專題21.4 解題技巧：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用（類比歸納）(原卷版)（十大類型）

專題21.4

解題技巧：一元二次方程的解法與配方法的應(yīng)用（類比歸納）【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】 1【類型二當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)為偶數(shù)，可用配方法】 4【類型三若方程移項(xiàng)后一邊為0，另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積，可用因式分解】 7【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】 10【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】 14【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】 16【類型七完全平方式中的配方】 20【類型八判斷代數(shù)式的正負(fù)或求最值】 22【類型九比較兩個(gè)代數(shù)式的大小】 27【類型十利用配方法構(gòu)造非負(fù)數(shù)求值】 28【典型例題】【類型一形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接開平方法】1．（2023·天津西青·統(tǒng)考二模）方程的兩個(gè)根是（

）A．， B．， C．， D．，2．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）下列哪個(gè)是一元二次方程的解（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的根是_____．4．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若代數(shù)式的值為9，則的值為______．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．6．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．7．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）解關(guān)于的方程：．【類型二當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1，且一次項(xiàng)為偶數(shù)，可用配方法】1．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）用配方法解方程時(shí)，配方后得到的方程是（）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一元二次方程的解為（）A．， B．，C．， D．，3．（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)綏德中學(xué)?？计谀⒎匠袒傻男问绞莀__________．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）把方程化成的形式，則的值是__________5．（2023秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期末）解方程：．6．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）解方程：7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用配方法解方程：8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用配方法解關(guān)于的方程：．【類型三若方程移項(xiàng)后一邊為0，另一邊能分解成兩個(gè)一次因式的積，可用因式分解】1．（2023春·廣東揭陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一元二次方程的解是（

）A． B． C．， D．，2．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）方程的根是（

）A．3和 B． C．3 D．和3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的解為________．4．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）方程的解為_______．5．（2023春·安徽淮北·八年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）解方程：．6．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）解方程：．7．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）解方程：．【類型四所有一元二次方程均可用公式法求解】1．（2023秋·四川廣安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．2．（2023秋·上海靜安·八年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谀┙夥匠蹋?3．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）公式法解方程：．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解下列一元二次方程：(1)．(2)．(3)．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）用公式法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．6．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）小明在解方程的過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤，其解答如下：解：，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步，．．．．．．．．．．．．．第二步，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步(1)問(wèn)：小明的解答是從第________步開始出錯(cuò)的；(2)請(qǐng)寫出本題正確的解答．【類型五一元二次方程的特殊解法——十字相乘法】1．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┙夥匠蹋海?．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．3．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）解一元二次方程：．4．（2023春·北京海淀·九年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）解方程：5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）解方程：．【類型六一元二次方程的特殊解法——換元法】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)．2．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問(wèn)題：已知，求的值；解：設(shè)，則原方程可變形為．即∴得，∴或已知，求的值．3．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）閱讀材料，解答問(wèn)題．解方程：．解：把視為一個(gè)整體，設(shè)，則原方程可化為．解得，．或．，．以上方法就叫換元法，達(dá)到簡(jiǎn)化或降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．請(qǐng)仿照材料解下列方程：(1)；(2)．4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）（換元法）解方程：解：設(shè)則原方程可化為解得：當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，解得∴原方程的根是，根據(jù)以上材料，請(qǐng)解方程：(1)．(2)【類型七完全平方式中的配方】1．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果是一個(gè)完全平方式，那么_________．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如果是一個(gè)完全平方式，那么________3．（2023春·福建漳州·七年級(jí)福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤羰峭耆椒焦?，則的值為________．4．（2023春·江蘇徐州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．即將多項(xiàng)式（b、c為常數(shù)）寫成（h、k為常數(shù)）的形式．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題及求代數(shù)式最大、最小值等問(wèn)題．【知識(shí)理解】(1)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)k的值為______；A．4

B．8

C．

D．(2)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)m的值為______；(3)配方：______；______；【知識(shí)運(yùn)用】(4)通過(guò)配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式有最小值，則最小值為______；(5)已知，則______，______．【類型八判斷代數(shù)式的正負(fù)或求最值】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）已知，則的最小值是（

）A．8 B． C． D．92．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時(shí)，為正數(shù) D．當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)3．（2023春·廣東清遠(yuǎn)·八年級(jí)校考期中）多項(xiàng)式的最小值是_____．4．（2023春·江蘇·七年級(jí)期中）閱讀材料：求的最小值．解：，∵即的最小值為0，∴的最小值為4．解決問(wèn)題：(1)若a為任意實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．(2)求的最大值．(3)拓展：①不論x，y為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值．（填序號(hào)）A．總不小于1B．總不大于1C．總不小于6D．可為任何實(shí)數(shù)②已知，求．5．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求M的最小值：解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式；(2)用配方法因式分解；(3)若，求M的最小值．【類型九比較兩個(gè)代數(shù)式的大小】1．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，(m為任意實(shí)數(shù))，則M、N的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定2．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）已知，為任意實(shí)數(shù)，則的值(

)A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．無(wú)法確定【類型十利用配方法構(gòu)造非負(fù)數(shù)求值】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）“”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問(wèn)題：(1)求代數(shù)式最值；(2)已知，求的值；(3)比較代數(shù)式與的大?。?．（2022春·廣東揭陽(yáng)