華杯賽學(xué)習(xí)匯報(bào)

克拉瑪依!b_第九小學(xué)朱紅艷主要內(nèi)容一、“華杯賽”概況與命題原則二、數(shù)學(xué)素質(zhì)訓(xùn)練三、整除和帶余除法四、笨算與巧算五、趣味的計(jì)數(shù)問(wèn)題——學(xué)點(diǎn)組合六、行程問(wèn)題、“華秣賽”板況與命妖康射“華杯賽”是以教育和培養(yǎng)廣大青少年從小學(xué)習(xí)和弘揚(yáng)華羅庚教授的愛(ài)國(guó)主義思想，激發(fā)廣大中小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，普及數(shù)學(xué)科學(xué)為宗旨的賽事。“華杯賽”一貫堅(jiān)持“普及性、趣味性、新穎性”相結(jié)合的命題原則?！叭A杯賽”主試委員會(huì)匯集了一大批經(jīng)驗(yàn)豐富的數(shù)學(xué)專(zhuān)家和教育家?！叭A杯賽”自1986年至今，每?jī)赡昱e辦一屆，已成功舉辦了九屆。賽程分為初賽、決賽、總決賽三個(gè)階段?！叭A杯賽”從第十屆開(kāi)始，由過(guò)去的每?jī)赡昱e辦一屆改為每一年舉辦一屆。Ipl工，&嗲音質(zhì)鉀觫從人類(lèi)早期的戰(zhàn)爭(zhēng)開(kāi)始，數(shù)學(xué)就無(wú)所不在，不論發(fā)射弩箭，還是挖掘地道攻城，數(shù)學(xué)定律都像冥冥之中的命運(yùn)之神一樣在悄然發(fā)揮重要作用。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅意味著掌握了一種用現(xiàn)代科學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法，更是獲取了一種理性思維模式、數(shù)學(xué)技能和數(shù)字品質(zhì)。而所有這一切，則構(gòu)成了人的一種特殊素質(zhì)，即通常所說(shuō)的數(shù)學(xué)素質(zhì)。數(shù)學(xué)對(duì)人智力的訓(xùn)練是多方面的，能提髙學(xué)生的素質(zhì)，特別是數(shù)學(xué)的素質(zhì)。例如：將實(shí)際問(wèn)題抽象和概括為數(shù)學(xué)表述或數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力；分析和綜合的能力；嚴(yán)謹(jǐn)思考問(wèn)題的能力；邏輯推理的能力；化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題的能力；全面思考等等。所謂一個(gè)好的題目應(yīng)當(dāng)有助于學(xué)生培養(yǎng)上述介紹的能力；有利于學(xué)生增長(zhǎng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力；有益于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的訓(xùn)練和提高。Ipl工，&嗲音質(zhì)剌誄“好”題和“差”按照少年兒童接受事物的能力以及數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，在小學(xué)的各個(gè)階段，有規(guī)范的教學(xué)大綱，傳授小學(xué)生和低年級(jí)中學(xué)生一定的知識(shí)。所謂一個(gè)好的題目應(yīng)當(dāng)有助于學(xué)生準(zhǔn)確理解所學(xué)習(xí)的知識(shí)；有利于學(xué)生鞏固掌握所學(xué)習(xí)的知識(shí)；有益于學(xué)生擴(kuò)展他的知識(shí)體系和結(jié)構(gòu)，同時(shí)，不超過(guò)學(xué)生具有的非數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)范圍。否則，與上述三點(diǎn)準(zhǔn)則相反，就不是好的題目了。一名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)好，人們通常說(shuō)這名學(xué)生聰明。實(shí)際上，有時(shí)候常常是好好學(xué)數(shù)學(xué)，可以幫助一個(gè)學(xué)生變得聰明一些，或者變得更聰明了。所謂i個(gè)好題目應(yīng)當(dāng)是有趣的，形式優(yōu)美，他能誘導(dǎo)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)，有助于引導(dǎo)部分學(xué)生從興趣走入數(shù)學(xué)的殿堂。對(duì)奧數(shù)的培訓(xùn)，對(duì)學(xué)生的課外數(shù)學(xué)興趣教育，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)能力或數(shù)學(xué)素質(zhì)的鍛煉和培養(yǎng)。一道好題的分析1、有6個(gè)人都生于4月11日，都屬猴，某年他們歲數(shù)的連乘積為17597125,這年他們歲數(shù)之和是多少？曾有人求教一理工名校碩士，他的智商高達(dá)140,僅0.5%人群能達(dá)到，卻也費(fèi)了好些時(shí)間才解出。