江西省清江重點中學2023-2024學年高二上學期11月期中測試數學試題（含答案）

一、單選題（每題5分，共40分）1．設集合，，若，則（

）A． B．3 C． D．52．平面直角坐標系中，角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．4．在三棱錐中，平面，，且，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．已知直線l的方程為2x－5y＋10＝0，且在y軸上的截距為b，則b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．56．已知點，若直線，則的值為（）A．1或 B．或C．或3 D．3或7．已知，點是直線和的交點，若存在點使，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知的三個頂點都在橢圓：（）上，其中為左頂點，為上頂點，若以為頂角的等腰三角形恰好有3個，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（每題5分，共20分）9．在下列四個命題中，正確的是（

）．A．若直線的傾斜角為銳角，則其斜率一定大于0B．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．任意直線都有傾斜角，且當時，斜率為D．直線的傾斜角越大，則其斜率越大10．已知直線m方程為，則下列說法中正確的是（

）A．直線m斜率為 B．直線m橫截距為1C．直線m縱截距為 D．點不在直線m上11．已知，則下列說法正確的是（

）A．z在復平面內對應的點的坐標為B．C．z在復平面內對應的點與點關于原點對稱D．12．已知雙曲線：的右焦點為，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，該垂線與另一條漸近線的交點為，若，則的離心率可能為（

）A． B． C． D．三、填空題（共20分）13．.14．函數的定義域為.15．已知的面積為，求AC邊的長為.16．已知點，，，直線將分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是.四、解答題（共70分）17．已知直線l的方程是.(1)求直線l的斜率和傾斜角；(2)求過點且與直線l平行的直線的方程.18．已知復數（，i為虛數單位）．(1)若為純虛數，求實數a的值；(2)若，且復數所對應的點位于第四象限，求a的取值范圍．19．已知的三內角所對的邊分別是，向量，且．(1)求角的大??；(2)若，求三角形周長的取值范圍．20．如圖，已知四棱錐中，平面，，，，為中點.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.21．夜幕降臨，華燈初上，豐富多元的夜間經濟，通過夜間商業(yè)和市場，更好滿足了民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富了購物體驗和休閑業(yè)態(tài)．打造夜間經濟，也是打造城市品牌、促進產業(yè)融合、推動消費升級的新引擎．為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經濟發(fā)展環(huán)境，近朋，某市商務局對某熱門夜市開展“服務滿意度大調查”，隨機邀請了100名游客填寫調查問卷，對夜市服務評分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿意，為不滿意，為一般，為基本滿意，為非常滿意，為完美．

