矩陣分解在考研線代中的應(yīng)用

矩陣分解在考研線代中的應(yīng)用一、矩陣分解是什么？在此僅談考研數(shù)學(xué)中常用的矩陣分解的構(gòu)思C=AB，將一個(gè)矩陣C拆分為兩個(gè)矩陣的乘積AB，有時(shí)候方便研究問(wèn)題，在求行列式，討論秩，相似等均有應(yīng)用和考察。二、什么時(shí)候想矩陣分解？矩陣分解：若一個(gè)矩陣B的每一列向量都可以由另一個(gè)矩陣A的列向量組線性表示

（特征），則可對(duì)B進(jìn)行矩陣分解為：B=AC，其中C是對(duì)應(yīng)的表示系數(shù)矩陣（構(gòu)思）。例：如上圖B的每一個(gè)列向量均可由A的列向量線性表示。特征：回答了什么時(shí)候用的問(wèn)題，構(gòu)思：回答了怎么用的問(wèn)題。[相關(guān)知識(shí)鏈接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一組數(shù)k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,則稱β可以被α1，α2，···αn向量組表示。α+2β=α+2β+0γ，向量α+2β可被向量組：α、β、γ表示請(qǐng)仔細(xì)觀察下面例題，為什么想到想到用矩陣分解？（一）、矩陣分解在行列式中的應(yīng)用例.設(shè)3階矩陣A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩陣，相似的性質(zhì)及結(jié)論來(lái)求解。一眼可見(jiàn)B的每一列向量，都可以由A的列向量組表示，立馬想到矩陣分解B=AC關(guān)于C=AB的理解：表示與秩的構(gòu)思理解角度1：C=AB表示角度結(jié)論矩陣C=AB的列向量可由A的列向量線性表出；矩陣C=AB的行向量可由B的行向量線性表出。[對(duì)比記憶](méi)：C=AB····即AB=C，對(duì)比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。亦可結(jié)合具體的例題來(lái)理解抽象的理論文字語(yǔ)言，如上題B的每一列向量都可由A的列向量線性表示。一個(gè)具體的解決解決幾個(gè)問(wèn)題。同理：對(duì)B,C按行分塊，可見(jiàn)：C的行向量可以由B的行向量組表示。例2.由于AB=C，可見(jiàn)C的列向量可由A的列向量表示；又因?yàn)锽可逆，故A=CB-,再利用一次結(jié)論，可見(jiàn)A的列向量可被C的列向量表示；進(jìn)而C和A的列向量可相互表示，列向量組等價(jià)。故選B定理：初等變換不改變矩陣的秩結(jié)論：可逆矩陣A可以寫成一系列初等矩陣的乘積[α1α2α3，α1+2α2-α3]…→初等列變換→[α1α2α3，o]故：R[α1α2α3，α1+2α2-α3]=R[α1α2α3，o]=R[α1α2α3][A,AB]→[A,O]初等列變換；[Aα1，Aα2]=A[α1，α2]拓展點(diǎn)：矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)的關(guān)系，兩者沒(méi)有必然關(guān)系（考生易混點(diǎn)）1.向量組等價(jià)：向量組能互相表示2.矩陣等價(jià)定義：如果矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B，則矩陣A與B等價(jià)。（文字語(yǔ)言，相應(yīng)的數(shù)學(xué)矩陣語(yǔ)言如何表達(dá)呢？）判別方法：定理1：A,B是同型矩陣，且秩相等R(A)=R(B)，則矩陣A與B等價(jià)定理2：存在可逆矩陣P,Q使得，PAQ=B，則矩陣A,B等價(jià)→R(A)=R(B)3.初等變換的幾點(diǎn)補(bǔ)充矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變成矩陣B，有以下結(jié)論：A,B的行向量組等價(jià)。A,B的列向量組具有相同的線性關(guān)系→求極大線性無(wú)關(guān)組會(huì)用到。齊次方程組AX=0與BX=0是同解方程組分析：表達(dá)為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，再利用有關(guān)理論研究。矩陣語(yǔ)言：存在初等矩陣P1,P2···Pn,使得：P1P2···PnA=B，由前文的解讀分析，可知B的行向量可由A的行向量表示。又由于初等變換中初等矩陣是可逆的。即A=Pn-····P2-P1-B，此時(shí)A的行向量又可由B的行向量表示，即A,B行向量能互相表示，進(jìn)而A,B的行向量組等價(jià)。解方程組是利用初等行變換：互換兩行，某行K倍，把某一行加到另外一行（消元），不改變方程組的解。即初等行變換是同解變換。A→初等行變換→B，AX=0與BX=0是同解，但AX=C,與BX=C不一定是同解，反例相信你能例舉出來(lái)。同理可得到初等變換有關(guān)結(jié)論。4.矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)無(wú)必然關(guān)系1.矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換得到B,C，因此矩陣A,B,C等價(jià)；亦可從A、B、C是同型3階矩陣，且秩相等，故矩陣A、B、C等價(jià)。2.矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換得到矩陣B，此時(shí)A的行向量組與B的行向量組能互相表示，即行向量組等價(jià)，但B的第1列不可由A的列表示，可見(jiàn)他們的列向量組不等價(jià)，因此初等行變換不能推出列向量組等價(jià)，但A、B的列向量組線性關(guān)系相同，A的第一列和第二列線性無(wú)關(guān)，B同樣。3.矩陣B經(jīng)過(guò)初等列變換得到矩陣C，此時(shí)B的列向量組與C的列向量組能互相表示，即列向量等價(jià)，但C的第一（三）行不可由B的行表示，可見(jiàn)行向量不等價(jià)。但行向量組間線性關(guān)系相同。4.可見(jiàn)矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)并沒(méi)有直接關(guān)系。相關(guān)鏈接回顧：利用秩判別向量組相關(guān)、無(wú)關(guān)“三秩相等理論”：R(矩陣A)=R(A行向量組）=R(A列向量組）

