圓錐曲線的綜合問題

第八節(jié)錐曲線的綜合應(yīng)用一、基本知識概要：1知識精講：圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的思想，與圓錐曲線有關(guān)的定值、最值等問題，主要沿著兩條主線，即圓錐曲線科內(nèi)綜合與代數(shù)間的科間綜合,靈活運(yùn)用解析兒何的常用方法，解決圓錐曲線的綜合問題；通過問題的解決，進(jìn)一步掌握函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想.2重點(diǎn)難點(diǎn)：正確熟練地運(yùn)用解析幾何的方法解決圓錐曲線的綜合問題，從中進(jìn)一步體會分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.3思維方式：數(shù)形結(jié)合的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化，分類討論，函數(shù)與方程思想等.4特別注意：要能準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運(yùn)算、推理轉(zhuǎn)換，并在運(yùn)算過程中注意思維的嚴(yán)密性，以保證結(jié)果的完整。二、例題：例LA,B是拋物線V=2px（p〉0）上的兩點(diǎn)，且OA_LOB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）求證:（1）A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別是定植；（2）直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)2 2證明?（1）設(shè)4為，%），8（%2，丁2），貝物1=2處,y2=2p%2，,/0A_LOB.xxx2+yxy2-0兩式相乘得必為=一4〃2,玉々=4p2（2）y2一為2（2）y2一為2=2p（x,一々）,當(dāng)天w*2,左AB2〃y+8所以直線A3的方程y-y=3—（x-xj化簡得y= （x-2夕）,y+% y+打過定點(diǎn)（2小0），當(dāng)天=々時(shí)，顯然也過點(diǎn)（2P.O）所以直線AB過定點(diǎn)（2p,0）例2、（2005年春季北京，18）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/在x軸和y軸上的截距分別是。和人（〃>0/，0）,且交拋物線F >0）于M（%],必），N（々，為）兩點(diǎn)。（1）寫出直線/的截距式方程（2）證明：—+—y乃b（3）當(dāng)。=2〃時(shí)、求NMON的大小。（圖見教材P135頁例1）解：（1）直線/的截距式方程為二+上=1。 （1）ab(2)(2)、由(1)及y2=2px消去x可得 +2pQy—2paZ?=0(2)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)M，力為（2）的兩個(gè)根。故必+為=20a，必,乃=-2〃⑦b-2pa所以L= ='=Ly>2 y>2—2pab（3）、設(shè)直線OM、ON的斜率分別為匕/2,則匕=工也=&■xxx2當(dāng)〃=2〃時(shí)，由（2）知，y為=-2〃。=一4〃2,由y；=2g，4=2〃%2,相乘凝必當(dāng)尸=4〃2%x百％2='’?=*?=4p2,J. ~ ~ ~4P4p2因此A/2=型2=二^-=—1.所以O(shè)M_LON,即/MON=90°。XjX24p說明：本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力。2 2例3、（2005年黃岡高三調(diào)研考題）已知橢圓C的方程為二十二=1（。>8〉0）,雙曲線crb~2 21-2r=1的兩條漸近線為/1」2,過橢圓c的右焦點(diǎn)F作直線/,使又/與，2交ab于P點(diǎn)，設(shè)/與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上而下依次為A、Bo（圖見教材P135頁例2）當(dāng)人與乙夾角為60°,雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程當(dāng)fX=%47時(shí)，求2的最大值。TOC\o"1-5"\h\zA A解：（1）?.?雙曲線的漸近線為y=±±x,兩漸近線的夾角為60°,又2<1,a ah c/POx=30，即一=tan30=——=>a= .又/+/?2=4,a 3/.a1=3萬=1.故橢圓c的方程為一十9=1.3(3)由已知/:”沁琮與尸白解得(3)由已知/:”沁琮與尸白解得pna2.abC+AA由黨=乂A得A(f,—J),將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得1+A1+2(C2+/?ZZ2)2+04=(1+2)2〃2。2,.(/+㈤2+22=e2Q+2)24Z r\???尤—「二—(2")+——+3<3-2V2."2L2—2」??/的最大值為\歷一1。說明：本題考查了橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識，及向量、定比分點(diǎn)公式、重要不等式的應(yīng)用。解決本題的難點(diǎn)是通過恒等變形，利用重要不等式解決問題的思想。本題是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的一道好題。2例4、A,F分別是橢圓1廠+("一1廠=1的一個(gè)上頂點(diǎn)與上焦點(diǎn),位于x軸的正半軸16 12上的動點(diǎn)T(t,0)與F的連線交射線0A于Q,求：點(diǎn)A,F的坐標(biāo)及直線TQ的方程；三角形OTQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的最小值寫出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，并證明.解:⑴由題意得A(1,3),F(1,1)直線TQ得方程為x+(tl)yt=O(2)射線0A的方程y=3x(x>0),代入7。的方程，得玄=」一3r-2TOC\o"1-5"\h\z7 1 *由q〉0,得”天貝1兒=^~7，「?= ——-j ji—乙z 一z)1 3 2 3 4 4=丁丁= —^?.?"才??.3(。2互=,(當(dāng)"］時(shí)取等號)2(二二)—4「)2+? 3 3 3t3產(chǎn) t4 4 44所以S(t)的最小值為］-4 1(3)S(t)在-,+oo上是增函數(shù)1_3 )2 2 44 1 ?2_4)(/I—1)。？一］)..設(shè)￡(乙<占那么S(G—s(%)=…=弓?J5 億--)(^24 2 2 22???，2>AN］,..?(。一§)2§J?一］〉］，…，??S?2)>SQ］)所以該函數(shù)在g,+o>)上是增函數(shù)三、課堂小結(jié)：1、解決圓錐曲線的綜合問題應(yīng)根據(jù)曲線的幾何特征，熟練運(yùn)用圓錐曲線的知識將曲線的