(1)求的值及估計分位數：(2)調查人員為了解游客對夜市服務的具體意見，對評分不足60分的調查問卷抽取2份進行細致分析，求恰好為非常不滿意和不滿意各一份的概率．22．已知拋物線C：，P是C上縱坐標為2的點，以點P為圓心，PO為半徑的圓（O為原點）交C的準線l于A，B兩點，且.(1)求拋物線C的方程.(2)過點P作直線PM，PN分別交C于M，N兩點，且使∠MPN的平分線與y軸垂直，問：直線MN的斜率是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由.參考答案1．C因為，所以，則，即．故選：C2．A因為角的終邊經過點，所以，所以.故選：A3．D因為，所以，因為，所以.故選：D4．A在三棱錐中，平面，，且，將三棱錐補成正方體，如下圖所示：則正方體的外接球直徑為，所以，，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故選：A.5．B令x＝0，則y＝2，所以直線2x－5y＋10＝0在y軸上的截距是2.故選：B6．A∵A，B兩點縱坐標不相等，∴AB與x軸不平行.∵，則CD與x軸不垂直，∴，即.當AB與x軸垂直時，，解得，此時，點C，D的縱坐標均為，則軸，此時，滿足題意；當AB與x軸不垂直時，，，∵，∴，即，解得.綜上，m的值為或，故選：A.7．C因為直線過定點，直線過定點，且，所以直線與的交點的軌跡是以，為直徑端點的圓，除去，所以點的軌跡方程為：，設其圓心為，半徑，若點滿足，設，可得，化簡整理得，，設其圓心為，半徑，由題存在點滿足，即圓與圓有公共點即可，由于點的軌跡為圓除去點，所以得，即，所以.故選：C.8．A由題意知的第三個頂點在以為圓心，以為半徑的圓上，要使以為頂角的等腰三角形恰好有3個，則需要滿足橢圓與圓有四個公共點，由得，所以或，當時，橢圓與圓有兩個交點，分別為左右頂點，當位于右頂點處滿足條件；當時，要滿足橢圓與圓有兩個不同交點，需要，即，即，解得，所以.故選：A9．AC對于A，當時，其斜率，所以A正確；對于B，若一條直線的斜率為,則此直線的傾斜角為，所以B錯誤；對于C，根據直線傾斜角的定義可得每一條直線都有確定的傾斜角，由斜率定義可得當直線的傾斜角時，直線的斜率為，所以C正確；對于D，直線的傾斜角為銳角時斜率大于0，傾斜角為鈍角時斜率小于0，故D錯誤；故選：AC.10．ACA選項，變形為，故直線m斜率為，A正確；B選項，中令得，，故直線m橫截距為-1，B錯誤；C選項，中令得，，故直線m縱截距為，C正確；D選項，當時，，故點在直線m上，D錯誤.故選：AC11．BCD由題可得，即在復平面內對應的點的坐標為，與點關于原點對稱，A錯誤，C正確；，B正確；，D正確.故選：BCD12．AC不妨設的一條漸近線的方程為，則直線的斜率為，則：．設，聯立直線的方程與，，則，可得．由，則，得點的縱坐標為，因為，所以．因為，所以或．故選：AC13．.故答案為：14．函數的定義域滿足：，解得且.故答案為：.15．如圖，設點C的坐標為，因為，則B點坐標是，可得，又因為，則，解得，且，則，解得，可知C點坐標為，則，所以.故AC邊的長為.故答案為：.16．由題意可得，三角形ABC的面積為，由于直線與x軸的交點為，由直線將分割為面積相等的兩部分，可得，故，故點M在射線OA上，設直線和BC的交點為N，則由可得點N的坐標為，①若點M和點A重合，如圖：則點N為線段BC的中點，故，把A、N兩點的坐標代入直線，求得.②若點M在點O和點A之間，如圖：此時，點N在點B和點C之間，由題意可得三角形NMB的面積等于，即，即，可得，求得，故有.③若點M在點A的左側，則，由點M的橫坐標，求得.設直線和AC的交點為P，則由求得點P的坐標為，此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于，即，即，化簡可得，由于此時，所以，兩邊開方可得，所以，故有.綜上可得b的取值范圍應是.故答案為：.17．(1)斜率為，傾斜角是60°(2)（1）已知直線l：，所以直線l的斜率，傾斜角是.（2）過點且與直線l平行的直線的斜率是，所求直線方程為：，即.18．(1)1.(2)（1）因為復數，則又為純虛數，所以，解得，（2）因為由復數所對應的點位于第四象限，可得:，解得，所以的范圍為.19．(1)(2)（1）由已知，且，，由正弦定理得，，即，，；（2）由余弦定理，得，當且僅當時取等號．，故，又，∴的取值范圍是，所以周長的取值范圍是.20．(1)證明見解析(2)（1）

取中點，連接，因為分別為的中點，所以，，因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，，因為平面，平面，所以∥平面.（2）過點作于點，連接，因為，所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，，，，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.21．(1)；分位數為.(2)（1）由，解得；由低于90分的頻率為，則分位數在內，設樣板數據的分位數約為分，則，解得,即分位數為.（2）非常不滿意的游客有人，設編號為,不滿意的游客有人，設編號為，則基本事件的總數有：工15種，事件“恰好為非常不滿意和不滿意