江西省宜春市高安市重點中學2023-2024學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題(含答案)

高安市重點中學2023-2024學年上學期11月期中考試高二數(shù)學試題一、單選題（每題5分，共40分）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C． D．3．已知為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C． D．4．已知半徑為2的圓經(jīng)過點，則其圓心到原點的距離最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．橢圓上的一點到兩個焦點的距離之和為（

）A．2 B．6 C．4 D．6．若，，則（

）A． B． C． D．7．如圖，已知大小為的二面角棱上有兩點A，B，，，若，則AB的長度（）A．22 B．40 C． D．8．已知橢圓C：的左、右兩個焦點分別為，，短軸的上、下兩個端點分別為，，的面積為1，離心率為，點P是C上除長軸和短軸端點外的任意一點，的平分線交C的長軸于點M，則（

）A．橢圓的焦距等于短半軸長B．面積的最大值為2C．D．的取值范圍是二、多選題（每題5分，共20分）9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的圖象關(guān)于中心對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增10．已知四邊形的四個頂點在同一個圓上，且，，，則可能為（

）A． B． C． D．11．已知圓與直線，下列選項正確的是（

）A．直線與圓必相交B．直線與圓不一定相交C．直線與圓相交且所截最短弦長為D．直線與圓可以相切12．已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，P是C上任意一點，則下列說法正確的是（

）A．C的漸近線方程為B．若直線與雙曲線C有交點，則C．點P到C的兩條漸近線的距離之積為D．當點P與A，B兩點不重合時，直線PA，PB的斜率之積為2三、填空題（共20分）13．求值：.14．已知平面向量，若，則.15．若曲線與圓恰有4個公共點，則的取值范圍是．16．已知拋物線C：，過點的直線交C于A，B兩點，C在A，B兩點處的切線交于點，且．若點M到直線AB的距離為，則．四、解答題（共70分）17．求適合下列條件的雙曲線的標準方程:(1)一個焦點為，且離心率為；(2)經(jīng)過兩點.18．已知復數(shù)，根據(jù)以下條件分別求實數(shù)m的值或取值范圍．(1)是純虛數(shù)；(2)對應的點在復平面的第三象限．19．在中，角的對邊分別為，滿足．(1)求角；(2)若，，求的面積．20．在平面直角坐標系中，圓經(jīng)過點和點，且圓心在直線上.(1)求圓的標準方程；(2)若直線被圓截得弦長為，求實數(shù)的值.21．如圖，四邊形ABCD為長方形，平面ABCD，，點E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點．

(1)證明：∥平面PBE；(2)求三棱錐的體積．22．已知拋物線的焦點為F，且F與圓上點的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求面積的最大值.參考答案1．D解：因為集合，，所以，故選：D2．A．故選：A．3．C因為，所以.故選：C4．C由題意知半徑為2的圓經(jīng)過點，設該圓圓心為P，故該圓的圓心的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，當坐標原點、圓心P以及點三點共線且圓心P在坐標原點和之間時，圓心到原點的距離最小，

最小值為，故選：C5．B根據(jù)橢圓方程為可知，橢圓焦點在軸上，且，即，由橢圓定義可知橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為.故選：B6．D由，則，即，即，解得或，因為，所以，則，所以.故選：D.7．C解：過作且，連接，則四邊形是平行四邊形，因為，所以平行四邊形是矩形，因為，即，而，則是二面角的平面角，即，因為，即為正三角形，所以，因為，即，平面，所以平面，因為平面，所以，所以在中，，所以，故選：C8．C對A：由的面積為1，離心率為可得，又，所以得，故A錯誤；對B：當P點在長軸端點位置時的面積才能取到最大值，但是P點是除長軸和短軸端點外的任意一點，故的面積無法取到最大值，故B錯誤；對C：所以橢圓的方程為，故，，由的平分線交長軸于點，顯然，，又，所以，即，由，，得，故C正確；對D：設，則，而，即，也就是，所以，所以，，所以，故D錯誤；故選：C.9．ACD因為，所以的最小正周期，故A正確；因為，所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；因為，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ACD.10．BC設，，，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得或，因為，所以且，即.因為，，，，所以BC正確.故選：BC11．AC解：直線過定點，又，所以點在圓內(nèi)，所以直線與圓必相交，所以A正確，B，D錯誤，因為圓心與點間的距離為，圓半徑為2.所以最短弦長為，故C正確，

故選：AC.12．AC雙曲線，則，對于A，C的漸近線方程為，A正確；對于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，若直線與雙曲線C有交點，則，B錯誤；對于C，設點，則，點P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；對于D，易得，，設，則，所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯誤．故選：AC.13．，，代入原式得，故答案為：.14．由，得，解得，所以，故答案為：15．因為曲線與圓恰有4個公共點，所以直線，均與圓相交，且兩直線的交點不在該圓上，則有,解得．故答案為:.16．1設，，顯然，直線AB的斜率存在，且，則直線AB的方程為．聯(lián)立，整理得，則，由，得，求導得，故切線AM的方程為，即①，同理可得切線BM的方程為②，兩式相減，得M的橫坐標，兩式相加，得M的縱坐標．由，得，所以，：，即，所以點M到直線AB的距離，所以，解得或（舍去）．故答案為：.17．(1)(2)（1）依題意可知，雙曲線的焦點在軸上，且，又，故其標準方程為.（2）設雙曲線方程為，把點與點代入，有，解得，故所求雙曲線的標準方程為：.18．(1)(2)（1）因為是純虛數(shù)，所以；（2）因為對應的點在復平面的第三象限，所以，因此實數(shù)m的取值范圍為.19．(1)(2)（1）因為，由正弦定理，可得，即，因為，可得，所以，又因為，所以.（2）因為，，且由余弦定理知，即，解得，所以的面積為．20．(1)(2)（1）因為，的中點為，且直線的斜率，則線段的垂直平分線所在直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，即圓心，，所以，圓的方程為.（2）因為直線被曲線截得弦長為，則圓心到直線的距離，由點到直線的距離公式可得，解得.21．(1)證明見解析(2)（1）證明：取的中點，連接，因為點分別為的中點，所以且，又因為四邊形為長方形，所以且，則且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）由平面，則點到平面的距離等于到平面的距離，因為平面，所以為三棱錐的高，由，所以三棱錐的體積為.

22．(1)2(2)（1）由圓可得圓心圓，半徑為1，易得焦點在圓外，所以點F到圓M上的點的距離的最小值為