其實(shí)這道題對(duì)于我們的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，并不是一道難題，只需要運(yùn)用分解質(zhì)因數(shù)的知識(shí)，再借助一定的生活經(jīng)驗(yàn)，就能解答出來(lái)。有“合數(shù)分解”知識(shí)的學(xué)生，自然會(huì)想到應(yīng)當(dāng)分解自然數(shù)17597125，即做質(zhì)因數(shù)分解：17597125=1X5X5X5X13X13X17有了上面分解的式子，余下的事情就是“湊出”6個(gè)自然數(shù)，它們彼此之間的差是12的倍數(shù)，它們是1、1、13、13、25、85,所以年齡和是1+1+13+13+25+85=128歸納一下，解題的過(guò)程是由第二個(gè)條件由第一個(gè)條件UU做17597125的質(zhì)因數(shù)分解綜合出6個(gè)自然數(shù)-＞做6個(gè)自然數(shù)的加法而分析的過(guò)程是從右向左。那末在這兩個(gè)過(guò)程中，困難在何處呢？從分析的過(guò)程而言，第一步是分析出需要求6個(gè)人的年齡，這一步，不應(yīng)當(dāng)有困難：第二步是分析出需要分解自然數(shù)17597125,這一步，對(duì)未掌握合數(shù)分解的學(xué)生有一定的困難。但是，整數(shù)分解是整數(shù)理論最基本的內(nèi)容，在小學(xué)教材中已涉及，在任何奧數(shù)班中都會(huì)做詳細(xì)的介紹。所以，從分析解題過(guò)程的角度來(lái)評(píng)價(jià)，這道題不能歸為“毒”題。那末，解題的過(guò)程難嗎？這道題解題過(guò)程共有3步，獻(xiàn)嗲音質(zhì)刺觫第一步，分解自然數(shù)17597125,數(shù)字17597125對(duì)于10歲左右程度一般的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，略大了一些。第二步，由分解式子，湊出彼此之間的差是12的倍數(shù)的6個(gè)自然數(shù)，如果正確地作了17597125的分解，湊出這6個(gè)自然數(shù)僅僅是簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算，并不困難。第三步，僅僅是做個(gè)簡(jiǎn)單的加法，非常簡(jiǎn)單。從解題的三個(gè)步驟分析，智商高達(dá)140的一名理工名校碩士一時(shí)做不出來(lái)，可能是他的智商沒(méi)有達(dá)到140,而是低很多。2、有6個(gè)人都生于4月11B,都屬猴，某年他們歲數(shù)的連乘積為4225,這年他們歲數(shù)之和是多少？板嗲音質(zhì)剌鉍3、用455個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體粘成一個(gè)大的長(zhǎng)方體，若拆下沿棱的小正方體，則尚余下371個(gè)小正方體，問(wèn)所堆成的大長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)各是多少？拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積是多少？（第九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽小學(xué)組決賽第12題）板嗲雀質(zhì)剎植$道題，學(xué)生只要具備求立體圖形表面積的知識(shí)，有一定的空間想象能力，就能夠解答。由于455=4X7X13因此長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別是：x=13,y=5,z=7o方法一:如右圖8,拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積由兩部分組成：第一部分是突出在外面的6個(gè)平面，總面積是：2X(11X5+11X3+5X3)=206第二部分是24個(gè)寬都是1的的長(zhǎng)條，總面積是：8X(11+3+5)=152長(zhǎng)方體表面積：206+152=358|1工，獻(xiàn)嗲音質(zhì)刺觫方法二:拆下沿棱的小正方體后的多面體的表面積和原長(zhǎng)方體表面積去掉8個(gè)頂點(diǎn)處的小正方體的三個(gè)側(cè)面的面積相同（想象一下為什么）。所以，這道題對(duì)于學(xué)生鞏固學(xué)生關(guān)于長(zhǎng)方體的知識(shí)、提髙空間思維能力和分析與綜合的能力，不失為一道好題。從學(xué)好數(shù)學(xué)的目的而言，比較重要的一點(diǎn)是“一道好題應(yīng)當(dāng)有助于學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)的槪念和思想。4、一個(gè)細(xì)長(zhǎng)圓柱，等分為5節(jié)，用紅、黃和藍(lán)色涂每節(jié)。問(wèn)：可以得到多少種顏色不同的圓柱？（第五屆“華羅庚金杯“少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽第一試第3題）Il工，板嗲音凟刮鍊在旋轉(zhuǎn)和平移對(duì)稱(chēng)意義下的分類(lèi)。分的5節(jié)，涂有3種顏色，每種涂法可以看做一個(gè)三進(jìn)制的五位數(shù)，最大的五位數(shù)是22222,化成十進(jìn)制的數(shù)是2x35