向量組相關(guān)無(wú)關(guān)秩的判別理論：若向量組的秩R（A）與向量組所含向量個(gè)數(shù)的關(guān)系，若相等則無(wú)關(guān)，若不等則相關(guān)。

溫馨提醒：判別前要先看好是行向量還是列向量Am*n=[a1a2····an]，列向量個(gè)數(shù)為n個(gè)，判別列向量組是否線性無(wú)關(guān)，即：判別R(A)與列向量組所含向量個(gè)數(shù)n的關(guān)系：①若R(A)=n,則A的列向量組向量無(wú)關(guān)，②若R(A)＜n,則A的列向量組向量相關(guān)同理：判別R(A)與行向量組所含向量個(gè)數(shù)m的關(guān)系，若R(A)=m,則A行向量組無(wú)關(guān)，否則相關(guān)。注意體會(huì)里面為什么是判別R(A)與n,R(B)與m？(二）、矩陣分解C=AB在討論秩中的應(yīng)用，引申討論相關(guān)無(wú)關(guān)1.若A是可逆矩陣，則R（AB）=R(ABE)=R(B)；證：?jiǎn)挝痪仃囌僦磥?lái)，對(duì)比等價(jià)的定義；存在可逆A,E使得，ABE=C，則矩陣B與C等價(jià)，進(jìn)而：R(AB)=R(C)=R(B)2.若Am×n矩陣的秩為R(A)=n，即A列向量線性無(wú)關(guān)，則R(AB)=R(B)證明當(dāng)A列滿秩，則R(AB)=R(B)秩的證明：大小夾或轉(zhuǎn)化為方程組問(wèn)題（同解問(wèn)題）只要證明：ABX=0與BX=0同解→解向量含線性無(wú)關(guān)向量個(gè)數(shù)相等→秩相等證：設(shè)Am×n,Bn×s顯然BX=0的解都是ABX=0的解，又因?yàn)锳列滿秩，故齊次方程組AY=0僅有零解，即BX=0，即ABX=0的解也全是BX=0的解，進(jìn)而同解。S-R(AB)=S-R(B)，證畢。行的時(shí)候，轉(zhuǎn)置即列3.R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(A)≤min{mn}“矩陣的秩越乘越小”思考2：ABX=0與BX=0的關(guān)系，顯然BX=0的解都是ABX=0的解，（部分解不多于全部解），n-R(AB)≥n-R(B)又因?yàn)镽(A)=R(AT)，轉(zhuǎn)置可得另外一邊。#題外話#：≤min{m,n}小于等于最小的，意味著它小于等于每一個(gè)，≤m且≤n抽象結(jié)合具體理解：3≤min{5,4}，無(wú)論4與5誰(shuí)大，3≤4，3≤5是必然都成立的。[見(jiàn)C=AB秩的構(gòu)思]：拿到矩陣先看行列數(shù)，確定是幾階。先看A,B是否有可逆矩陣（列滿秩），若有可逆矩陣（列滿秩），則可以得到：C與A或B的確切秩的關(guān)系。若A,B條件沒(méi)有可逆矩陣，則想到“越乘越小理論”：R(AB)≤min{R(A),R(B)}再利用條件和矩陣本身的秩與行列數(shù)的性質(zhì)，R(Am×n)≤min{m,n}，一大一小夾，往往可確定秩的信息。實(shí)在不行的時(shí)候轉(zhuǎn)為等價(jià)方程問(wèn)題，示AX=C；由此：若C的每一列向量都可以由A的列向量表示，進(jìn)行矩陣分解C=AB，此時(shí)若A列線性無(wú)關(guān)或可逆，則R(C)=R(AB)=R(B),而其中B是具體的表示系數(shù)矩陣，容易判別出秩，由此就可討論矩陣C的秩，相關(guān)無(wú)關(guān)，可逆與否，行列式。有時(shí)候要先做一步拼矩陣的工作。有關(guān)C=AB秩的結(jié)論，理解記憶即可分析：B的每一列都可由A的列表示，因此可矩陣分解為B=AC，要判別B線性無(wú)關(guān)，即判別R(B)=3與否？，根據(jù)前面定理可知曉:當(dāng)A列線性無(wú)關(guān)的時(shí)候，R(B)=R(AC)=R(C)當(dāng)然注意體會(huì)證明過(guò)程中的越乘越小等結(jié)論的運(yùn)用。例3.分析本題B選項(xiàng)，要判別相關(guān)無(wú)關(guān)，即判別R(····）=4（向量個(gè)數(shù)）？因此先表達(dá)，拼矩陣，再發(fā)現(xiàn)矩陣分解的特征，進(jìn)而B=AC，利用前面的結(jié)論：因?yàn)锳列線性無(wú)關(guān)，故R(B)=R(AC)=R(C)=4，也可用R(B)=R(EAC)=R(A)=4證明抽象矩陣的秩：一大一小夾法，要會(huì)這個(gè)定秩。思考題：1.特征值與行列式，矩陣跡，可逆，齊次方程組，二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范性，正負(fù)慣性指數(shù)，秩的關(guān)系是什么？2.秩可以確定那些東西，與各章如何聯(lián)系的？具體的怎么求，抽象的怎么求？3.常見(jiàn)的等價(jià)表述有哪些？-向量與方程如何聯(lián)系的？-同一個(gè)問(wèn)題的不同表述有哪些常見(jiàn)的？-常見(jiàn)的文字語(yǔ)言翻譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：二次型A經(jīng)過(guò)可逆(正交）或初等變換化為二次型B4.思考題5:線性代數(shù)中常見(jiàn)的參數(shù)預(yù)處理有哪些、怎樣預(yù)處理的？（三）、矩陣分解思想在求特征值特征向量中的應(yīng)用：An×nα=λα，α≠0的理解思維：只要出現(xiàn)該等式An×nα=λα，α≠0，則立馬讀出：A的一個(gè)特征值是λ，對(duì)應(yīng)的特征向量是α。常見(jiàn)條件設(shè)置：方陣A的每一行元素之和為K。（四）、矩陣分解在相似中的應(yīng)用，P-AP=B,AP=PB讀一段評(píng)注分析,記一類構(gòu)思：以后見(jiàn)到此結(jié)構(gòu)要會(huì)這種處理。問(wèn)題：已知抽象可逆P=[α1

