汽車(chē)振動(dòng)分析與測(cè)試課件：多自由度振動(dòng)

汽車(chē)振動(dòng)分析與測(cè)試多自由度振動(dòng)【本章學(xué)習(xí)目標(biāo)】★熟練掌握多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程建立及方法，多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特性；★掌握多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)、坐標(biāo)變換及模態(tài)分析；★掌握多自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)在自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)情況下的響應(yīng)計(jì)算；★熟悉多自由度有阻尼系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)分析，在自由衰減振動(dòng)，在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和任意激勵(lì)下的比例阻尼系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)和振動(dòng)特性；★熟悉多自由度有阻尼系統(tǒng)的復(fù)模分析方法，即狀態(tài)空間法?！颈菊聦W(xué)習(xí)方法】

多自由度振動(dòng)系統(tǒng)是二自由度系統(tǒng)的擴(kuò)展，二自由度系統(tǒng)是多自由度系統(tǒng)的特例，實(shí)際振動(dòng)問(wèn)題大都屬于多自由度振動(dòng)系統(tǒng)。因此，本章應(yīng)該在學(xué)好二自由度系統(tǒng)振動(dòng)的前提下，注重課堂學(xué)習(xí)與課下復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)相結(jié)合，參閱相關(guān)參考資料，注意加強(qiáng)矩陣數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本知識(shí)和方法，熟練掌握多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程的各種建立方法，以及多自由度系統(tǒng)固有特性的分析和計(jì)算；在此基礎(chǔ)上，熟悉多自由度有阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)分析和復(fù)模態(tài)分析的方法，及它們的應(yīng)用場(chǎng)合和條件?！颈菊聦W(xué)習(xí)要點(diǎn)】第1節(jié)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程1、直接法

如果將實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)在一定的假設(shè)條件和簡(jiǎn)化處理后確定了動(dòng)力學(xué)模型，并確定其中的慣性、剛度和阻尼參數(shù)之后，就可以應(yīng)用多種方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。

直接法就是直接應(yīng)用動(dòng)力學(xué)的基本定律或定理，例如，利用牛頓第二定律或達(dá)朗伯原理，來(lái)建立系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的方法?；静襟E如下：（1）對(duì)各質(zhì)量取隔離體，進(jìn)行受力分析；（2）根據(jù)牛頓第二定律，建立振動(dòng)微分方程。2.拉格朗日法

拉格朗日法是從能量的觀點(diǎn)建立系統(tǒng)的動(dòng)能T、勢(shì)能U和功W之間的標(biāo)量關(guān)系，研究靜、動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一種方法。它是一種普遍、簡(jiǎn)單和統(tǒng)一的方法，適用于簡(jiǎn)單或復(fù)雜系統(tǒng)的分析。拉格朗日方程的形式式中，T為系統(tǒng)總動(dòng)能；qi為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)；為qi廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)；Qi為對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)qi的廣義力。拉格朗日方程存在以下的幾種表達(dá)方式（1）當(dāng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)時(shí)，主動(dòng)力僅為勢(shì)力，廣義力可表達(dá)為拉格朗日方程為（2）當(dāng)系統(tǒng)除了勢(shì)力作用以外，還存在其它非勢(shì)力，其虛功記為拉格朗日方程為（3）如果將因?yàn)槟芰亢纳⒑瘮?shù)D引起的阻尼力也從其它的非勢(shì)力的廣義力中分離出來(lái)，并使Qi僅代表外部作用的廣義激振力(力或力矩等)，則可將非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程改寫(xiě)為（1）系統(tǒng)勢(shì)能U的兩倍

拉格朗日方程的深入分析可知：各項(xiàng)的系數(shù)就是剛度矩陣中的元素kij

(2)系統(tǒng)動(dòng)能T的兩倍可知,各項(xiàng)系數(shù)就是質(zhì)量矩陣中的元素(3)系統(tǒng)能量耗散函數(shù)D的兩倍