+2x34

+2x33

+2x32+2x3

+2=242加上00000,即共有243個(gè)數(shù)。但是，由于棒的規(guī)格相同、均勻，又都是在等分的5節(jié)上涂色。因此，將一個(gè)涂過(guò)色的棒倒轉(zhuǎn)180度，它可能與另一個(gè)棒的涂色完全相同。上述的對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)反映在三進(jìn)制的五位數(shù)上，即是，一個(gè)三進(jìn)制的五位數(shù)和它的反序數(shù)代表同樣的涂法。在所有的三進(jìn)制的五位數(shù)中，共有個(gè)數(shù)和它的反序數(shù)相同，所以，可以得到（243+27卜2=135種涂法。三，整除和帑舍涂《1、一個(gè)正整數(shù)和它的反序數(shù)（的反序數(shù)是）的乘積等于92565,求出此正整數(shù)。（第四屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽總決賽第二試第1題）解：對(duì)正整數(shù)92565作質(zhì)因數(shù)分解，=，這個(gè)正整數(shù)是165或561。解題時(shí)要隨時(shí)做分析。例如做這道題，可以有兩個(gè)分析:（1）既然正整數(shù)和它的反序數(shù)的乘積等于92565,既然積的個(gè)位是5,這個(gè)正整數(shù)或它的反序數(shù)的個(gè)位一定是5,若這個(gè)正整數(shù)的個(gè)位是5,反序數(shù)的首位必定是5;（2）一個(gè)正整數(shù)有約數(shù)3,則它的反序數(shù)也一定有約數(shù)3,-個(gè)正整數(shù)能被11整除，則它的反序數(shù)也一定能被11整除。這兩種分析都能幫助你很快給出答案。更重要的是，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)目的是培養(yǎng)和提高分析能力，這樣的練習(xí)做多了，而且在做題時(shí)確實(shí)隨時(shí)思考和分析，就能提高分析能力，不僅有助于學(xué)好數(shù)學(xué),有助于其它科目的數(shù)學(xué)，也有助于增長(zhǎng)能力。三、整除和帑舍涂《一個(gè)整數(shù)各位數(shù)字的和是3（或9）的倍數(shù)，則該數(shù)能被3（或9）整除；一個(gè)整數(shù)的后兩位能被4整除，則該數(shù)能被4整除:一個(gè)整數(shù)，它的個(gè)位是0或5,則該數(shù)能被5整除;一個(gè)整數(shù)能被2和3整除，則該數(shù)能被6整除；一個(gè)整數(shù)的后三位能被8整除，則該數(shù)能被8整除;~個(gè)整數(shù)的偶位數(shù)字和減去奇數(shù)位數(shù)字和的差能被11整除，則該數(shù)能被11整除；一?個(gè)整數(shù)，如果它的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差能被7（或13）整除，則該數(shù)能被7（或13〉整除么、整泠和帑會(huì)除《2、能被11整除，問(wèn)解：為11整除的數(shù)字的特征：整數(shù)的偶數(shù)位數(shù)字和與奇數(shù)位的數(shù)字和的差能被11整除。偶數(shù)位的數(shù)字和是（l+5+a），奇數(shù)位的數(shù)字和是（1+5+5）。應(yīng)當(dāng)求a使得11|a-9所以，a=9五、整泠和嗶會(huì)除《最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)和互為質(zhì)數(shù)本節(jié)介紹最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽有很多這類(lèi)內(nèi)容的試題，學(xué)好它，做好練習(xí)，會(huì)有利于小學(xué)生學(xué)好課堂上相關(guān)的知識(shí)，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中取得好的成績(jī).五，整除和帑會(huì)昤》三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，中間一個(gè)是完全平方數(shù)，將這樣的三個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積稱(chēng)為“美妙數(shù)”。