2021年人教A版選修4-5數(shù)學(xué)第4章-用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式單元測(cè)試卷含答案

2021年人教A版選修4-5數(shù)學(xué)第4章用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

單元測(cè)試卷含答案

學(xué)校：班級(jí)：姓名：考號(hào)：

一、選擇題（本題共計(jì)8小題，每題5分，共計(jì)40分，）

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等W+++++…+《＞景心2）的過(guò)程中，由n=k遞

推到幾=k+1時(shí)，不等式左邊（）

A?增加了一項(xiàng)總

B.增加了一項(xiàng)舟+島

c?增加了盛+點(diǎn)，又減少了高

D?增加了康，又減少了高

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式"1+"抖…l+'neN*）"的過(guò)程中，由n=k

到7l=k+l時(shí)，不等式的左邊（）

A.增加了1項(xiàng)B.增加了2項(xiàng)C.增加了2k項(xiàng)D.增加了小+1項(xiàng)

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+a+a?+…+心+1=與二（。十1）,在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端

1-a、/

計(jì)算所得的式子是（）

23

A.lB.14-aC.1+Q+Q2D.l+a+a4-a

4.已知數(shù)列｛an｝滿足an=1+[+：+…+*,則—以共有（）項(xiàng).

A.lB.fcC.2kD.2fc+1

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+...+(n-I)2+n2+(n-1)2+...+22+l2=吟椀時(shí),

從n=/^iJn=k+N上等式左邊應(yīng)添加的式子是()

A.(fc-I)2+2k2B.(/c+I)2+fc2

C.(k+1)2D.i(/c+l)[2(/c+l)2+l]

6.在數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()

A.n=1成立B.n=2成立C.n=3成立D.n=4成立

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3?!--卜砂="7n€N*時(shí)，則當(dāng)n=k+l時(shí)，應(yīng)當(dāng)

在n=k時(shí)對(duì)應(yīng)的等式的左邊加上()

A.(fc3+1)4-(k3+2)+…+(k+I)3B.k3+1

D(〃+1尸+化+1)3

C.(k+I)3

8.如果命題P(n)對(duì)n=k(kGN*)成立,則它對(duì)n=k+1也成立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)n=4

不成立，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(n)對(duì)n＜4且neN*不成立B.P(n)對(duì)n＞4且九GN*成立

C.P(n)對(duì)n＜4且n6N*成立D.P(n)對(duì)nGN*成立

二、填空題(本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分，)

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式…+塌=14+?"…+在一梟則從

n=k到ri=k+1時(shí)，左邊要增加的表達(dá)式為

10.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式"1+；+：+…+J二＞?(nN2,neN*)"的過(guò)程中,

232—12

由，=%"變到，=k+1”時(shí)，左邊增加了項(xiàng).

11.試比較m+1與(n+l)n(n€N*)的大小.

當(dāng)n=1時(shí),有71n+1_______(n+l)n(填〉、=或＜);

當(dāng)71=2時(shí)，有臚+1____—(n+l)n(填＞、=或＜);

當(dāng)n=3時(shí)，有71n+1____—(n+l)n(填〉、=或＜):

當(dāng)n=4時(shí),有。+1____—(n+l)n(填＞、=或＜);

猜想一個(gè)一般性的結(jié)論，并加以證明.

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2”?1?3?5...(2n-l)(nGN*)

時(shí)，從n=/c到n=k+l時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是.

三、解答題(本題共計(jì)7小題，每題12分，共計(jì)84分，)

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明：F+23+33+…+/=也誓=(1+2+3+…+n)2(凡是

試卷第2頁(yè)，總18頁(yè)

正整數(shù)).

14.已知f(n)=1+*+*+2+…+專,9(n)=|一奈”6N*.

(1)當(dāng)n=l,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系;

(2)猜想/(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明.

+

15.在數(shù)列｛斷｝中，已知％=2,an+1=(neN).

(1)求。2，。3，。4,并由此猜想數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.

16.已知等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足公差d>0,且%&4=27,54=24,數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和立滿

足S九=2bn—1.