可知:各項(xiàng)系數(shù)就是阻尼矩陣中的元素cij三、影響系數(shù)法

1.剛度矩陣的影響系數(shù)法

對(duì)于n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，剛度矩陣K為n×n矩陣，具有n×n個(gè)元素kij，這些元素稱(chēng)為剛度影響系數(shù)。剛度影響系數(shù)的定義為:使系統(tǒng)的第j個(gè)坐標(biāo)產(chǎn)生單位位移，而其它坐標(biāo)位移為零時(shí)，在第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的作用力的大小.即注意：

（1）假定方向與坐標(biāo)方向相同，通過(guò)力平衡方程解得值的符號(hào)即kij的符號(hào)；（2）力和位移都是廣義的，包括角位移和力矩。2.質(zhì)量矩陣的影響系數(shù)法

對(duì)于n自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，質(zhì)量矩陣M為n×n矩陣，具有n×n個(gè)元素mij，這些元素稱(chēng)為慣性影響系數(shù)。慣性影響系數(shù)的定義為:使系統(tǒng)的第j坐標(biāo)產(chǎn)生單位加速度，而其它的坐標(biāo)加速度為零時(shí)，在第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的作用力的大小.即3.柔度矩陣的影晌系數(shù)法

在某些問(wèn)題中求剛度矩陣比較困難，但柔度矩陣比較容易求得。這時(shí)，可以先求得柔度矩陣，利用柔度法建立系統(tǒng)的微分方程。柔度矩陣F中的系數(shù)δij為柔度響應(yīng)系數(shù).

柔度響應(yīng)系數(shù)的定義:在第j個(gè)坐標(biāo)上施加單位力作用時(shí)，在第i個(gè)坐標(biāo)上所引起的位移，根據(jù)互易定理,δij=δji注意：對(duì)于彈性系統(tǒng)，剛度矩陣總是存在的，而柔度矩陣不一定存在。當(dāng)系統(tǒng)自由度中包括剛體振型時(shí)，就無(wú)法確定柔度系數(shù)。從數(shù)學(xué)上講，系統(tǒng)的剛度矩陣為奇異，不存在逆矩陣，系統(tǒng)為半正定的。第2節(jié)多自由度振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性一、固有頻率

多自由度系統(tǒng)固有頻率，可根據(jù)系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程得到，即設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)為式中，A為系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的振幅向量(列陣),主振型方程令特征方程n個(gè)特征值互不相等，可以將它們按照從小到大的次序排列為二、主振型

將任何一個(gè)特征值代回主振型方程，都可以得到一個(gè)響應(yīng)的非零向量A(r)，即特征向量。對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，一個(gè)特征向量描繪了系統(tǒng)振動(dòng)位移的一種形態(tài)，稱(chēng)為主振型(主模態(tài))。主振型也只與系統(tǒng)的固有物理特性(慣性和彈性)有關(guān)，而與其它條件無(wú)關(guān)。已知系統(tǒng)的特征矩陣，則系統(tǒng)的主振型方程為為特征矩陣H

的逆矩陣為式中，adjH為特征矩陣H的伴隨矩陣。兩邊同時(shí)乘以，得到

可知，特征向量A與伴隨矩陣adjH的任意非零列成正比。因此，可以取一列，并對(duì)其按照某一元素進(jìn)行歸一化處理(實(shí)際上是乘以一個(gè)常數(shù))，得到特征向量A。第3節(jié)多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)分析

多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程是一個(gè)相互耦合的二階常微分方程組，按照一般的方法進(jìn)行求解比較困難，一方面因?yàn)槲⒎址匠痰臄?shù)量很多，另一方面各個(gè)方程之間存在坐標(biāo)耦合。因此，在實(shí)際工程應(yīng)用中，常采用模態(tài)分析方法進(jìn)行方程組的求解。對(duì)于無(wú)阻尼多自由度振動(dòng)系統(tǒng)，需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)模態(tài)分析，即首先對(duì)原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，解除方程之間的耦合，使原方程組的求解轉(zhuǎn)化為n個(gè)獨(dú)立單自由度系統(tǒng)的求解問(wèn)題，然后，將各階主振型按照一定的比例進(jìn)行疊加，求得原方程的解。一、廣義坐標(biāo)和坐標(biāo)變換

