2023年山東省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全真模擬數(shù)學試卷（含解析）

2023年山東省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全真模擬

數(shù)學

（考試時間120分鐘，滿分150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的。

1.設(shè)全集。=1<,集合A={x|-l<x<2},8={x|x>l},則圖中陰影部分表示的集合為（)

{x|-l<x<l}D.{x|-l<x<2}

2.若復數(shù)z滿足(2—i)z=i2m,則z=()

3.已知awR,則“a=-1”是“>-i+g-Di為純虛數(shù)”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖，點A,8在函數(shù)y=log2X+2的圖象上，點c在函數(shù)y=log2X的圖象上，若△ABC

為等邊三角形，且直線BC〃y軸，設(shè)點A的坐標為（九"），則機=（）

A.2B.3C.丘D.73

5.為了得到曲線y=cosx,只需把曲線y=sin（2x+/J上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,

縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移（）

A.三個單位長度B.丁個單位長度

C.?個單位長度D.二個單位長度

/、8

6.（寧夏銀川市第二中學2018屆高三下學期高考等值卷（二模））%___的展開式中

日

Ny2的系數(shù)為

A.70B.80

C.-1D.-80

7.若tana,tan夕是方程f-6x+7=0的兩個根，則tan(a+/?)=()

A.-1B.1C.-2D.2

；V2Lh

8.己知產(chǎn)是雙曲線C：r-2=l(“>0/>0)的右焦點，點A(0,&),連接所與漸近線丫=—x

a-b-a

交于點M,kAt.-kOM=-2,則C的離心率為（）

A.&B.38C.好D.叵

223

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中,

有多個選項符合要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分。

9.下列命題為真命題的是（）

A.ac2>be2,貝

9

B.函數(shù)y=hir+"—中最小值為6

Iinx

C.若a>0,b>0,則向之上

a+b

D.若a>6>0,則

Igb

10.在平面直角坐標系X。），中，A（u）、6（—1,0）、鳥（1,0）,動點仕滿足|P耳|+山閭=4,

則（）

A.|陽+|尸制<5

B.|M+|P閭>1

C.有且僅有3個點尸，使得VPAK的面積為3:

D.有且僅有4個點戶，使得△PAg的面積為g

II.已知等差數(shù)列｛”“｝的首項為1,公差為d(deN*),若81是該數(shù)列中的一項，則公差d可

能的值是()

A.2B.3C.4D.5

12.對于定義域為。的函數(shù)/(x),若存在區(qū)間的，川之。，同時滿足下列條件：①/Xx)在

［m,網(wǎng)上是單調(diào)的；②當定義域是［加,川時，f(x)的值域也是［如n］,則稱［加，川為該函

數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間''的有()

2/、

A.f(x)=2x3+lB./(x)=-C.f(x)=ex-2D./(x)=lnx4-l

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.不共線的三個平面向量兩兩的夾角相等，且I沁M=1,同=4.則K+5+W=.

14.關(guān)于函數(shù)/(x)=『+；x-7,有如下四個結(jié)論：

①函數(shù)〃x)不僅有極小值也有極大值；

②的在x=0處的切線與9y-x+l=0垂直；

③若函數(shù)g(x)=〃xi有三個零點，則&H；

④若xw［0j］時,④x)111ax吟,則f的最小值為3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

15.已知三棱錐A-AC。中，側(cè)棱ZIA，底面AC。，ADLCD,AA,=AD=CD=2,則三

棱錐A-AC。的外接球的表面積為.

16.己知尸是拋物線丁=?的焦點，過歹作一直線/交拋物線于A8兩點，若麗=3而，

則直線/與坐標軸圍成的三角形的面積為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。

17.在AABC中，"c分別為內(nèi)角A,8,C的對邊，且2osinA=(2Z?+c)sin8+(2c+0)sinC.

(I)求A的大?。?/p>

(II)求sinB+sinC的最大值.

18.某植物學家培養(yǎng)出一種觀賞性植物，會開出紅花或黃花，已知該植物第一代開紅花和黃

花的概率都是從第二代開始，若上一代開紅花，則這一代開紅花的概率是g,開黃花的

概率是彳2，若上一代開黃花，則這一代開紅-花的3概率4是開黃花的概2率是《，記第〃代開

紅花的概率是P,,第〃代開黃花的概率為必，

(1)求。2；

(2)試求數(shù)列{2}(〃￡%+)的通項公式；

(3)第〃(〃6乂,〃上2)代開哪種顏色的花的概率更大.

19.四棱錐中，四邊形48C。是矩形，平面ECOJ_平面A8CD,四棱錐

的體積為12,AABE的面積為6點，平面平面8CE,且8C=3.