問(wèn)所有的小于2008的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？（第九屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽小學(xué)組決賽第11題）答案：60；提示：①是最小的一組“美妙數(shù)”，，因此美妙數(shù)的最大公約數(shù)不會(huì)大于60。②任何三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，必有—個(gè)能為3整除。所以，任何“美妙數(shù)”必有因子3。若中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個(gè)數(shù)是偶數(shù)，所以任何“美妙數(shù)”必有因子4。另外，可以驗(yàn)證完全平方數(shù)的個(gè)位只能是1、4、5、6、9和0,若其個(gè)位是5和0,則中間的數(shù)必能被5整除，若其個(gè)位是1和6,則第一個(gè)數(shù)必能被5整除，若其個(gè)位是4和9,則第三個(gè)數(shù)必能被5整除。所以，任何“美妙數(shù)”必有因子5。五，＜噠的針極肉教——脅支級(jí)合組合數(shù)學(xué)是研究分析離散結(jié)構(gòu)和關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。組合數(shù)學(xué)在物理學(xué)、社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)和軍事等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。組合數(shù)學(xué)還是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)。組合數(shù)學(xué)關(guān)心以一定方式“配置”~組事物，經(jīng)?？紤]以下幾個(gè)方面：?存在性?計(jì)數(shù)和分類(lèi)?設(shè)計(jì)和優(yōu)化?己知配置的性質(zhì)其中計(jì)數(shù)問(wèn)題歸結(jié)為組合分析的內(nèi)容，研究關(guān)系歸結(jié)于圖論，研究設(shè)計(jì)與優(yōu)化屬于組合設(shè)計(jì)和組合優(yōu)化方面。五、*哧的針獻(xiàn)肉＜——嗲點(diǎn)組合組合數(shù)學(xué)的問(wèn)題常?？梢杂脭?shù)學(xué)游戲的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，因而具有一定的趣味性。事實(shí)上，組合數(shù)學(xué)的起源就是游戲和競(jìng)賽問(wèn)題。組合數(shù)學(xué)問(wèn)題往往并不要求系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)為前提，因此小學(xué)生可以討論。解決組合數(shù)學(xué)問(wèn)題常常需要一點(diǎn)“靈感”，巧妙的思路是解題的關(guān)鍵，所以適合于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、訓(xùn)練思維能力以及數(shù)學(xué)技巧。由于組合數(shù)學(xué)問(wèn)題的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)競(jìng)賽中少不了組合數(shù)學(xué)的問(wèn)題?！叭A杯賽”的試題也是如此。在這里我們準(zhǔn)備結(jié)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目簡(jiǎn)單地介紹一些組合數(shù)學(xué)的有關(guān)內(nèi)容。A.毳哧吣竹板肉＜——考i租合(~)、組合數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介1、加法涼jrp'完成一件事，有n類(lèi)辦法，在第1類(lèi)辦法中有％種不同的方法，在第2類(lèi)辦法中有&種不同的方法......，在第n類(lèi)辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=ml