(1)求數(shù)列｛的｝的通項(xiàng)公式;

(2)證明數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

(3)若VnEN*,西瓦+。2①+??,+品%N(2幾一l)t+1恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值.

17.已知數(shù)列｛an｝滿足的=2,anan+14-1=2an.

(1)求。2，。3，。4,試猜想數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

(2)記數(shù)列｛lnan｝的前幾項(xiàng)和為Sn,證明：Sn>Inn.

18.設(shè)數(shù)列｛an｝滿足%=1,。2=3，當(dāng)nN2時(shí)，an+1=皿上+(n+2).

an+an-l

(1)計(jì)算的44,猜想｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式，并加以證明;

(2)求證:---------------F--------------h???H---------------<-

(ai+1)232+1)2(即+1)24,

19.設(shè)函數(shù)/(%)=Inx+l,a6R.

(1)若%>0時(shí)，/(X)>0,求實(shí)數(shù)Q的取值范圍;

(2)求證：In2+In3H---1-Inn>1+1+1H----卜：-n(n>2).

試卷第4頁(yè)，總18頁(yè)

參考答案與試題解析

2021年人教A版選修4-5數(shù)學(xué)第4章用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

單元測(cè)試卷含答案

一、選擇題（本題共計(jì)8小題，每題5分，共計(jì)40分）

1.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

當(dāng)n=k時(shí)，寫(xiě)出左端，并當(dāng)n=k+l時(shí)，寫(xiě)出左端，兩者比較，關(guān)鍵是最后一項(xiàng)和

增加的第一項(xiàng)的關(guān)系.

【解答】

解：當(dāng)九=k時(shí)，左端47+];+…

fc+lk+22k

那么當(dāng)7l=k+l時(shí)左端=++；+———I--y—,

k+2fc+32k2k+l2k+2

故第二步由k到k+1時(shí)不等式左端的變化是增加了六和六兩項(xiàng)，同時(shí)減少了六這

2/c+l2k+2k+1

一項(xiàng)，

故選：C.

2.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

分別把n=k和n=k+1代入不等式計(jì)算不等式左邊的項(xiàng)數(shù)，即可得出答案.

【解答】

解：當(dāng)n=k時(shí)，不等式左邊為1+扛扛…+去，共有2叮頁(yè)，

當(dāng)幾=卜+1時(shí)，不等式左邊為1+渭+…+/+含+/+???+磊共有/+1項(xiàng),

不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)為：2k+1-2k=2k.

故選C.

3.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

在驗(yàn)證n=l時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng).把n=1代入等式左邊即可得到答案.

【解答】

1a,*'*?

解：用數(shù)學(xué)歸納法證明：l+a+a2+…+an+i一(a*l)，

在驗(yàn)證n=l時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=l+a+a2.

故選：C.

4.

【答案】

D

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

寫(xiě)出ak+i與%即可推出結(jié)果.

【解答】

解：由于網(wǎng)=1+：+：+…+*,縱+i=1+[+：+…+表++

1II1

k2+2k2+2k+l9

從而可得必+1一%=逅匕+&+…+鬲

所以以+1-ci"共有2k+1項(xiàng).

故選：D.

5.

【答案】

B

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫(xiě)出《=上與n=k+l時(shí)的結(jié)論，

即可得到答案.

【解答】

解：根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，

由于n=k,左邊=I2+22+...+(/C-I)2+fc2+(fc-1)2+...+22+l2

n=k+1時(shí)，左邊=l2+22+...+(/c-l)2+k2+(k+l)2+k2+(k-l)2+...+22+

l2

比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是(k+I)2+k2,

故選B.

6.

【答案】

C

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

數(shù)學(xué)歸納法第一步應(yīng)驗(yàn)證n的最小值時(shí)，命題是否成立.

【解答】

解：多邊形的邊數(shù)最少是3,即三角形，

第一步驗(yàn)證n等于3.

故選C.

7.

