高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：集合的概念-重難點(diǎn)題型檢測(cè)（教師版）

專題1.2集合的概念-重難點(diǎn)題型檢測(cè)參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?臨夏縣校級(jí)期中）下列集合中，表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）} C．M＝{（x，y）|y＝1﹣x}，N＝{x|y＝1﹣x} D．M＝{3，2}，N＝{2，3}【解題思路】結(jié)合集合相同，元素完全相同的要求分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過(guò)程】解：A：由于（3，2）與（2，3）為有序?qū)崝?shù)對(duì)，故M與N的元素不同，不是同一集合；B：M為數(shù)集，有2個(gè)元素，N為點(diǎn)集，有1個(gè)元素，不是同一集合；C：M為點(diǎn)集，N為數(shù)集，不是同一集合；根據(jù)集合的無(wú)序性可知，M＝{2，3}與N＝{3，2}表示同一集合．故選：D．2．（3分）（2021秋?河南月考）下列說(shuō)法中，正確的是（）A．若a∈Z，則﹣a?Z B．R中最小的元素是0 C．“3的近似值的全體”構(gòu)成一個(gè)集合 D．一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素【解題思路】由集合的含義及元素與集合的關(guān)系逐一判斷即可．【解答過(guò)程】解：對(duì)于A，若a∈Z，則﹣a∈Z，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，R是實(shí)數(shù)集，沒(méi)有最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，3的近似值的全體，元素不具有確定性，不能構(gòu)成一個(gè)集合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由集合的互異性可知，一個(gè)集合中不可以有兩個(gè)相同的元素，故D正確．故選：D．3．（3分）（2022?安徽模擬）已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，則B＝（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【解題思路】先化簡(jiǎn)集合A，再根據(jù)集合B的條件化簡(jiǎn)B即可得解．【解答過(guò)程】解：∵A＝[﹣2，2]，又B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，∴x﹣1∈[﹣2，2]，∴x∈[﹣1，3]，又x∈N*，∴x＝1，2，3，∴B＝{1，2，3}，故選：C．4．（3分）（2022秋?墊江縣校級(jí)月考）若用列舉法表示集合A＝{（x，y）|2y?x=7A．{x＝﹣1，y＝3} B．{（﹣1，3）} C．{3，﹣1} D．{﹣1，3}【解題思路】先解方程組，然后用列舉法表示所求集合，需要注意集合中的元素．【解答過(guò)程】解：2y?x=7x+y=2所以A＝{（x，y）|2y?x=7x+y=2}＝{（﹣1，3故選：B．5．（3分）（2022?河南模擬）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，則B中所含元素的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【解題思路】通過(guò)x的取值，確定y的取值，推出B中所含元素的個(gè)數(shù)．【解答過(guò)程】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1，2，滿足集合B．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，3；滿足集合B．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝2，3；滿足集合B．共有6個(gè)元素．故選：C．6．（3分）（2022秋?匯川區(qū)校級(jí)月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4這兩個(gè)元素，且7∈A，則a3的值為（）A．0 B．1或﹣27 C．1 D．﹣27【解題思路】根據(jù)條件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，則易求a3的值．【解答過(guò)程】解：依題意得：a2+2a+4＝7，整理，得（a+3）（a﹣1）＝0解得a1＝﹣3，a2＝1．故a3＝﹣27或a3＝1．故選：B．7．（3分）（2021秋?橋東區(qū)校級(jí)月考）集合{1，3，5，7}用描述法表示出來(lái)應(yīng)為（）A．{x|x是不大于7的非負(fù)奇數(shù)} B．{x|1≤x≤7} C．{x|x∈N且x≤7} D．{x|x∈Z且1≤x≤7}【解題思路】利用集合的表示法直接求解．【解答過(guò)程】解：集合{1，3，5，7}用描述法表示出來(lái)應(yīng)為{x|x是不大于7的非負(fù)奇數(shù)}，故選：A．8．（3分）（2021秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）設(shè)P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定義P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，則P*Q中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．19 D．20【解題思路】根據(jù)定義P※Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}和P、Q中元素，一一列舉出所有的情況再得個(gè)數(shù)．【解答過(guò)程】解：由題意可以采用列舉的方式易得：（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8）（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8）（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8）（4，5），（4，6），（4，7），（4，8）P*Q中元素的個(gè)數(shù)為19個(gè)．