+m2

+......+mn種不同的方法。__例：數(shù)一數(shù)下面的圖形中線(xiàn)段的個(gè)數(shù)。ABCD解法：以A為左端點(diǎn)的線(xiàn)段有3條，以B為左端點(diǎn)的有2條，以C為左端點(diǎn)的有1條，共有6條線(xiàn)段。在上題的解題過(guò)程中，我們將線(xiàn)段分成了三種類(lèi)型，每種類(lèi)型又有若干個(gè)，線(xiàn)段的總數(shù)是它們的和。這就是運(yùn)用了加法原理?！鯬l五、備哧的竹極肉＜——嗲點(diǎn)狙合2、原理*'完成1件事，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有馮種不同的方法，做第2步有?種不同的方法，.......做第z?步有種不同的方法.那么完成這件事共有N=m}Xm2

X......Xmn種不同的方法。例：學(xué)校組織了3個(gè)藝術(shù)小組和4個(gè)體育小組，小鳴要參加一個(gè)藝術(shù)小組和一個(gè)體育小組。那么小鳴有多少種選擇？解法：小鳴參加藝術(shù)小組可以有3種選擇，參加體育小組有4種選擇，所以他一共有3X4=12種選擇。在上題的解題過(guò)程中，我們將選擇分成了兩步：首先選擇藝術(shù)小組，共有3種不同的選擇；然后選擇體育小組，共有4種不同的選擇。所以總的選擇共有3X4=12種選擇。這就是運(yùn)用了乘法原理。A.卷噠的竹教閔＜——考點(diǎn)級(jí)合另外，在解題中可能還會(huì)出現(xiàn)加法原理和乘法原理的綜合運(yùn)用，如：有一門(mén)課一周要上四節(jié)，四節(jié)課的安排滿(mǎn)足如下要求：1）一次連上兩節(jié)；2）每天只能上一次；3）不能連續(xù)兩天都有該課；4）每天可以在1、3、5、7節(jié)的一節(jié)開(kāi)始上；5）周六和日不能安排，問(wèn)該課一共有多少種安排方式？解法：在周1到周5的五天中，至少間隔一天的天對(duì)有:周1和周3，周1和周4，周1和周5，周2和周4，周2和周5,周3和周5，一共6對(duì)（加法原理）.由于每天可安排在1、2,3、4,5、6或7、8節(jié)4種中的任一種情況，所以每對(duì)天對(duì)可有42種安排方式（乘法原理）.這樣，安排方式可以有6X42