試卷第6頁(yè)，總18頁(yè)

【答案】

A

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

分別使得《=k，和71=4+1代入等式，然后把n=k+l時(shí)等式的左端減去n=k時(shí)等式

的左端，即可得到答案.

【解答】

解：當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+2+…+卜3,

當(dāng)n=k+1時(shí)，

等式左端=1+2+...+/C3++1)…+(k+I)3,

應(yīng)該增加的是(爐+1)+也3+2)+...+(k+I)3.

故選4

8.

【答案】

A

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的遞推關(guān)系.

【解答】

解：原命題為真，則逆否命題一定為真，原命題的逆否命題為：如果命題2伽)對(duì)《=

k+1不成立，則它對(duì)n=k也不成立，現(xiàn)已知P(n)對(duì)n=4不成立，貝!]P(n)對(duì)n=3不

成立，則P(n)對(duì)ri=2,1也不成立，即P(n)對(duì)n<4且n6N*不成立.

故選4

二、填空題(本題共計(jì)4小題，每題5分，共計(jì)20分)

9.

【答案】

11

2k+l~2k+2

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

求出當(dāng)n=k時(shí)，左邊的代數(shù)式，當(dāng)《=憶+1時(shí)，左邊的代數(shù)式，相減可得結(jié)果.

【解答】

解：n=k時(shí)，左邊=7^—+7^7+…+=，n=k+l時(shí)，左邊=7^7+…+三+^—

k+lk+22kk+22k2&+1

1

2k+2'

從n=庭舊=卜+1時(shí),左邊要增加的表達(dá)式為/+康一擊1]

2k+l2k+2'

]

故答案為：」.一2k+2

10.

【答案】

2k

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

，最后一項(xiàng)為念pn=k+l時(shí)，最后一項(xiàng)為(+；_］，由此可得由n=k變到n=k+1時(shí),

左邊增加的項(xiàng)數(shù).

【解答】

解：由題意，n=/c時(shí)，，最后一項(xiàng)為吳pn=k+l時(shí)，最后一項(xiàng)為品二>

由n=k變到n=k+l時(shí)，左邊增加了2m—(2&+1)+1=2七

故答案為:2k.

11.

【答案】

<,<,>,>

【考點(diǎn)】

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

【解析】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法，我們可以列出n"+i與(n+l)"(n6N*)的

前若干項(xiàng)，然后分別比較其大小，然后由歸納推理猜想出一個(gè)一般性的結(jié)論，然后利

用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

【解答】

解：當(dāng)九=1時(shí)，nn+1=1,(n+l)n=2,此時(shí)、nn+1<(n4-l)n,

當(dāng)九=2時(shí)，nn+1=8,(n+l)n=9,此時(shí)，nn+1<(n4-l)n,

當(dāng)九=3時(shí)，nn+1=81,(n+l)n=64,此時(shí)，nn+1>(n4-l)n,

當(dāng)n=4時(shí)，71n+1=1024,(n+l)n=625,此時(shí)，nn+1>(n4-l)n,

根據(jù)上述結(jié)論，我們猜想：當(dāng)幾之3時(shí)，nn+1>(n+l)n(nGN*)恒成立.

①當(dāng)ri=3時(shí)，nn+1=34=81>(n4-l)n=43=64

即71n+i>(n+l)n成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，那+i>(k+1產(chǎn)成立，即：合于>1

則當(dāng)"卜+1時(shí)，嘲=6+1).(震產(chǎn)>(k+1).(備產(chǎn)=忘>1

即(k+l)k+2>(k+2)”1成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，

當(dāng)n>3時(shí)，nn+1>(n+l)n(nGN*)恒成立.

12.

【答案】

4k+2

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

從TI=/C到n=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是竺當(dāng)牛3,化簡(jiǎn)即可得出.

fc+1

【解答】

用數(shù)學(xué)歸納法證明(n+l)(n+2)(n+3)...(n+n)=2n?1?3?5...(2n-l)(neN*)時(shí)，

從n=k到n=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是空匕平芋3=2(2k+1).

