天津市北辰區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

北辰區(qū)2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測試卷高二數(shù)學(xué)說明：本試卷共有選擇、填空、解答三道大題，共計120分，考試時間：100分鐘一、選擇題．（本大題共9個小題，每小題4分，共36分，在每小題的四個選項中，只有一項是正確的，請把它選出并填在答題卡上）1.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的加法坐標運算可得.【詳解】因為，，所以，故選：D2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可得直線斜率，即可得傾斜角.【詳解】，則直線斜率為，故傾斜角為.故選：D3.過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出直線方程為，代入點的坐標，求出答案.【詳解】與直線垂直的直線方程可設(shè)為，將代入可得，解得，故過點且與直線垂直的直線方程為.故選：B4.若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓的一般式的意義列不等式，解不等式.【詳解】由方程表示圓，得，解得，故選：A.5.已知橢圓，焦點在軸上，且焦距為4，則短軸長為（）A. B.4 C. D.8【答案】A【解析】【分析】由題可得，后由，可得m，即可得答案.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，半長軸為a，半短軸為b，則由題有，則.故，則短軸長為.故選：A6.若直線與平行，則的值為（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的充要條件計算可得.【詳解】因為直線與平行，所以，解得或，當(dāng)時直線與平行，符合題意；當(dāng)時直線與平行，符合題意；所以或.故選：D7.在平行六面體中，M為與的交點，，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的線性運算進行求解．【詳解】．故選：A．8.若直線不經(jīng)過第一象限，則t的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將直線方程化為斜截式，由直線不過第一象限，則斜率小于等于零即可得解；【詳解】解：直線方程可化為，因為直線不經(jīng)過第一象限，所以，解得．故選：D【點睛】本題考查直線的斜截式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.在正方體中，為中點，，，，，使得，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，得到點的坐標，根據(jù)得到方程組，求出，得到答案.【詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體邊長為，則，則，因為，所以，故，解得，故，故選：A二、填空題．（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．請將正確答案填在答題卡上）10.已知橢圓上一點到其一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義計算可得.【詳解】橢圓，則，所以，根據(jù)橢圓的定義可知橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，因為橢圓上點到其一個焦點的距離為，則點到另一個焦點的距離為.故答案為：11.直線在兩坐標軸上的截距之和為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)截距的定義即可分別求解軸上的截距為，即可相加求解.【詳解】令則，令，則，所以在軸上的截距分別為，故，故答案為：12.已知四面體ABCD，G是CD的中點，連接AG，則________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用空間向量的加法法則即可求解.【詳解】四面體，是的中點，如圖，則，所以.故答案為：13.直線與，若，則實數(shù)________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因為直線與垂直，所以，解得或.故答案為：或14.已知空間向量，，兩兩夾角均為，其模均為1，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義可求得，進而求得的值，從而求解.【詳解】因為，且兩兩夾角為，所以，所以，所以.故答案為：.15.已知直線l被兩條直線和截得的線段的中點為，則直線l的一般式方程為______．【答案】【解析】【分析】通過解方程組求出直線l與兩直線交點的坐標，再利用中點坐標公式進行求解即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為，因為直線l過，所以直線方程為，由，由，由題意可知：是截得線段的中點，所以，即，故答案為：三、解答題．（本大題共5個小題，共60分）16.已知直線過原點，且與平行．（1）求直線的方程；（2）求與間的距離；（3）若圓經(jīng)過點,，并且被直線平分，求圓方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線平行滿足斜率相等，即可求解，（2）根據(jù)平行線間距離公式即可求解，（3）根據(jù)圓心在上，結(jié)合,在圓上，由兩點距離公式，即可求解.【小問1詳解】根據(jù)題意，直線與平行，則有斜率為，．又因其過原點，所以方程為．【小問2詳解】方程為，所以與間的距離為．．【小問3詳解】設(shè)圓心由于直線平分圓，所以圓心在直線上，即．又，所以有．聯(lián)立，解得．所以所以圓的方程為．17.如圖，在四棱錐中，，，，底面為正方形，、分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值；（3）利用空間向量法可求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：、分別為、的中點，則，平面，平面，故平面.【小問2詳解】解：因為四邊形為正方形，則，又因為，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，得，取，可得，，則，因此，直線與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】解：易知平面的一個法向量為，.因此，平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知橢圓過點，且離心率為（1）求橢圓的方程；（2）若過原點的直線與橢圓交于兩點，且在直線上存在點，使得為等邊三角形，求直線的方程.【答案】（1）；（2）方程為y=0或.【解析】【分析】（1）將點代入橢圓方程，由，結(jié)合，可得，即可求解.（2）討論直線斜率或斜率時，將直線與橢圓方程聯(lián)立，求出交點，設(shè)，可得，再將的垂直平分線方程與橢圓聯(lián)立，求出，求出，根據(jù)即可求解.【詳解】（1）由題，解得，，，∴橢圓的方程為（2）由題，當(dāng)斜率時，此時，直線與軸的交點滿足題意；當(dāng)?shù)男甭蕰r，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，又垂直平分線方程為，由，解得，，，∵為等邊三角形，，即，解得(舍去)，，∴直線的方程為綜上可知，直線的方程為y=0或.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將直線方程聯(lián)立，關(guān)鍵求出，由的形狀，列出等式，此題要求有較高的計算求解能力，難度較大.19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，為棱BC上的點，且．（1）求證：平面PAC；（2）求點到平面PCD的距離；（3）設(shè)為棱CP上的點（不與C，P重合），且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）2（3）【解析】【分析】（1）如圖建立空間直角坐標系.利用向量法可得，，即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得與平面PCD的法向量，即可得答案；（3）設(shè)，后由直線QE與平面PAC所成角的正弦值為結(jié)合空間向量知識可得關(guān)于的方程，即可得答案.【小問1詳解】因為平面，平面，平面所以，.因為則以A為坐標原點，建立如圖的空間直角坐標系．由已知可得，，，，，．所以，，．因為，所以.，所以．又，平面，平面．所以平面；【小問2詳解】由（1）可知，設(shè)平面的法向量因為，．所以，即不妨設(shè)，得點到平面的距離．所以點到平面的距離為．．【小問3詳解】設(shè)，即．則，即.則.由（1）可取為平面PAC法向量.因與平面夾角正弦值為，則即解得，即.20.已知橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于A，B兩點，線段AB的中點為，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說明理由．【答案】（1