=96種。因而，在解題時(shí)對(duì)這兩種原理要靈活運(yùn)用。1^1五、＜哧的竹獻(xiàn)肉＜——嗲點(diǎn)狙合3、容斥原理.私個(gè)物體中不具有性質(zhì)P{.P2、Pz中任一個(gè)的個(gè)數(shù)為N=M-（兄碼吻+-例：在1到143這143個(gè)自然數(shù)中，與143互質(zhì)的自然數(shù)共有多少個(gè)？解法：因?yàn)?43=11X13,所以與143有大于1的公因數(shù)的數(shù)，只能是11的倍數(shù)或13的倍數(shù)。在1到143這143個(gè)自然數(shù)中，11的倍數(shù)共有13個(gè)，13的倍數(shù)共有11個(gè)，應(yīng)當(dāng)減掉。注意到143作為11的倍數(shù)與13的倍數(shù)重復(fù)減掉一次，應(yīng)該補(bǔ)回。所以在1到143個(gè)自然數(shù)中，與143互質(zhì)的自然數(shù)的個(gè)數(shù)為143-13-11+1=120A.共噠的竹獻(xiàn)肉＜——昔Aft合4、鴿籠原理.（抽屜原理）將n+\個(gè)物體放入n個(gè)盒子中，則至少有一個(gè)盒子中有兩個(gè)或更多的物體。（應(yīng)用抽屜原理解題時(shí)，要分清什么是“物體”，什么是“盒子”，它們的數(shù)目各有多少？）例：請(qǐng)說(shuō)明五名同學(xué)中至少有兩名同學(xué)的血型相同。解：人的血型有0、A、B和AB共四種，利用抽屜原理馬上就可以得到五名同學(xué)中至少有兩名同學(xué)的血型相同。A.——含點(diǎn)祖合■~（二）、排列和組合設(shè)S是由個(gè)元素構(gòu)成的集合，r是一個(gè)正整數(shù)。5中的一個(gè)廣組合就是S的~個(gè)由r個(gè)元素構(gòu)成的子集。S中的一■個(gè)/-排列就是S中r個(gè)元素的一個(gè)序列。S的t排列簡(jiǎn)稱(chēng)為S的排列或n個(gè)元素的排列。命題1.S中廣棑列的個(gè)數(shù)為：.打（n-i）…（作-k十1）-|上面考慮的是線(xiàn)性排列，相對(duì)的概念i圓周排列。考慮物體配置是在圓周上而不是在直線(xiàn)上時(shí)，排數(shù)將會(huì)減少。命題2.S中圓周廣排列的個(gè)數(shù)為f命題3,S中廣組合的個(gè)數(shù)為：?f仏、/五，共味的針數(shù)肉嶔——考點(diǎn)極令例1.假定10個(gè)學(xué)生排成一圈逆時(shí)針?lè)较蛐凶?，有多少種不同的方法使他們形成一個(gè)圈？解答：10!/10=9!種。例2.由20顆不同顏色的鉆石可以串成多少種不同的項(xiàng)鏈？解答：(20*1)!/2=19!/2種A.＜哧的針抵肉效——脅支往合（三）、棋盤(pán)覆蓋問(wèn)題棋盤(pán)完全覆蓋問(wèn)題是這樣描述的?？紤]一個(gè)通常的國(guó)際象棋棋盤(pán)，它有8X8=64個(gè)小方格，現(xiàn)有一批長(zhǎng)方形骨牌，每個(gè)骨牌恰好覆蓋兩個(gè)相臨的小方格，我們的問(wèn)題是：?是否能在棋盤(pán)上放置32個(gè)骨牌使之完全覆蓋該棋盤(pán)？?若存在，則有多少種不同的完全覆蓋？所謂的完全覆蓋是指，任意兩個(gè)骨牌都互不重疊。第一個(gè)問(wèn)題的答案是肯定的，容易。第二個(gè)答案卻很難！由此問(wèn)題派生出許多問(wèn)題，不少用于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的問(wèn)題也可認(rèn)為源于它?！鯺1A.＜哧＜6竹抵閔效——含點(diǎn)狙合例：若干邊長(zhǎng)為4厘米的正方形紙片散亂地躺在一個(gè)長(zhǎng)為30厘米、寬為20厘米的抽屜中。至少要有多少?gòu)埣埰軌蜃龅剑簾o(wú)論如何擺放，抽屜里的紙片都有重疊部分？（折疊紙片也認(rèn)為是重疊）解法：在長(zhǎng)寬為30、20厘米的矩形中最多能夠裁出邊長(zhǎng)為4厘米的正方形35個(gè)，所以最少需要36張。JL.善哧的竹獻(xiàn)叼＜——嗲點(diǎn)租合■(四)、魔術(shù)方_—個(gè)《階魔術(shù)方就是由自然數(shù)1，2,、*.，H2排列成一個(gè)方陣，且滿(mǎn)足每行、每列及每條對(duì)角上各數(shù)之和均相等，這個(gè)和稱(chēng)為魔術(shù)方的魔和。關(guān)于魔術(shù)方的組合問(wèn)題有(1)對(duì)于哪些階魔術(shù)方是存在的？(2)如何構(gòu)造這些魔術(shù)方？(3)?階不同魔術(shù)方的總數(shù)是多少？下面就舉一個(gè)比較常見(jiàn)的例子：在圖中每個(gè)沒(méi)有數(shù)字的格內(nèi)各填一個(gè)數(shù)，使每行、每列及每條對(duì)角線(xiàn)的三個(gè)格中的數(shù)之和都等于19.95時(shí)，那么，畫(huà)有“？”的格內(nèi)所填的數(shù)■plA、——今支板合?（五）云正整數(shù)Z7的一個(gè)剖分就是將Z7作為若干個(gè)正整數(shù)的和n-^+n2

