第01講比例線段和相似圖形（知識解讀真題演練課后鞏固）

第01講比例線段和相似圖形1.掌握線段成比例條件及運用；2.能通過生活中的實例認識圖形的相似，能通過觀察直觀地判斷兩個圖形是否相似；4.了解比例線段的概念和黃金分割的概念及有關性質，探索相似圖形的性質，知道兩相似多邊形的主要特征：對應角相等，對應邊的比相等.明確相似比的含義；5.知道兩個相似的平面圖形之間的關系，會根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運用性質進行相關的計算，提高推理能力.知識點1比例線段1．線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或寫成．2．成比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．比例的基本性質：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項）．知識點2黃金分割比1.黃金分割的定義：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.注意：≈0.618AB(叫做黃金分割值).2.作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.注意：一條線段的黃金分割點有兩個.知識點3相似圖形在數(shù)學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).注意：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；知識點4相似多邊形相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．【題型1比例性質】【典例1】（2023春?乳山市期末）若，則＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵，∴，∴＝＝，故選：C．【變式11】（2022秋?萬州區(qū)期末）已知，則的值是（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣【答案】B【解答】解：∵，∴b＝2a，∴＝＝﹣3．故選：B．【變式12】（2023春?張店區(qū)期末）若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵，∴＝+1＝+1＝．故選：D．【變式13】（2023?大豐區(qū)校級模擬）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【解答】解：A．因為＝，所以5m＝4n，不符合題意；B．因為＝，所以4m＝5n，符合題意；C．因為＝，所以5m＝4n，不符合題意；D．因為＝，所以mn＝20，不符合題意．故選：B．【題型2比例線段】【典例2】（2022秋?于洪區(qū)期末）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，則d＝（）A．8cm cm C．2cm D．3cm【答案】A【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，∴d＝8（cm），故選：A．【變式21】（2023?金山區(qū)一模）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm【答案】C【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四條線段不成比例，不符合題意；B、∵2×5≠3×4，∴四條線段不成比例，不符合題意；C、∵2×6＝3×4，∴四條線段成比例，符合題意；D、∵3×9≠4×6，∴四條線段成比例，不符合題意；故選：C．【變式22】（2022秋?敘州區(qū)期末）下列給出長度的四條線段中，是成比例線段的是（）A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，4，7【答案】B【解答】解：A、1×4≠2×3，所以A選項不符合題意；B、1×6＝2×3，所以B選項符合題意；C、2×5≠4×3，所以C選項不符合題意；D、1×7≠3×4，所以D選項不符合題意；故選：B．【變式23】（2023?邵陽模擬）四條線段a，b，c，d成比例，其中a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，則線段c的長為（）A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm【答案】B【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴a：b＝c：d，而a＝2cm，b＝3cm，d＝6cm，∴c＝＝＝4（cm）．故選：B．【典例3】（2022秋?余姚市期末）已知線段a＝3，b＝12，則a，b的比例中項線段等于（）A．2 B．4 C．6 D．9【答案】C【解答】解：設a，b的比例中項線段為c，則：c2＝ab＝3×12＝36，∵c＞0，∴c＝6．故選：C．【變式31】（2022秋?池州期末）已知線段a＝2，b＝2，線段b是a、c的比例中項，則線段c的值為（）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【解答】解：∵線段b是a、c的比例中項，∴b2＝ac，∵a＝2，b＝2，∴（2）2＝2c，∴c＝6，故選：C．【變式32】（2022秋?興化市期末）已知線段a＝9，b＝1，如果線段c是線段a、b的比例中項，那么c＝（）A．±3 B．3 D．5【答案】B【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．