α2α3],且f(A)=0關(guān)于A的多項(xiàng)式，求P-1AP=B,AP=PB中的B？分析：由于P抽象，坐標(biāo)未給非具體，因此P逆不可求，故在求B的過(guò)程中，要繞開(kāi)它不求P逆。那又怎樣求B呢？答案當(dāng)然是矩陣分解，實(shí)際這個(gè)過(guò)程的思路是論證如何找到可逆P使得P-AP=對(duì)角矩陣過(guò)程中用到的。P-AP=B→繞開(kāi)P逆→變形：AP=PB程序：表達(dá)→代入已知條件→矩陣分解為：P？，進(jìn)而？=BStep1:先表達(dá)AP=CStep2:帶入已知條件f(A)=0Step3:對(duì)C進(jìn)行矩陣分解為：C=P?，則？=B，C的列向量都可由P的列向量表示，B此時(shí)往往就是具體的表示系數(shù)矩陣。進(jìn)而再利用A與B相似，B具體，通過(guò)討論具體B，研究抽象A的行列式，特征值，特征向量，是否可相似對(duì)角化問(wèn)題。例4.2001年數(shù)一考題第二問(wèn)：本題A抽象未給元素，要求抽象矩陣的行列式，利用行列式，矩陣，相似的性質(zhì)；第一問(wèn)為第二問(wèn)服務(wù)，提供了A與B相似，若B是具體矩陣，則問(wèn)題就非常常規(guī)基礎(chǔ)了，第一問(wèn)：已知抽象可逆P，其逆無(wú)法求，A不知，條件有f(A)=0,要求P-1AP=B的B，要繞開(kāi)P逆不求。解答：先表達(dá)AP=···→帶入已知條件f(A)=0→分解出:P?,此時(shí)?=B，往往即具體的矩陣。例題5.2005年數(shù)四考題例題6.2008年數(shù)2、3例題7，