+...+nk,n-

>0,1ik的一個(gè)表示法。如果和式￥各項(xiàng)次序不同時(shí)，就認(rèn)為是不同的和式，則稱(chēng)這樣的剖分為有序剖分；如果認(rèn)為和式中各項(xiàng)次序無(wú)關(guān)緊要，則稱(chēng)這樣的剖分為無(wú)序剖分。對(duì)無(wú)序剖分可以規(guī)定27|或^2。無(wú)序剖分簡(jiǎn)稱(chēng)為剖分。命題.關(guān)于正整數(shù)n的有序剖分?jǐn)?shù)目為關(guān)于無(wú)序剖分?jǐn)?shù)的討論比較復(fù)雜，在此不做介紹。例：100這個(gè)數(shù)最多能寫(xiě)成多少個(gè)不同的自然數(shù)之和？解法：從1加到13等于91，從1加到14等于105,超過(guò)100。所以100最多能寫(xiě)成13個(gè)不同自然數(shù)之____■pl五、——脅支銀合____■（六___—個(gè)正方體的六個(gè)面用1，2,3,4,5,6等數(shù)字表示，現(xiàn)在要將這個(gè)正方體的各面著紅藍(lán)兩色，問(wèn)有多少種不同的著色方法？_______因正方體共有六個(gè)面，每個(gè)面都可以著紅藍(lán)兩色，故似乎應(yīng)有26