則c2＝9×1，解得c＝±3（線段是正數(shù)，負值舍去），所以c＝3．故選：B．【題型3黃金分割比】【典例4】（2023春?海陽市期末）已知如圖，點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），則下列結論中正確的是（）A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC?BA C． D．【答案】C【解答】解：∵點C是線段AB的黃金分割點（AC＞BC），∴，∴選項C符合題意，故選：C．【變式41】（2023春?棲霞市期末）大自然是美的設計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為AB的黃金分割點（AP＞PB），則下列結論中正確的是（）A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP?BA C． D．【答案】D【解答】解：∵P為AB的黃金分割點（AP＞PB），∴AP2＝BP?BA，＝＝，故選項A、B、C不符合題意，選項D符合題意，故選：D．【變式42】（2022秋?渭南期末）已知點P是線段AB的黃金分割點（AP＞PB），若線段AB＝1，則線段AP的長是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由于P為線段AB＝1的黃金分割點，且AP是較長線段；則．故選：A．【變式43】（2023?開化縣模擬）美是一種感覺，當人體下半身長與身高的比值越接近0.618時，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是0.60，為盡可能達到美的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：根據(jù)已知條件得下半身長是165×0.60＝99cm，設需要穿的高跟鞋是ycm，則根據(jù)黃金分割的定義得：＝0.618，解得：y≈8cm．故選：C．【題型4相似圖形】【典例5】（2023?茂南區(qū)二模）任意下列兩個圖形不一定相似的是（）A．正方形 B．等腰直角三角形 C．矩形 D．等邊三角形【答案】C【解答】解：A、因為任意兩個正方形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意B、因為任意兩個等腰直角三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以B不符合題意；C、因為任意兩個矩形的對應邊不一定成比例，對應角相等，不是相似圖形，所以C符合題意；D、因為任意兩個等邊三角形的對應邊成比例，對應角相等，是相似圖形，所以A不符合題意；故選：C．【變式51】（2023?東洲區(qū)模擬）觀察下列圖形，下列各組圖形不是相似圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；B．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項符合題意；C．形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；D．形狀相同，符合相似形的定義，此選項不符合題意；故選：B．【變式52】（2022秋?鐵西區(qū)期末）如圖，有三個矩形，其中是相似圖形的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙【答案】B【解答】解：甲：鄰邊的比為3：2，乙：鄰邊的比為2.5：1.5＝5：3，丙：鄰邊的比為1.5：1＝3：2，所以，是相似圖形的是甲和丙．故選：B．【題型6相似多邊形的性質】【典例6】（2022秋?高新區(qū)期末）如圖，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝6cm，則FG的長為（）A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形EFGH，∴＝，∴＝，∴FG＝10（cm）．故選：B．【變式6】（2023?婺城區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一個矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，則CF的長為1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝DC＝4，∵四邊形EFBC是矩形，∴EF＝BC＝2，CF＝BE，∵余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，∴，即，∴CF＝1，故答案為：1．【典例7】（2023?鼓樓區(qū)二模）若兩個相似多邊形面積比為4：9，則它們的周長比是2：3．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵兩個相似多邊形面積比為4：9，∴兩個相似多邊形相似比為2：3，∴兩個相似多邊形周長比為2：3，故答案為：2：3．【變式71】（2022秋?雙牌縣期末）已知相似三角形的相似比為9：4，那么這兩個三角形的周長比為（）A．9：4 B．4：9 C．3：2 D．81：16【答案】A【解答】解：三角形的周長比等于相似多邊形的相似比為9：4．故周長比也為9：4．故選：A．【變式72】（2022秋?會寧縣校級期末）已知兩個相似多邊形的面積比是9：16，其中較小多邊形的周長為18cm，則較大多邊形的周長為（）A．24cm B．27cm C．28cm D．32cm【答案】A【解答】解：兩個相似多邊形的面積比是9：16，∴兩個相似多邊形的相似比是3：4，∴兩個相似多邊形的周長比是3：4，設較大多邊形的周長為為xcm，由題意得，18：x＝3：4，解得，x＝24，故選：A．1．