第10講 二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題專(zhuān)題探究(原卷版)

第10講二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題專(zhuān)題探究【知識(shí)總結(jié)】方法策略：抓菱形兩大性質(zhì)鄰邊相等→轉(zhuǎn)化為等腰△存在性問(wèn)題對(duì)角線(xiàn)垂直→轉(zhuǎn)化為直角△存在性問(wèn)題，或“k型相似”問(wèn)題【類(lèi)題訓(xùn)練】1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)L：y＝ax2+bx+3與x軸相交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（﹣1，0），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)L的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線(xiàn)L向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線(xiàn)L′，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷在拋物線(xiàn)L′的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)BC的上方．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP'C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使△BPC的面積最大，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC的面積最大值．3．如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣4的圖象與x軸交于B，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)A為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，連接CD．（1）求S△COD；（2）如圖1，點(diǎn)P在直線(xiàn)CD下方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CD交于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸交CD于點(diǎn)E，求PE+PQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線(xiàn)沿著射線(xiàn)DC方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線(xiàn)y1，點(diǎn)M在新拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以B、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BM為邊的菱形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，并選擇其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出求解過(guò)程．?4．如圖，已知經(jīng)過(guò)A（1，0），B（4，0）兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若線(xiàn)段BC上有一動(dòng)點(diǎn)M（不與B、C重合），過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N．①求當(dāng)線(xiàn)段MN的長(zhǎng)度最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；②是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形OCMN為菱形？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使四邊形ACPB的面積最大，求出此時(shí)四邊形ACPB的面積最大值和P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)N是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以點(diǎn)M、N、A、C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，1），B（4，﹣1）．直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線(xiàn)AB上方且在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PD⊥AB，垂足為D，E為點(diǎn)P關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線(xiàn)y關(guān)于直線(xiàn)x＝3作對(duì)稱(chēng)后得新拋物線(xiàn)y'，新拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)F，M是新拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，N