(1)求C到平面ABE的距離；

⑵求二面角3-AE-C的余弦值.

20.中國乒乓球隊備戰(zhàn)里約奧運會熱身賽暨選拔賽于2016年7月14日在山東威海開賽.種

子選手M與用，層，三位非種子選手分別進行一場對抗賽，按以往多次比賽的統(tǒng)計，M

獲勝的概率分別3為彳2，；I，且各場比賽互不影響.

432

(1)若“至少獲勝兩場的概率大于5，則M入選征戰(zhàn)里約奧運會的最終大名單，否則不

予入選，問M是否會入選最終的大名單？

(2)求M獲勝場數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.

丫2v2

21.如圖，橢圓C：q+2=l(a>6>0)的上、下頂點分別為A,B,右焦點為F,點尸在

ah'

橢圓C上，且OPJL4F.

(1)若點P坐標為(1,6),求橢圓C的方程;

(2)延長AF交橢圓C與點。，若直線。尸的斜率是直線BQ的斜率的3倍，求橢圓C的離心

率；

(3)是否存在橢圓C,使直線質(zhì)平分線段OP?

22.己知函數(shù)/(%)=xlnx.

(1)求曲線y=〃x)在點(1J(1))處的切線方程;

(2)當f(x)<ax2-a,求a的取值范圍.

2023年山東省普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試全真模擬

數(shù)學.參考答案

1.c

解析：?.?全集U=R,集合A={x|-l<x<2},8={x|x>l},

所以①8={x|x41}

,圖中陰影部分表示的集合為：Ap|(^e)=k|-l<x<2}Q(A^j)=k|-l<x1).

故選：C.

2.B

j2O22i22+i21.

解析：由(2-1”=遭2得:z------=------------1

2-i2-i2-i(2T)(2+i)55,

故選：B.

3.C

解析：。2一1+(。-1?為純虛數(shù)可得。2—1=0,?！?工0.。=-1,所以“。=—1，,是“。2一1+(。一1?

為純虛數(shù)”的充要條件

考點：充分條件與必要條件

4.D

解析：根據(jù)題意，設(shè)3(%，2+log2x0),A(m,n),C(x0,log2x0),

???線段8C//y軸，?川?。是等邊三角形，

n2

ABC=2,2+log2w=z?,..m=2',:Am=T;

又X。-m=幣,/n=x0-73,

;.Xo=m+6;X2+log2x0-w=l,

「.log?%)=〃-1,x0=2"T；

:.m+6=2'i；2m+2/=T=4m,

m=，

故選：D.

5.A

解析：把〉=血（2*+.）上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變,

再把得到的曲線），=揄向右平移三個單位長度,

得到曲線―中+V-引,

gpy=cosx,

故選：A.

6.A

8

（\8-r/丫8_3

解析：因為［亍一句的展開式的通項公式為“C；年）［-定J=C；（T）'x丁尸

令8-；「=3蕓=2,得/■=%所以N爐的系數(shù)為C；（-l?=70.故選A.

7.A

解析：由于tana,由夕是方程f-6》+7=0的兩個根,

所以tana+tan4=6,tana?tan4=7,

tana+tan,61

所以tan(a+￡)=-------------------=—=-1

1-tancr-tanfi-6

故選：A

8.A

解析：由題可知，尸（c,0）,所以直線4尸的方程為y=-叵x+技.

C

:.&-0=2ac,同除/可得：,?.戊2-20-行=0

解得2=6或2=（舍）.

3

故選：A.

9.AC

解析：由ac2>be2可得c?〉。，所以。>Z?,A對，

I,,Q

當工=-時，函數(shù)y=lnx+*；—的函數(shù)值為-10,故B錯，

eInx

r\t

當a>0,6>0時，a+b>2^b>所以，vW而，C正確,

a+h

取a=2,6=《，則獸=T，D錯,

2Igb

故選：AC.

10.BC

解析：因為|P制+|帆|=4>忻閭=2,

所以，點戶的軌跡是以點”、尼為焦點，4為長軸長的橢圓，

(2a=4Y2v2

所以，cC，可得4=2,C=i,則b=6，故點P的軌跡方程為二+乙=1.

2c=243

對于A選項，四+附|=附+4-|叫W4+|AE|=5,

當點尸與點鳥重合時，等號成立，A錯；

對于B選項，|網(wǎng)+附|=|網(wǎng)+4-閘24-防=4-6>1,

當點戶與點6重合時，|陽+歸閭?cè)∽钚≈?-正，B對；

對于c選項，設(shè)點尸到直線期的距離為4,S^M=gb用,4=￥4=|，所以，4二手.