試卷第8頁(yè)，總18頁(yè)

三、解答題（本題共計(jì)7小題，每題12分，共計(jì)84分）

13.

【答案】

證明：（1）當(dāng)71=1時(shí)，左邊=1,中間="二=1,右邊=12=1,

4

等式成立，

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即13+23+33+3+4=史0=（1+2+

4

3+...+fc）2,

那么，當(dāng)n=k+l時(shí)，有4+當(dāng)+33+…+爐+（k+1）3=k?k：i）2+卜+1）3

=(k+l)2.(9+k+l)

k2+4fc+4

=(fc+l)2-

4

（k+l）2（k+2）2

二4

=（k+i）T（：+i）+i『=（i+2+3+…+/+i）2,

這就是說(shuō)，當(dāng)《=1+1時(shí)，等式也成立，

根據(jù)（1）和（2）,可知對(duì)《€7*13+23+33+—+"3=咳竽2!=（1+2+

3+…+71）2等式成立.

【考點(diǎn)】

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=l時(shí)，驗(yàn)證等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等時(shí)成立,

用上歸納假設(shè)后，去證明當(dāng)"=k+1時(shí)，等式也成立即可.

【解答】

證明：（1）當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,中間=之^-=1,右邊=12=1,

4

等式成立，

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即13+23+33+~+43=立業(yè)=（1+2+

4

3+...+/c）2,

那么，當(dāng)7l=/f+l時(shí)，有仔+當(dāng)+33+..?+-+（七+1）3=U（：1）2+（A+1產(chǎn)

=(k+1)2?號(hào)+/c+1)

k2+4/c+4

=(/c+l)2-

4

（k+Ip*+2）2

=4

=（k+】）2號(hào)+】）+】K=q+2+3+—+k+i）2,

這就是說(shuō)，當(dāng)《=卜+1時(shí)，等式也成立，

根據(jù)（1）和（2）,可知對(duì)n€N*F+23+33+…+川=I），=（1+2+

3+…+n)2等式成立.

14.

【答案】

(1)解：當(dāng)n=l時(shí)，

f(l)=l,g(l)=l,

所以/⑴=g(D

當(dāng)71=2時(shí)，

/(2)=|.g(2)=費(fèi)，

所以/(2)<g(2).

當(dāng)n=3時(shí)，

/(3)=—251,o(3)312

'''216'216

所以f(3)<g(3).

(2)證明:由(1)猜想f(n)4g(n),

下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：

①當(dāng)n=l,2,3時(shí)，不等式顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k23)時(shí)，不等式成立，

即1+2.+三+2-+…+2_<三_2_,

當(dāng)n=k+l時(shí)，

1311

Kk+1)=fw+—,

因?yàn)榈镀?擊一島0

k+31

=2(k+1)3-而

=_3J<0,

2(k+l)3H5

所以f(k+1)<|-=g(k+1),

由①，②可知，

對(duì)一切neN*,

都有f(n)<g(n).

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

(1)解：當(dāng)n=l時(shí)，

/(i)=i>g⑴=1，

所以/⑴=9(1).

當(dāng)n=2時(shí)，

/(2)=￡g(2)=藍(lán),

所以/(2)<g(2).

試卷第10頁(yè)，總18頁(yè)

當(dāng)n=3時(shí),

rzox251“、312

/⑶=577，5(3)=—

ziozio

所以/⑶<g(3).

(2)證明:由(1)猜想/(n)<g(n),

下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：

①當(dāng)n=l,2,3時(shí)，不等式顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)n=k(k23)時(shí)，不等式成立,

即1+3+：+]+…-

233343k322k2

當(dāng)n=fc+1時(shí),

/(Z+l)=f(k)+品V|-看+3時(shí)

因?yàn)?---(--------)

2(k+l)212k2(k+i)3/

k+31

=2(k+1尸一而

所以f(k+l)<|一五&=g(k+l),

由①，②可知，

對(duì)一切nGN*,

都有/(n)<g(n).

15.

