答，教師點(diǎn)評(píng)后給出答案）解析

（1）“平面四邊形的外角和是360”可表述為“若平面多邊形為四邊形，則它的外角和為360°”，所以“外角和為360°”是“平面多邊形為四邊形”的必要條件.（2）“在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”可表述為“在平面直角坐標(biāo)系中，若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”，所以“兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同”是“在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱”的必要條件.探究新知問題10：你們能獨(dú)立完成教材第15頁練習(xí)第1，2題嗎？（學(xué)生先獨(dú)立完成，再討論交流后回答，教師給出評(píng)價(jià)）設(shè)計(jì)意圖：必要條件的定義是由平面幾何圖形及其性質(zhì)之間的關(guān)系得到的，因此，例題和練習(xí)題的設(shè)計(jì)需要考慮解析幾何的性質(zhì)定理和代數(shù)性質(zhì)定理.探究新知充分條件與判定定理問題11：閱讀教材第15頁“實(shí)例分析”的內(nèi)容，回答教材第16頁“思考交流”中的問題.（以定理5為例，定理5：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形定理5是說：如果一個(gè)四邊形滿足了條件“對(duì)角線互相平分”，一定有結(jié)論“這個(gè)四邊形是平行四邊形”）探究新知問題12：在初中數(shù)學(xué)中，我們還學(xué)過哪些重要的平面幾何圖形的判定定理，你能舉出一些定理并進(jìn)行分析嗎？（找?guī)酌麑W(xué)生舉例并分析）設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)初中學(xué)習(xí)的一些判定定理的分析與研究，深化學(xué)生對(duì)充分條件的理解，為抽象概括出充分條件的定義做好鋪墊，體現(xiàn)了從特殊到一般的研究問題的方法.問題13：你能類比必要條件的定義，給出充分條件的定義嗎？（一般地，當(dāng)命題“若p，則q”是真命題時(shí)，稱是q的充分條件）探究新知

探究新知問題15：你能總結(jié)判斷充分條件的基本思路方法嗎？（①分清命題的條件與結(jié)論，轉(zhuǎn)化為命題的基本結(jié)構(gòu)：“若p，則q”；

②判斷命題“若p，則q”的真假；

③在“若p，則q”是真命題的前提下，稱p是q的充分條件）典例剖析

解析

設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例抽象概括出必要條件的概念，用概念分析表述前面“實(shí)例分析”的3個(gè)定理，并總結(jié)判斷充分條件的基本思路方法，加深對(duì)概念的理解和認(rèn)識(shí).探究新知問題16：你們能獨(dú)立完成教材第16頁練習(xí)第1，2題嗎？（學(xué)生先獨(dú)立完成再討論交流后回答，教師給出評(píng)價(jià)）課堂小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生共同小結(jié)：（1）試回顧本節(jié)課的基本研究過程，歸納其中的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能及基本思想；（2）談一談必要條件與充分條件的定義的學(xué)習(xí)對(duì)你有什么啟發(fā)；（3）判斷必要條件與充分條件的思路方法.設(shè)計(jì)意圖：鞏固必要條件與充分條件定義的得出過程，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的認(rèn)識(shí)，學(xué)會(huì)從特殊到一般進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，得出一般性結(jié)論的研究方法，滲透邏輯