直線A6的斜率為砥6=5=(，直線A￡的方程為y=g(x+l),即x-2y+l=0,

設(shè)與直線AF,平行且距離為乎的直線的方程為尢-2丫+〃?=0,

|/w—113^5

則(2)2=可，可得根=-2或m=4,

所以，點P在直線x_2y_2=0或x_2y+4=0上.

fx-2y-2=0

聯(lián)立彳3/；4)，2=12'消去，可得步->2=0'解得戶一1或2,

fx-2y+4=0

聯(lián)立。，I，S，消去y可得Y+2X+1=0,解得X=—L

[3x+4/=12

綜上所述，有且僅有3個點P,使得VPAK的面積為：，C對；

對于D選項，設(shè)點尸到直線A6的距離為4,則S△叩可得4=1，

與直線AK：x=l平行且距離為1的直線的方程為*=2或x=0,所以點P在直線x=2或x=0

上，

直線x=0與橢圓《+.=1相交，直線x=2與橢圓片+*=1相切，

4343

綜上所述，有且僅有3個點尸，使得的面積為D錯.

故選：BC.

II.ACD

解析：

?.?81=1+(〃-1)",

on

n-\

Q〃和d都為正整數(shù)，

.?.〃=41時，d=2,故選項A正確；

當4=3時，"=三，不成立，故選項B錯誤；

〃=21時，(1=4,故選項C正確；

”=17時，d=5,故d選項D正確.

故選：ACD.

12.BC

解析：易知，(x)=2f+l單調(diào)遞增，故〃加)=2加+l=m,f(n)=2n3+l=n,

解得機=〃=-1,故不滿足;

取風用=［1,2］,〃力=；在［1,2］上單調(diào)遞減，故"X)1n^="2)=1,

/(x)a=/⑴=2,故滿足?

〃x)=e，-2,易知函數(shù)單調(diào)遞增，故/(，句=*一2=加，/(〃)=/一2=〃，

設(shè)g(x)=e'—x—2,貝i」g'(x)=e?-l,函數(shù)在(0,+少)上單調(diào)遞增，在(—,()］上單調(diào)遞減，

g(0)=-l<0,g(2)=e2-4>0,g(—2)=/>0,故函數(shù)有兩個零點，故滿足.

/(x)=lnx+l在(0,+功上單調(diào)遞增，故/■(咐=ln/w+l=m,/(n)=lnn+l=n,

設(shè)Nx)=lnx—x+l,則《(x)=q,函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在［1,田)上單調(diào)遞減.

故刈力1rax=乂1)=0,故函數(shù)只有一個零點，不滿足；

故選：BC.

13.3

解析：???不共線的三個平面向量兩兩的夾角相等，，任意兩個向量的夾角為當，

:.ab=|a|-|^|cos-^-=-^,a-c=|iz|?|c|cos=-2,91=忖?同cosg=-2,

.-.^a+h+c^=a2+h2+c2+2a-b+2a-c+2b-c=l+l+l6-\-4-4=9,

,+5+^=3.

故答案為：3.

14.①③④

解析：由已知r(x)=&叱2)叱(儲上2.?7更.=”匚，

*ex

則八x)=0nx±3

當xV-3或x>3時，/(x)<0,-3VxV3時，/(l)>0,所以/(工)在(-8,-3)和

(3,+oo)上遞減，在(-3,3)上遞增，

Q

f(X)極小值/(-3)=-4/,/(X)極大值為f(3)=F，①正確；

e

“X)在x=0處的切線斜率前=/'(0)=9,直線9y-x+l=o斜率右=，kik2t-1,兩直線

不垂直，②錯誤；

Q

當X--8時，/(x)->+00,當X—時，F(xiàn)(x)f0,若/(x)=上有三個實根，則上e(0，F(xiàn)),

③正確；

Q

若x￡[0,小時，盤X(x)=/，則侖3,?的最小值為3,故④正確.

故答案為：①③④

15.12TI

解析：如圖所示，三棱錐A-ACO可補形為一個邊長為2的正方體，則三棱錐A-AC。的

外接球的半徑為R=gV22+22+22=也.

2

故三棱錐A-ACD的外接球的表面積為S=4兀甯=41tx(6)=12兀.

故答案為：12萬.

解析：尸(1,0),設(shè)4(與％),5(孫力)，則而=0ff),麗=(",%)，

依題意有廣?:①由②得：y；=9y；=4x,=9x4X|=x,=9%，③

%二一3%②

由①③可得：占=：,毛=3,8(3,26)或8(3,-26).

當網(wǎng)3,2⑹時，/方程為y=6(x-l),與坐標軸交點為(L0),(0,Z5)

當8(3,-2括)時，/方程為y=-括(x-l),與坐標軸交點為(1,0),(0,退)

.?.直線/與坐標軸圍成的三角形的面積為走.