【答案】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

猜想數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由題意知4=2,

顯然滿足出=后￥=2；

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，即熱=

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

2(fc+i)-i+3

2(A+1)T

知當(dāng)ri=k+1時(shí)猜想也成立，

綜合①②可知，對(duì)neN*猜想都成立,

即數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為即

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

歸納推理

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

(1)解：根據(jù)遞推公式可求得:

猜想數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式為a”=后孕;

(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明：①當(dāng)n=l時(shí)，由題意知的=2,

顯然滿足的

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)猜想成立,

知當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立，

綜合①②可知，對(duì)neN*猜想都成立,

即數(shù)列的通項(xiàng)公式為與=厚營(yíng).

16.

【答案】

4(ac+aj)

S4=——丁翌=24

由題意可知，/，二a7+a4=12.

又&逆5=27,d>0]=5,。4=9，d=8,

故數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式為aa=2n+1.

證明：對(duì)于數(shù)列｛0｝，當(dāng)n=7時(shí)，比=51=6九-1,解得兒=1.

當(dāng)nN2時(shí)，Sn-6=2bn-i—5,Sn=2bn-1,

兩式相減，得%=2bn—2Z?n_i,即bn=3bn_],

當(dāng)n=l時(shí),$6=瓦=2力4-1解得瓦=6H0

b=2n-1

所以｛%｝是以1為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列n乙.

由(2)可得anbn=(2n+l)X2

令〃=@1瓦+Q2b2+…+冊(cè)匕九，

uJn=3X4+5x2+4x22+???+(2n+l)x2n-4

則，

試卷第12頁(yè)，總18頁(yè)

73n

2Tn=3X6+5X2+7X2+-+(2n+l)X5

2n-1

-Tn=3+2X(7+2+-+6)-(2n+4)X2n

兩式相減，得

2(1-2.

3+3X-(2n+l)X6n=(l-2n)X7n-l

1-4

n

，aT=(2n-6)X2+l

得n,

故題中不等式可化為(5n-1)x2n>(6n-l)t,

,/n&N*,：.2n-2>0：.t<2n,

因?yàn)閿?shù)列｛271｝是遞增數(shù)列，所以tS2,

綜上，實(shí)數(shù)t的最大值為2.

【考點(diǎn)】

數(shù)列與不等式的綜合

數(shù)列遞推式

數(shù)列的求和

【解析】

(1)利用已知條件求出數(shù)列的思想與公差，然后求解數(shù)列口幾｝的通項(xiàng)公式.

(2)利用己知條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義，推出｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)

列，求出通項(xiàng)公式.

u—fn]x)nT

(3)化簡(jiǎn)"nPiT'4n''''乙.利用錯(cuò)位相減法，求解數(shù)列的和，然后求

解不等式，推出結(jié)果即可.

【解答】

4(ac+a4)

,S4=-L-=24

由題意可知，乙,a7+a4=12.

又的45=27,d>0i=5,a4—9,d=8,

故數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為%t=2n+1.

證明：對(duì)于數(shù)列｛b｝,當(dāng)n=7時(shí)，bi=Si=6瓦-1,解得兒=1.

當(dāng)nN2時(shí)，Sn_6=2b,l_1-5,Sn=2bn-1,

兩式相減,得匕=2%-2'-1，即既=3加-1，

當(dāng)n=l時(shí)，56=瓦=2人4-1解得必=6#0

b=2^1

所以出工是以1為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列n乙.

由⑵可得anbn-^2n+l)X2

令/=的瓦+Q2b2+…+冊(cè)源，

IhJn=3x4+5x2+4x22+…+(2n+l)x2n-4

火!J,

73n

,2Tn=3X6+5X2+7X2+-+(2n+l)X5

2n-1

兩個(gè)粕油,U-T=3+2X(7+2+-+6)-(2n+4)X2n

兩式相減，得n

2(1-2n-1

3+3X-(2n+l)X6n=(l-2n)X7n-l

1-4

n

得n=(2n-6)X2+l,

故題中不等式可化為(5n-1)x2n>(6n-l)t,

---n&N*,：.2n-2>O.,.t<2n,

因?yàn)閿?shù)列｛29是遞增數(shù)列，所以tS2,

綜上，實(shí)數(shù)t的最大值為2.

