天津市武清區(qū)2023-2024學年高二上學期11月期中數(shù)學試題

2023~2024學年度第一學期期中練習高二數(shù)學一、選擇題：本大題共9小題，每小題4分，共36分.1.直線的傾斜角為（）A.45° B.60° C.120° D.150°【答案】B【解析】【分析】求出直線的斜率，進而得到傾斜角.【詳解】的斜率為，設傾斜角為，則，故.故選：B2.已知空間向量則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的坐標運算一一判定即可.【詳解】由題意可知，，.故選：A3.圓的圓心和半徑分別為（）A.，2 B.， C.，2 D.【答案】B【解析】【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標準方程即可.【詳解】由可得，，所以圓心為，半徑為，故選:B.4.如圖，在平行六面體中，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算得到，然后求即可.【詳解】解：，又因，，∴，∴，，，故選：A.5.已知直線過點(2,1)，且橫截距、縱截距滿足，則該直線的方程為（）A.2x+y5=0 B.x+2y4=0C.x2y=0或x+2y4=0 D.x2y=0或2x+y5=0【答案】C【解析】【分析】分截距為0和截距不為0時，根據(jù)直線過點（2，1）求解.【詳解】解：當截距為0時，設直線的方程為：，因為直線過點(2,1)，所以，即，則直線方程為：；當截距不為0時，設直線方程為，因為直線過點（2，1），所以，則，所以直線方程為，即，綜上：直線的方程為：x2y=0或x+2y4=0，故選：C6.已知向量空間，若,,共面，則實數(shù)x等于（）A.2 B. C.2或 D.2或0【答案】A【解析】【分析】利用向量共面定理即可.【詳解】若,,共面,則，所以，解得.故選：A7.若直線l與直線x+2y=0垂直，且與圓相切，則l的方程為（）A.x+2y8=0 B.x+2y+2=0 C.2xy1=0 D.2xy10=0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，設出直線l的方程，再結(jié)合相切，點到直線的距離等于圓的半徑求解即可.【詳解】因為直線l與直線x+2y=0垂直，所以可設直線l方程為，因為直線l與相切，則有，即或，所以直線方程為或，故選：C.8.已知兩點，，直線與線段有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得直線恒過點.然后求出直線的斜率，結(jié)合圖象，即可得出答案.【詳解】直線可化為，由可得，，所以直線恒過點.，，如圖可知，直線的傾斜角介于直線傾斜角與直線的傾斜角之間.所以當時，有；當時，有.又直線的斜率為，所以，或.故選：D.9.在平面直角坐標系xOy中，若圓(r>0)上存在點P，且點P關(guān)于直線對稱點Q在圓上，則r的取值范圍是（）A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(2，8) D.[2，8]【答案】D【解析】【分析】求出圓關(guān)于對稱的圓的方程，轉(zhuǎn)化為此圓與有交點，再由圓心距與半徑的關(guān)系列不等式組求解.【詳解】圓心坐標，設關(guān)于直線的對稱點為，由，可得，所以圓關(guān)于直線對稱圓的方程為，則條件等價為：與有交點即可，兩圓圓心為，，半徑分別為，3，則圓心距，則有，由得，由得，綜上：，所以r的取值范圍是，故選：D.二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.10.經(jīng)過兩點的直線的方向向量為，則______．【答案】2【解析】【分析】方向向量與平行，由此可得．【詳解】由已知，是直線的方向向量，則，故答案為：2.11.若直線是圓的一條對稱軸，則實數(shù)a的值為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線為圓對稱軸知直線過圓心求解.【詳解】圓的圓心為，由題意，直線過圓的圓心，所以，解得.故答案為：12.已知空間向量且與相互垂直，則實數(shù)λ的值為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積公式表示向量垂直關(guān)系計算即可得出λ.【詳解】因為與相互垂直，所以,所以.故答案為:13.已知兩條平行直線則l?與l?間的距離為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩平行線間的距離可求解.【詳解】由題意得：直線，直線可化簡為：，所以兩平行線間的距離為：.故答案為：.14.已知點，直線l過點，且l的一個方向向量為則點P到直線l的距離為_____.【答案】【解析】【分析】利用空間中點到直線的距離公式計算【詳解】易知，所以點P到直線l距離為.故答案為：15.已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足的面積為的實數(shù)m的一個值____________.【答案】（任意一個也對）【解析】【分析】求出圓心和半徑，求出圓心到直線距離，根據(jù)垂徑定理得到弦長，根據(jù)面積得到方程，求出或，進而求出實數(shù)m的值.【詳解】的圓心為，半徑為，則圓心到的距離為，則，故，解得或，當時，，解得，當時，，解得，故或故答案為：（任意一個也對）三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知點，，O為坐標原點，向量（1）求向量的單位向量（2）求（3）求【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）計算出模長，進而利用得到答案；（2）計算出，得到模長；（3）利用空間向量夾角余弦公式求出答案.【小問1詳解】由已知得：，則，因此；【小問2詳解】因為，所以，則.【小問3詳解】因為，所以，則17.已知的三個頂點，，.（1）求邊所在直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點坐標寫出直線方程即可.（2）根據(jù)斜率求出高線斜率，再根據(jù)過點，可求出邊AB上的高所在直線的方程.【小問1詳解】直線的斜率為，直線的方程為，即.【小問2詳解】由（1）知直線的斜率為，所以由垂直關(guān)系可得邊高線的斜率為，因為上的高過點，所以上的高線方程為,化為一般式可得：.18.如圖，在三棱錐中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F(xiàn)，M分別為AP，AC，PB的中點，（1）求證:（2）求直線EF與AB所成角的余弦值；（3）求平面PAC與平面PBC夾角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】分析】（１）建立空間直角坐標系，利用向量法證明，從而求解；（２）利用空間向量可求出兩直線和所成的余弦值；（３）利用空間向量可求出平面和平面的夾角大小.小問1詳解】證明：以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖：則：，，，，，，所以：，即：，所以：.【小問2詳解】由（1）可得：，所以：所以：直線與所成角的余弦值為：.【小問3詳解】由（1）可得：，，，，設平面的一個法向量為：，則得：，令，得，所以：，設平面的一個法向量為：，則得：，令，得：，所以：，所以：，所以：平面與平面夾角為：.19.已知圓C過點A(8，1)，且與直線相切于點B(3，4).（1）求圓C的方程;（2）過點P(3，0)的直線與圓C交于M，N兩點，若為直角三角形，求的方程.【答案】19.20.或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中設圓心，分別求出過圓心與切點的直線斜率，且圓過點，利用，從而求解.(2)根據(jù)題意設出過點的直線，然后利用圓心到直線的距離建立等式，從而求解.【小問1詳解】設圓心坐標為，又直線與圓相切，所以：，設分別代表直線，的斜率，所以有：，由題意得：，所以有：，結(jié)合，并聯(lián)立得：，解之得：，所以：圓的半徑，所以：圓的方程為：.【小問2詳解】因為為直角三角形且，所以，圓心到直線的距離：，易知直線的斜率存在，記為，又直線過點，設直線方程的方程為：，即：，因為圓心到直線的距離為：，整理得：，解之得：或，所以直線方程的方程為：或.20.如圖，且，，且，且，平面，，M是AB的中點.（1）若求證：平面DMF；（2）求直線EB與平面DMF所成角的正弦值；（3）若在DG上存在點P，使得點P到平面DMF的距離為，求DP的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行判斷定理結(jié)合空間向量法證明；（2）空間向量法求線面角即可；（3）根據(jù)點到平面空間向量法求參.【小問1詳解】因為，，平面，而平面，所以，，因此以為