=64種著色法。但64種著色法中有一些將被認(rèn)為是相同的。____例如，1、2兩面著紅色，其它面著藍(lán)色；4、5面著紅色，其它面著藍(lán)色；這兩種著色法被認(rèn)為是相同的。因?yàn)橥ㄟ^(guò)正方體的旋轉(zhuǎn)可以使人們無(wú)法區(qū)別它們。我們按著紅色面的數(shù)量來(lái)分類(lèi)，每類(lèi)的著色法有釘迅而數(shù)0123456著色法數(shù)1122211因此，各種不同著色法數(shù)目總和為10。A.我嗦吣針獻(xiàn)肉＜——嗲點(diǎn)祖合(七)、遞歸關(guān)系一個(gè)組合問(wèn)題的解數(shù)//常與某個(gè)自然數(shù)H有關(guān)，此時(shí)逐個(gè)研究7/(0),亂H(n),不如把它們作為數(shù)列來(lái)研究更方便。遞歸關(guān)系就是研究數(shù)列的有效方法之一。所謂的遞歸關(guān)系就是將和數(shù)列中它的前驅(qū)者聯(lián)系起來(lái)的等式。在某些情況下有可能從遞歸關(guān)系獲得序列中通項(xiàng)的精確公式。這可以通過(guò)迭代完成；或者先假定一個(gè)公式，再借助遞歸關(guān)系由歸納來(lái)完成。對(duì)于髙年級(jí)小學(xué)生和中學(xué)生而言，數(shù)列、遞歸關(guān)系等概念是超出了他們的知識(shí)范圍的，所以組合數(shù)學(xué)的這類(lèi)問(wèn)題對(duì)他們似乎是不合適的。但是，對(duì)于一列數(shù)找規(guī)律，或者把遞歸關(guān)系換成他們可以理解的敘述是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常見(jiàn)到的題目。A.＜噠的竹獻(xiàn)肉效——含點(diǎn)祖合例：火樹(shù)銀花樓七層，層層紅燈倍加增，共有紅燈三八一,試問(wèn)四層幾紅燈？解.24盞。由于每層紅燈數(shù)都是其底層的兩倍，當(dāng)?shù)谝粚拥臑?時(shí)，總數(shù)為1+2+22+23+24+25+26=127又，381/127=3,所以第一層3盞燈，第四層3X23=24盞。A.行《肉妖行程問(wèn)題為小學(xué)和初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要應(yīng)用問(wèn)題，在行程問(wèn)題中，除特別指出外，都假定速度是常數(shù)，即勻速運(yùn)動(dòng)，勻速運(yùn)動(dòng)的基本公式十分簡(jiǎn)單：路程=時(shí)間X速度但是由于路程的多樣化，時(shí)間前后的差別，以及速度的變化，使得行程問(wèn)題變得復(fù)雜而豐富多彩。行程問(wèn)題雖然是實(shí)際問(wèn)題的初級(jí)近似，但地，由于它的各色各樣的變化，使得中小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)中的許多知識(shí)點(diǎn)能有趣而生動(dòng)地融匯其中，而成為學(xué)生能力培養(yǎng)的有力工具。在各屆華杯賽中，行程問(wèn)題是各類(lèi)問(wèn)題出現(xiàn)頻率最髙的問(wèn)題之一。求解行程問(wèn)題一般分如下步驟：1、審題2、畫(huà)示意圖3、找關(guān)鍵要素4、列關(guān)系式5、分析6、給出答案。下面將通過(guò)具體的問(wèn)題來(lái)研究行程問(wèn)題。么、行趙閑妖(一)、行程問(wèn)題中的方程方法列方程求解行程問(wèn)題是最通常的方法，也是最為有效的方法。多數(shù)行程問(wèn)題可以用列方程解方程的方法來(lái)求解。列方程就是上述步驟中第四步中建立一個(gè)或幾個(gè)含有未知數(shù)的條件等式，而第五步中的分析就是解方程。例：甲、乙二人從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行，6小時(shí)后相遇。如果二人的速度每小時(shí)各增加1千米，那么相遇地點(diǎn)距前一次相遇地點(diǎn)1千米。問(wèn)：甲、乙二人速度各是多少？解：設(shè)甲的速度為每小時(shí)rT米。因?yàn)?，兩?小時(shí)相遇，所以，二人的速度和為10千米。乙的速度為每小時(shí)10-ri1米。二人的速度各增加1千米，速度和為12千米，因此，需要60+12=5(小時(shí))相遇。第一次甲的行程為6r,第二次甲的行程為5(K1)，相差1千米：6V-5(V+1)=1解得V=6答：二人的速度分別為每小時(shí)6千米和每小時(shí)4千米。行好肉數(shù)題中的比例方法基本公式S=vt路程,*一速度，t一時(shí)間。路程一定，速度與時(shí)間成反比：時(shí)間一定，路程與速度成正比：速度一定，路程與時(shí)間成正比。例：一個(gè)愛(ài)斯基摩人乘坐套由5只狗的雪橇趕往朋友家，雪橇按愛(ài)斯基摩人規(guī)定的速度全速行駛，一天后，有2只狗扯斷韁繩和狼群一起逃跑了，于是剩下的路程只好用3只狗拖著雪橇，前進(jìn)速度只有原來(lái)的3/5,這使得他到達(dá)目的地的時(shí)間比預(yù)計(jì)的時(shí)間遲了2天。事后，愛(ài)斯基摩人說(shuō)：“逃跑的狗如果再能拖雪橇60公里，那么我就能比預(yù)計(jì)的時(shí)間遲到一天”問(wèn)：愛(ài)斯基摩人一共走了多少路程？解：設(shè)5只狗拉雪橇的速度為每天論里，預(yù)計(jì)到達(dá)目的地用沃時(shí)間?！旌?，余下的路程是一定的，這_段路程用5只狗用t-1天，用3只狗用t+1天，時(shí)間與速度成反比：35rf-133t

2S—=——，

-r-i—一，=-,t=4vf+15555即預(yù)計(jì)4天到達(dá)目的地，設(shè)用5只狗跑60公里用7^，則用3只狗跑60公里用天、路程■-定，速度與時(shí)間成反比。3二T

3T+3=5Jr=l5T+r.，

2由此得到，v=