（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．【答案】A【解答】解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．2．（2023?威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點A落在點H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點B落在點G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+1【答案】C【解答】解：設HG＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，由折疊得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，∴四邊形ADHE是矩形，∵AD＝DH，∴四邊形ADHE是正方形，∴AD＝HE＝1，∵矩形HEFG與原矩形ABCD相似，∴＝，∴＝，解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1，經(jīng)檢驗：x＝﹣1或x＝﹣﹣1都是原方程的根，∵GH＞0，∴GH＝﹣1，∴DC＝2+x＝+1，故選：C．3．（2023?泰州）兩個相似圖形的周長比為3：2，則面積比為9：4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵兩個相似圖形，其周長之比為3：2，∴其相似比為3：2，∴其面積比為9：4．故答案為：9：4．4．（2022?鎮(zhèn)江）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿．衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的1.2倍．【答案】1.2．【解答】解：由題意得，5m被稱物＝6m砝碼．∴m被稱物：m砝碼＝6：5＝1.2．故答案為：1.2．5．（2023?達州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm．（結果保留根號）?【答案】（80﹣160）．【解答】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撐點C，D之間的距離為（80﹣160）cm，故答案為：（80﹣160）．1．（2023秋?小店區(qū)期中）若＝，則的值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵＝＝，∴＝＝．故選：D．2．（2023秋?秦都區(qū)期中）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（）A．4，6，8，10 B．3，4，5，6 C．5，15，3，9 D．8，6，2，1【答案】C【解答】解：A、∵4×10≠6×8，∴4，6，8，10不能成比例線段，故不符合題意；B、∵3×6≠4×5，∴3，4，5，6不能成比例線段，故不符合題意；C、∵5：15＝3：9，∴5，15，3，9成比例線段，故符合題意；D、∵8×1≠6×2，∴8，6，2，1不能成比例線段，故不符合題意；故選：C．3．（2022秋?邯山區(qū)校級期末）已知xy＝mn，則把它改寫成比例式后，正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵xy＝mn，∴．故選：A．4．（2023秋?秦安縣期中）如果＝，則等于（）A． B． C． D．6【答案】A【解答】解：由和比性質，得＝，兩邊都除以2，得＝，故選：A．5．（2023秋?衡南縣期中）將一個三角形按2：1的比放大后，它的面積（）A．保持不變 B．放大到原來的2倍 C．放大到原來的4倍 D．無法確定【答案】C【解答】解：根據(jù)相似三角形的性質，面積比等于相似比的平方，相似比為2，則面積就是原來面積的四倍．故選：C．6．（2023秋?昭平縣期中）點P在線段AB上，且PA2＝AB?PB，若PB＝4，那么線段PA的值是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵點P在線段AB上，且PA2＝AB?PB，∴點P是線段AB的黃金分割點，∴＝＝，∵PB＝4，∴AP＝＝＝＝2+2，故選：C．7．（2023秋?南海區(qū)期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足＝，則稱點P是AB的黃金分割點，世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割”，若圖中AB＝8，則BP的長度是（）A． B． C． D．2【答案】A【解答】解：∵點P是線段AB上一點（AP＞BP），點P是AB的黃金分割點，∴AP＝AB＝×8＝4﹣4，∴BP＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．故選：A．8．（2023秋?鐵西區(qū)期中）下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個正方形 B．兩個等邊三角形 C．兩個等腰直角三角形 D．兩個矩形【答案】D【解答】解：A、兩個正方形的形狀相同，是相似圖形，故選項A不符合題意；B、兩個等邊三角形形狀相同，是相似圖形，故選項B不符合題意；C、兩個等腰直角三角形形狀相同，是相似圖形，故選項C不符合題意；D、兩個矩形的對應邊不一定成比例，不一定是相似圖形，故選項D符合題意；故選：D．9．（2023秋?閔行區(qū)期中）將圖形甲通過放大得到圖形乙，那么在圖形甲與圖形乙的對應量中，沒有被放大的是（）A．邊的長度 B．圖形的周長 C．圖形的面積 D．角的度數(shù)【答案】D【解答】解：將圖形甲通過放大得