故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?武安市校級(jí)期末）下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．擁有手機(jī)的人 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題 C．所有有理數(shù) D．小于π的正整數(shù)【解題思路】根據(jù)集合元素的確定性對(duì)四個(gè)選項(xiàng)依次判斷即可．【解答過(guò)程】解：擁有手機(jī)的人具有確定性，能構(gòu)成集合，故A正確；數(shù)學(xué)難題定義不明確，不符合集合的定義，故B不正確；有理數(shù)具有確定性，能構(gòu)成集合，故C正確；小于π的正整數(shù)具有確定性，能構(gòu)成集合，故D正確；故選：ACD．10．（4分）（2021秋?孝感期中）已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，則a為（）A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣1【解題思路】由已知對(duì)a2+1＝5與a2﹣4a＝5，分別求出a的值，再求出對(duì)應(yīng)的集合A，B，進(jìn)而可以判斷求解．【解答過(guò)程】解：因?yàn)榧螦＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，則a2+1＝5，解得a＝2或﹣2，當(dāng)a＝2時(shí)，集合A＝{2，5，﹣4}，集合B＝{0，0}與集合元素的互異性矛盾，故a≠2，當(dāng)a＝﹣2時(shí)，集合A＝{2，5，12}，集合B＝{0，4}，故a＝﹣2成立，當(dāng)a2﹣4a＝5時(shí)，解得a＝5或﹣1，當(dāng)a＝5時(shí)，集合A＝{2，26，5}，集合B＝{18，0}，故a＝5成立，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，集合A＝{2，2，5}與集合元素的互異性矛盾，故a≠﹣1，綜上，實(shí)數(shù)a的為﹣2或5，故選：BC．11．（4分）（2020秋?農(nóng)安縣月考）下面四個(gè)說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7} B．由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1} C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解組成的集合是{1，1} D．0與{0}表示同一個(gè)集合【解題思路】結(jié)合集合的表示及元素與集合的基本關(guān)系分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過(guò)程】解：10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)組成的集合是{2，3，5，7}，故A正確；由集合中元素的無(wú)序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正確；方程x2﹣2x+1＝0的所有解組成的集合是{1}，故C錯(cuò)誤；由集合的表示方法知0不是集合，故D錯(cuò)誤，故選：CD．12．（4分）設(shè)M、N是兩個(gè)非空集合，定義M?N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，則P?Q中元素的個(gè)數(shù)不可能是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解題思路】根據(jù)定義，P?Q中元素為點(diǎn)集，且橫坐標(biāo)屬于集合P，縱坐標(biāo)屬于集合Q，P、Q中的元素個(gè)數(shù)分別是3、3，即可求出P?Q中元素的個(gè)數(shù)．【解答過(guò)程】解：因?yàn)镻＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3種選法，b有3種取法，可得P?Q中元素的個(gè)數(shù)是3×3＝9（個(gè)）．故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2021秋?黃梅縣校級(jí)期末）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一個(gè)元素，則a的取值范圍是{0}∪[94，+∞）【解題思路】分類討論方程解的個(gè)數(shù)，從而確定a的取值范圍．【解答過(guò)程】解：當(dāng)a＝0時(shí)，方程可化為﹣3x+1＝0，解得x=1當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝9﹣4a≤0，解得a≥9綜上所述，a的取值范圍是{0}∪[94，+故答案為：{0}∪[94，+14．（4分）（2021秋?玉林期末）集合A={x∈N|83?x∈N?}，用列舉法可以表示為A＝【解題思路】由題意可知3﹣x是8的正約數(shù)，然后分別確定8的約數(shù)，從而得到x的值為1，2，即A＝{1，2}．【解答過(guò)程】解：由題意可知3﹣x是8的正約數(shù)，當(dāng)3﹣x＝1，x＝2；當(dāng)3﹣x＝2，x＝1；當(dāng)3﹣x＝4，x＝﹣1；當(dāng)3﹣x＝8，x＝﹣5；而x∈N，∴x＝1，2，即A＝{1，2}．故答案為：{1，2}．15．（4分）（2022?七星區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知x∈{1，2，x2﹣x}，則實(shí)數(shù)x為0或1．【解題思路】將x依次等于集合中的值并驗(yàn)證即可．【解答過(guò)程】解：①若x＝1，則{1，2，x2﹣x}＝{1，2，0}，成立；②若x＝2，則2＝x2﹣x，不成立；③當(dāng)x＝x2﹣x時(shí)，x＝0，或x＝2（舍去）．故答案為：1或0．16．（4分）（2021秋?