1.坐標(biāo)耦合

用來(lái)描述振動(dòng)系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是任意選取的，但是，所選擇的廣義坐標(biāo)不同，所得到的振動(dòng)微分方程不相同，方程的耦合情況也不相同。例如，汽車(chē)平面振動(dòng)模型圖汽車(chē)平面振動(dòng)模型

（1）若選取質(zhì)心C的位移x和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角θ,作為系統(tǒng)坐標(biāo),則振動(dòng)微分方程為可知：質(zhì)量矩陣為對(duì)角陣，而剛度矩陣為非對(duì)角陣，稱(chēng)為“彈性耦合”。（2）若選取轉(zhuǎn)動(dòng)中心B的位移x和繞轉(zhuǎn)動(dòng)中心的轉(zhuǎn)角θ作為位移坐標(biāo)可知:剛度矩陣為對(duì)角陣，而質(zhì)量矩陣為非對(duì)角陣，稱(chēng)為“慣性耦合”。（3）若選取端點(diǎn)D的位移x和繞端點(diǎn)的轉(zhuǎn)角θ作為位移坐標(biāo)可知:同時(shí)存在彈性耦合和慣性耦合。2.坐標(biāo)變換

如果能夠?qū)ふ业玫揭唤M廣義坐標(biāo)，使得振動(dòng)微分方程之間不再存在耦合，這將大大簡(jiǎn)化振動(dòng)微分方程的求解。下面，闡述獲得能夠使振動(dòng)微分方程解耦的一組特殊的廣義坐標(biāo)的方法——坐標(biāo)變換。如果存在一組同維線性無(wú)關(guān)的向量,則可以將它們作為坐標(biāo)的一組基向量，組成一個(gè)基向量空間在該向量空間中的任何向量X都可以利用該基向量的線性組合進(jìn)行表達(dá)，即式中，qi表示向量X在基向量Ai上的分量大小，即坐標(biāo)值。

因此，基向量空間Ap可以看作使一個(gè)變量(或坐標(biāo))xi

(i=1,2,…,n)變換成另一個(gè)變量)qj

(j=1,2,…,n)的變換因子，所以，稱(chēng)基向量空間Ap為變換矩陣。如果已知無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為將坐標(biāo)變換式X=ApQ代入上式，得到兩邊左乘變換矩陣Ap的轉(zhuǎn)置矩陣，可得

顯然，在廣義坐標(biāo)Q下的質(zhì)量矩陣Mp和剛度矩陣Kp，與在原坐標(biāo)X下的質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K不同，因此，振動(dòng)微分方程的耦合情況也不相同?？梢?jiàn)，可以通過(guò)坐標(biāo)變換將原來(lái)廣義坐標(biāo)X下的運(yùn)動(dòng)方程，變換到另外的廣義坐標(biāo)Q來(lái)表達(dá)。變換之后，并沒(méi)有改變系統(tǒng)的性質(zhì)，但改變了系統(tǒng)的耦合情況。二、模態(tài)分析

1.特征值、特征向量和振型矩陣

以廣義坐標(biāo)X表達(dá)的無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程n個(gè)特征值和相應(yīng)的n個(gè)主振型向量2.主振型向量的正交性、模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度

將各個(gè)主振型向量按照固有頻率的排列次序，按列排在一個(gè)方陣中，則組成主振型矩陣(主模態(tài)矩陣)，即多自由度系統(tǒng)的各階主振型之間存在一定的關(guān)系，表現(xiàn)為主模態(tài)的正交性，即可知，主模態(tài)對(duì)于質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K都是正交，因此，如果以主模態(tài)組成的模態(tài)矩陣作為坐標(biāo)變換矩陣，可以使質(zhì)量矩陣和剛度矩陣同時(shí)對(duì)角化，即3.主坐標(biāo)和正則坐標(biāo)