2

17.(I)120°；(11)1.

(I),,,2^zsinA=(2Z?+c)sinB+(2c+/?)sinC,

2a2=(2b+c)b+[2c+b)ca2=b2+c2+bc.

.b2+c2-a21.

/.cosA=--------------=——，.-.74=1l2o0n°o.

2bc2

(II)sin8+sinC=sinB+sin(60°-8)=*cosB+gsin8=sin(60°+B),

-.-0°<fi<60°,，當60。+8=90。即8=30。時，sinB+sinC取得最大值1.

18.

解(1)第二代開紅花包含兩個互斥事件，即第一代開紅花后第二代也開紅花，第一代開黃

花而第二代開紅花，

故由Pi=；,得：

1z.X37

P2=P「l+(l_pJ.1=行.

(2)由題意可知，第〃代開紅花的概率與第n-l代的開花的情況相關(guān)，故有

1Z,\343

P?=Pn-\+=P?-l+-

94(9、

則有P“一歷=-百必-西I，

…9191

由于Pi---=------=—，

'1921938

所以數(shù)列［4一2］是以!為首項，為公比的等比數(shù)列.

Iiy］3o15

rrhI91(4丫“rrrI91(4丫“

’1938I15；19381⑸

a1(4911

(3)由(2)p=---1---x----—+—=~,

〃1938115)19382

故有當〃eN+時，億,4；,因此第〃代開黃花的概率更大.

19.解：(1)過C作CH_L5E,交BE于4點，

:平面ABE工平面BCE,平面ABEc平面8CE=8E,CHu平面BCE,

CH_L平面ABE,C到平面ABE的距離為C”,

即C”_LA8,而BC_LA8,BCC\CH=C,BC、CHu平面BCE,

平面BCE,

又：矩形ABC。，CD_L平面BCE,ECu平面BCE,所以CDLEC,

又?.?平面ECD1平面ABCD,

EC_L平面ABCQ,

即丫…=也口反=12,可得MR=12,

由=6夜，可得=

而9+82=8爐，，AB=4,EC=3,8E=3&，

即由等面積法CH?BE=BC?EC=>C”==應，故C到平面ABE的距離為:應；

22

（2）由（1）可知，EC,CD,3c兩兩垂直以C為原點，CZ）為x軸，CB為），軸，建系如

圖，

則4（4,3,0）,8（0,3,0）,C（0,0,0）,￡>（4,0,0）,￡（0,0,3）

設(shè)平面ACE的法面量勺=（&y,zj,

n.?CA=04%+3y=0

由,2_可得

??!CE=0Z1=0

可取%=一3,=4,/.nx=(-3,4,0),

設(shè)平面4BE的法面量〃2=（x2,y2,z2）,

由收吁一3%+3z=0

可得2

?84=0x2=0

取%=1,22=1,.,?巧=(0,1,1),

%?%_4_2>/2

由圖可得二面角8-AE-C的平面角為銳角,

故所求二面角B-AE-C的余弦值為述.

5

20.解：（1）記M與四，B2,紇進行對抗賽獲勝的事件分別為A,B,C,M至少獲勝

兩場的事件為。，

321

則尸(A)=：,P(B)=~,P(C)=~,由于事件A,B,C相互獨立,

432

所以

P(D)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=—X—X—+—X—x(l—)+—x(l)x—+(1---)X—X—=—,

43243243243224

由于17奈7所以例會入選最終的大名單.

(2)依題意M獲勝場數(shù)X的可能取值為0、1、2、3,

貝lJP(X=0)=尸(.月C)=(l-g)x(l-g)x(l-；)=g

一一__3213213216

P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)4-P(ABC)=-X(1--)X(1--)4-(1--)X(1--)X-+(1--)X-X(1--)=—

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-x(l-l)+-x(l--)xl+(l--)x-xl=—,

43243243224

A

P(X=3)=P(ABC)=-x-x-=—,

43224

所以“獲勝場數(shù)X的分布列為：

X0123

16116

P

24242424

所以E(X)=0XL1X￡+2XU+3X9=23

2424242472

21.(1)由題意得4(0/),尸(—。,0),點P坐標為(1,6),OPLAF,

,b11-

故以卜==-7-=--五,:.c=yJ3ba2=b2+c2,

C^OP75

...〃=*又p(l,a...J+亳=1,

.?方=；，/=i3,...橢圓方程為百+百=1

4-

4

"=1—+^-=1

(2)由題意可得反方程為:cb與/b2聯(lián)立,

得，。(用八解得位熱，3與升

.7)+力

又B(O「b),