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中）設(shè)P，Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，P中含有0，2兩個(gè)元素，Q中含有1，6兩個(gè)元素，定義集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是4．【解題思路】由已知寫(xiě)出集合P，Q，然后根據(jù)新定義求出新集合P+Q，進(jìn)而可以求解．【解答過(guò)程】解：由已知可得集合P＝{0，2}，Q＝{1，6}，而0+1＝1，0+6＝6，2+1＝3，2+6＝8，所以集合P+Q＝{1，3，6，8}，故答案為：4．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三個(gè)元素構(gòu)成的集合中的元素，求x的值．【解題思路】由已知可得x﹣2＝﹣3或2x2+5x＝﹣3，分別求出x的值，驗(yàn)證可得結(jié)論．【解答過(guò)程】解：當(dāng)x﹣2＝﹣3時(shí)，x＝﹣1，此時(shí)這三個(gè)元素構(gòu)成的集合為{﹣3，﹣3，12}，不滿足集合元素的互異性；當(dāng)2x2+5x＝﹣3時(shí)．x=?32或x＝﹣1（舍），此時(shí)這三個(gè)元素構(gòu)成的集合為{?72綜上，x的值為?318．（6分）（2021秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑息俜匠蘹（x2+2x+1）＝0的解集；②在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合；③不等式x﹣2＞6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合．【解題思路】①根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，且個(gè)數(shù)不多，故解方程后用列舉法表示；②③④利用描述法表示．【解答過(guò)程】解：①解方程x（x2+2x+1）＝0得：x＝0或x＝﹣1，故方程x（x2+2x+1）＝0的解集為{﹣1，0}；②在自然數(shù)集內(nèi)，小于1000的奇數(shù)構(gòu)成的集合可表示為：{x|x＝2n+1，n≤499，且n∈N}；③解不等式x﹣2＞6得：x＞8．故不等式x﹣2＞6的解集為{x|x＞8}；④大于0.5且不大于6的自然數(shù)的全體構(gòu)成的集合是：{x|0.5＜x≤6，且x∈N}．19．（8分）（2021秋?鏡湖區(qū)校級(jí)月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）方程組2x?（2）1000以內(nèi)被3除余2的正整數(shù)所構(gòu)成的集合；（3）直角坐標(biāo)平面上的第二象限內(nèi)的點(diǎn)所構(gòu)成的集合；（4）所有三角形構(gòu)成的集合．【解題思路】根據(jù)題意以及集合的表示法，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎靖骷霞纯桑窘獯疬^(guò)程】解：（1）．解方程組2x?3y=143x+2y=8，得x=4y=?2，故解集為{（4，﹣（2）．集合的代表元素是數(shù)x，用描述法表示為{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．（3）．集合的代表元素是點(diǎn)（x，y），用描述法表示為{（x，y）|x＜0且y＞0}（4）．集合用描述法表示為{x|x是三角形}，簡(jiǎn)寫(xiě)為{三角形}．20．（8分）（2021秋?洮南市校級(jí)月考）設(shè)A是由一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A，則11?a∈A，且1?A（1）若3∈A，求A；（2）證明：若a∈A，則1?1a∈【解題思路】（1）根據(jù)集合A的定義，找出A的所有元素即可；（2）有集合A的定義證明即可．【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)?∈A，所以11?3=?所以11?(?12所以11?23=所以A＝{3，?12，2（2）證明：因?yàn)閍∈A，有11?a∈A所以11?11?a=1?a21．（8分）已知由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A滿足條件：若a∈A，則1+a1?a∈A（a≠0，且a≠±1），則集合【解題思路】由已知中若a∈A，則1+a1?a∈A（a≠0，且a≠±1），依次代入可得a、1+a1?a、?1a【解答過(guò)程】解：∵a∈A，則1+a1?a∴1+1+a進(jìn)而有1+(?1∴又有1+a?1∵a∈R，∴a≠假設(shè)a=1+a1?a，則a2＝﹣∴a≠類似方法可證a、1+a1?a、?1a這就證得集合A中至少有四個(gè)元素．22．（8分）（2021秋?西城區(qū)期末）設(shè)A是實(shí)數(shù)集的非空子集，稱集合B＝{uv|u，v∈A，且u≠v}為集合A的生成集．（Ⅰ）當(dāng)A＝{2，3，5}時(shí)，寫(xiě)出集合A的生成集B；（Ⅱ）若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；（Ⅲ）判斷是否存在4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并說(shuō)明理由．【解題思路】（Ⅰ）利用集合的生成集定義直接求解．（Ⅱ）設(shè)A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，利用生成集的定義即可求解；（Ⅲ）不存在，理由用反證法說(shuō)明．【解答過(guò)程】解：（Ⅰ）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}，（Ⅱ）設(shè)A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨設(shè)0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，因?yàn)閍1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，所以B中元素個(gè)數(shù)大于等于7個(gè)，又A