主振型方程的特征值為（1）模態(tài)質(zhì)量對(duì)角矩陣Mφ

（2）模態(tài)剛度對(duì)角矩陣

根據(jù)模態(tài)質(zhì)量矩陣的定義和主振型向量對(duì)質(zhì)量矩陣的正交性，得可知，模態(tài)質(zhì)量矩陣為對(duì)角矩陣Mφ，其主對(duì)角元素分別為各階模態(tài)質(zhì)量。同理，根據(jù)模態(tài)剛度矩陣的定義和主振型向量對(duì)剛度矩陣的正交性，得可知，模態(tài)剛度矩陣為對(duì)角矩陣Kφ

，其主對(duì)角元素分別為各階模態(tài)剛度由于模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ和剛度矩陣Kφ都是對(duì)角陣,因此方程具體形式為可表示為

可知，在廣義坐標(biāo)Q的振動(dòng)微分方程是完全解耦的。因此，可以對(duì)其中的每一個(gè)獨(dú)立的方程，按照單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的方法求得系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q，再將模態(tài)坐標(biāo)下的響應(yīng)Q代回到坐標(biāo)變換式，則可以求得系統(tǒng)在原有廣義物理坐標(biāo)X下的響應(yīng)，即

由于主振型的不唯一性，主坐標(biāo)也存在多種選擇。為了應(yīng)用的方便，實(shí)際上常采用能夠使得模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ正則化為單位矩陣的坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換。由于模態(tài)質(zhì)量矩陣Mφ的對(duì)角元素各不相同，因此，為了正則化，必須對(duì)每一階的主模態(tài)乘以相應(yīng)的因子，使得各階模態(tài)質(zhì)量變?yōu)?。(3)正則坐標(biāo)和正則變換

正則化的條件可以用數(shù)學(xué)形式表達(dá)為可得第i階正則化因子αi

由n個(gè)正則化因子αi

（i＝1，2,3…n）可以組成一個(gè)正則化因子方陣R，正則模態(tài)矩陣φN

以正則模態(tài)矩陣φN作為坐標(biāo)變換矩陣進(jìn)行坐標(biāo)變換，所得到的模態(tài)方程為正則模態(tài)方程，其主坐稱(chēng)為正則坐標(biāo)，其坐標(biāo)變換關(guān)系如下對(duì)應(yīng)于正則坐標(biāo)的廣義質(zhì)量矩陣MN為單位矩陣I，即所以坐標(biāo)變換關(guān)系變?yōu)檎齽t坐標(biāo)下的所對(duì)應(yīng)的廣義剛度矩陣KN

因?yàn)樗约凑齽t坐標(biāo)下的廣義剛度矩陣為由特征值組成的對(duì)角陣。正則變換后的模態(tài)坐標(biāo)下的方程，可化正則模態(tài)方程，即第4節(jié)多自由度無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的響應(yīng)計(jì)算

一、自由振動(dòng)響應(yīng)

無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)振動(dòng)微分方程為在模態(tài)坐標(biāo)Q下的微分方程為即在模態(tài)坐標(biāo)Q下各個(gè)模態(tài)坐標(biāo)的通解為模態(tài)坐標(biāo)Q下的初始條件

將求得的在模態(tài)坐標(biāo)Q下的響應(yīng)，利用主振型變換矩陣變換到原物理坐標(biāo)X下，得到系統(tǒng)在給定初始條件的響應(yīng)則在某一特殊初始條件下，第i階純模態(tài)自由振動(dòng)的位移向量(主振型)為其中，第j坐標(biāo)處的自由振動(dòng)為結(jié)論：(1)當(dāng)系統(tǒng)作某i階純模態(tài)自由振動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)中的各個(gè)坐標(biāo)以相同的頻率和初相位作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。各坐標(biāo)的振幅大小不同，但任意瞬時(shí)的幅值保持固定的比例，即系統(tǒng)具有第i階固定的主振型；(2)系統(tǒng)的自由振動(dòng)X為各階純模態(tài)運(yùn)動(dòng)的線性組合。二、強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)

多自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)分析包括：（1）系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振下的響應(yīng)；（2）系統(tǒng)在任意激振下的響應(yīng)。1.簡(jiǎn)諧激振下的響應(yīng)

（1）無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力下的振動(dòng)微分方程（2）如果利用主振型矩