直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)

直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)·最新考綱·1．以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線、面平行或垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．2．能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的平行或垂直關(guān)系的簡單命題．·考向預(yù)測·考情分析：直線與平面以及平面與平面平行或垂直的判定和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問，難度中等．學(xué)科素養(yǎng)：通過直線、平面位置關(guān)系的判定及性質(zhì)的應(yīng)用考查直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．必備知識—基礎(chǔ)落實(shí)一、平行1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)因?yàn)開_____，______，______，所以l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(線面平行?線線平行)因?yàn)開_____，______，______，所以l∥bl∥aa?αl?αl∥αl?β

[提醒]

應(yīng)用判定定理時，要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個條件必須都具備，缺一不可．2．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(線面平行?面面平行)因?yàn)開___，______，______，______，______，所以α∥β性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行(面面平行?線線平行)因?yàn)開_____，______，______，所以a∥ba∥βb∥β

a?αb?αα∥β

判斷正誤(1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(

)(2)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(

)(3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(4)若直線a∥平面α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．(

)(5)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，則直線a∥平面β.(

)×√×××1.直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的_____________都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直?線面垂直)性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線______(線面垂直?線線垂直)兩條相交直線a，b?α

l⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α二、垂直2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的____，則這兩個平面互相垂直(線面垂直?面面垂直)性質(zhì)定理兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)垂直于______的直線垂直于另一個平面(面面垂直?線面垂直)垂線l?βl⊥α交線α⊥βl?β

l⊥a判斷正誤(1)l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則直線l⊥平面α.(

)(2)直線l不可能和兩個相交平面都垂直．(

)(3)當(dāng)α⊥β時，直線l過α內(nèi)一點(diǎn)且與交線垂直，則l⊥β.(

)(4)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面．(

)×××√平行或垂直間的三種轉(zhuǎn)化關(guān)系幾個常用結(jié)論1.平行關(guān)系中的三個重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.垂直關(guān)系中的兩個常用結(jié)論(1)兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個平面垂直．(2)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則與另一個平面也垂直．走進(jìn)高考1．[2019·全國卷Ⅱ]設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(

)A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面答案：B解析：α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，當(dāng)這無數(shù)條直線互相平行時，α與β可能相交，所以A不正確；根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確．綜上可知選B.2．[2021·浙江卷]如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，M，N分別是A1D，D1B的中點(diǎn)，則(

)

A.直線A1D與直線D1B垂直，直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行，直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交，直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面，直線MN⊥平面BDD1B1答案：A

關(guān)鍵能力—考點(diǎn)突破1.已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，有下列四個命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，則m⊥n.其中所有正確的命題是(

)A．①④B．②④C．①

D．④答案：A判斷空間線、面的位置關(guān)系，常利用正(長)方體及其他幾何體模型來判斷，把平面、直線看作正(長)方體內(nèi)及其他幾何體平面、側(cè)棱、對角線等進(jìn)行推導(dǎo)驗(yàn)證，使抽象的推理形象化、具體化．2.（線面平行）如圖，在五面體ABCDFE中，底面ABCD為矩形，過BC的平面交棱FD于點(diǎn)P，交棱FA于點(diǎn)Q.證明：PQ∥平面ABCD.證明：因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以AD∥BC，又AD?平面ADF，BC?平面ADF，所以BC∥平面ADF，又BC?平面BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ，又PQ?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.反思感悟應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線，該定理的作用是由線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行．3.（面面平行）[2022·河北衡水中學(xué)檢測]如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，AB＝2，DE＝BF，BF∥DE，M為棱AE的中點(diǎn)，求證：平面BMD∥平面EFC.題3圖題4圖

4.(線面垂直)如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，EA∥FC，且EA＝FC＝AB＝4，△EBD、△FBD都是正三角形，證明：CF⊥平面ABCD.3.（面面平行）[2022·河北衡水中學(xué)檢測]如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，BF=DE，BF∥DE，M為棱AE的中點(diǎn)，求證：平面BMD∥平面EFC.

4.(線面垂直)如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD為正方形，EA∥FC，且EA＝FC＝AB＝4，△EBD、△FBD都是正三角形，證明：CF⊥平面ABCD.

反思感悟線面垂直的證明方法證明線面垂直的關(guān)鍵是證明線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．思想流程如下：第一步：找相交直線在一個平面內(nèi)找到兩條相交直線第二步：證明線線垂直證明平面外的直線與這兩條相交直線都垂直第三步：證線面垂直利用直線與平面垂直的判定定理證得線面垂直第四步：證線線垂直由線面垂直的性質(zhì)得到線線垂直

5.（面面垂直）

反思感悟面面垂直的證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題．(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決．[提醒]兩平面垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)．運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”．6.（綜合題）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年，在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qiandu)；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑(bienao)指四個面均為直角三角形的四面體．如圖，三棱柱ABC-

-A1B1C1，BC1⊥平面A1C1CA，四棱錐B--A1C1