17.

【答案】

(1)解：因?yàn)樗沟?+1+1=2d,所以Cln+i=2——.

nan

當(dāng)71=1時(shí),，。2=|；當(dāng)九=2時(shí)，a3=

當(dāng)九=3時(shí)，a4=-；猜想an="L

①當(dāng)？1=1時(shí)，。1=手=2,猜想顯然成立.

②假設(shè)九=々時(shí)，猜想成立，即以=等，則當(dāng)n=/c+l時(shí)，ak+1=2—=2—

kk+2(k+l)+l

1--------1,

k+1k+1k+1

即當(dāng)71=k+1時(shí)猜想也成立.

由①②可知，猜想成立，即即=等.

(2)證明：由(1)知(^=等.

因?yàn)閘nan==ln(n+1)—Inn,

所以S.=In%+lna2+lna3+???+lna?

=In2—Ini+In3—In2+In4-In34---Fln(n+1)—Inn

=ln(n+1)>Inn.

【考點(diǎn)】

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列的求和

【解析】

此題暫無(wú)解析

【解答】

(1)解：因?yàn)閍a+i+1=2a,所以a^+i=2——.

nnnan

當(dāng)71=1時(shí)，。2=當(dāng)當(dāng)九=2時(shí)，a3—

當(dāng)九=3時(shí),a4=猜想an=等.

試卷第14頁(yè)，總18頁(yè)

①當(dāng)71=1時(shí)，%=手=2,猜想顯然成立.

②假設(shè)九=攵時(shí)，猜想成立，即以=等，則當(dāng)幾=k+l時(shí)，ak+1=2-^=2-

k_k+2_(k+l)+l

k+1fc+1k+1'

即當(dāng)九=k+1時(shí)猜想也成立.

由①②可知，猜想成立，即％,=等.

(2)證明：由(1)知％=詈.

因?yàn)镮na^=In彳-=ln(n+1)—Inn,

所以S九=In%+\na2+lna34------卜lnan

=In2—Ini+In3—In2+In4—In34------Fln(n+1)—Inn

=ln(n4-1)>Inn.

18.

【答案】

(1)解：由a1=1,a2=3,

所以。3=詈宵+(2+2)=5,?4(3+2)=7.

猜想：an=2n-1,

證明：當(dāng)九=2時(shí)，由的=1,g=3,故成立；

假設(shè)九=k(k>2)時(shí)成立,即以=2k-1,

所以%+1="%ill+(k+2)=2k+1=2(k+1)-1,

ak+ak-i

即當(dāng)九=k+1時(shí)成立，

綜上所述，an=2n-1.

(2)證明：由(1)知，

所以高+蒼不+.一+晨子

111111

12十22十九2〈‘十22—］十32—］十九2_1

111

14----------1----------F…d-------------------------

1x32x4(n-1)x(n+1)

圭)

<1+i+ixi=?證畢?

【考點(diǎn)】

數(shù)列與不等式的綜合

數(shù)列的求和

數(shù)列遞推式

數(shù)學(xué)歸納法

【解析】

【解答】

(1)解：由a[=1>a2=3,

所以。3=黑^+(2+2)=5,。4=篙肅+(3+2)=7.

猜想：an=2n—1,

證明：當(dāng)九=2時(shí)，由%=1,a2=3,故成立；

假設(shè)九=k(k>2)時(shí)成立,即以=2k—1,

所以以+i=縱％單+(k+2)=2k+1=2(k+1)—1,

ak+ak-l

即當(dāng)九=k+1時(shí)成立，

綜上所述，an=2n-1.

4_1

(2)證明：由⑴知,(fln+1)2-n2

“所八以(即-+--1)2+干-(Q-+—l)2十+???+-(W-+-1)2

111111

I222n222—132—1n2—1

111

=1+-------+--------+,??+------------------------

1x32x4(n-1)x(n+1)

11111111