2023屆四川省眉山市高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)（文）試題

眉山市高中2023屆第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)(文史類)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合4={幻(%+3)(%-2)<0},8W-1<X<3L則AcB=（）

A.(-1,2)B.(-1,3)C.（2,3）D.（0,3）

3+4i

2.己知i為虛數(shù)單位，則——=()

1-i

17.

A.-l+7iB.7+7iC.---1—iD.

22

3.采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI),是通過(guò)對(duì)企業(yè)采購(gòu)經(jīng)理的月度調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)匯總、編制而成的指

數(shù)，它涵蓋了企業(yè)采購(gòu)、生產(chǎn)、流通等各個(gè)環(huán)節(jié)，包括制造業(yè)和非制造業(yè)領(lǐng)域，是國(guó)際上通

用的檢測(cè)宏觀經(jīng)濟(jì)走勢(shì)的先行指數(shù)之一，具有較強(qiáng)的預(yù)測(cè)、預(yù)警作用.制造業(yè)PMI高于50%

時(shí)，反映制造業(yè)較上月擴(kuò)張；低于50%,則反映制造業(yè)較上月收縮.下圖為我國(guó)2021年1

月一2022年6月制造業(yè)采購(gòu)經(jīng)理指數(shù)(PMI)統(tǒng)計(jì)圖.

2021年:2022年

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析，下列結(jié)論最恰當(dāng)一項(xiàng)為（）

A.2021年第二、三季度的各月制造業(yè)在逐月收縮

B.2021年第四季度各月制造業(yè)在逐月擴(kuò)張

C.2022年1月至4月制造業(yè)逐月收縮

D.2022年6月PMI重回臨界點(diǎn)以上，制造業(yè)景氣水平呈恢復(fù)性擴(kuò)張

4.已知函數(shù)/（x）=2，+/（xeR）,則“X）的圖象（）

A.關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱C.關(guān)于直線x=0對(duì)稱D.關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱

5.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則構(gòu)成該多面

體的面中最大的面積為（）

.9_972n9^3

A.Jo.y------LJ.1

222

6.己知命題p：VXGR,3'>2'，命題03x0eR,使得lnx0=-2,則下列命題是真

命題的為（）

A."4B.（「p）八qC.D.

7.某班有包括甲、乙在內(nèi)的4名學(xué)生到2個(gè)農(nóng)場(chǎng)參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)，且每個(gè)學(xué)生只能到一

個(gè)農(nóng)場(chǎng)，每個(gè)農(nóng)場(chǎng)2名學(xué)生.則甲、乙兩名學(xué)生被安排在不同農(nóng)場(chǎng)的概率為（）

113

A.-B."C.-D.一

3234

8.如圖所示形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中，后人稱為“三角

垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….如圖所示的程

序框圖，輸出的S即為小球總數(shù)，則S=（）

/輸大s/

A35B.56C.84D.120

9.過(guò)拋物線C：V=2Pxm°）的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線4與C交于兩點(diǎn)A,B（橫

坐標(biāo)分別為4，4,點(diǎn)A在第一象限），4為C的準(zhǔn)線，過(guò)點(diǎn)A與4垂直的直線與4相交

于點(diǎn)M.^\AF\^\FM\,則要■=（）

XB

A.3B.6C.9D.12

10.已知sin&+￡）=；，則sin（2tz+^）的值為（）

7

An472c4亞7

D.-

9999

22

11.已知橢圓C：亍+方=1（0<〃<2）的左焦點(diǎn)為"，直線y=二kx（k工0）與C交于點(diǎn)M,

Q

M若NM6N=120°,|5|.“劇=3,則橢圓C的離心率為（）

A.|B.—C.正D.星

2223

12.設(shè)a=1.02,b*。25，c=0.9+2sin0.06,則“，b,c的大小關(guān)系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.

c<a<b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量。=（/一1,3）,力=（2,T）,若則實(shí)數(shù)/的值為.

x-2y-4<0

14.若x,y滿足約束條件3一220,則z=2x-3y最大值為.

15.若函數(shù)/'（x）=Asinx-cosx的一個(gè)零點(diǎn)為四，則4=；.

16.如圖，在長(zhǎng)方體ABC。—A4G。中，底面A88為正方形，E,F分別為&G，CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱G2上靠近Ci的三等分點(diǎn)，直線BE與平面所成角為45°.給出

以下4個(gè)結(jié)論：

①EF//平面BBQQ；②EE_L4G；

③平面￡FC_L平面8RE；④B,E,F,G四點(diǎn)共面.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y

（單位：萬(wàn)元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型

①y=bx+a,②y=&+c進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值:

X

20合2020

￡(再-可20.

Z(—)Z5-歹)(西-可-刃&-T)

Xy7/=1f=li=lZ=1

14100.0

6650.04-4504

58

之（K-獷

若用心=1一子---------刻畫回歸效果，得到模型①、②的R2值分別為R「=O.7891,

E（X-7）?

/=1

盾=0.9485.

（1）利用R「和42比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25

（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（X，匕），（*2，兀），…，（七，”），其回歸直線亍=A+/x的斜率和截

EU-J）（x-y）

距的最小二乘法估計(jì)分別為6=J-----------，a=y-ftx.

才（均-才

/=!

18.已知｛a“｝為等差數(shù)列，且q=l,。6=3（%一%）-

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（i127

N*），｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S“，求S”<——成立的

⑵若數(shù)列也｝滿足：bn=-ne

,128

〃的最大值.

2cosAcosRcosc

19.已知二4?C的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,c,且「一=——+一

beabac

（1）求角A的大??；

（2）若C=3,且_A8C的面積為36,求的周長(zhǎng).

20.如圖，在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面AAgB為正方形，AA，平面ABC,

AB=BC=2,ZABC=\20°,E,F分別為棱AB和8片的中點(diǎn).

（1）在棱A4上是否存在一點(diǎn)力，使得G?！ㄆ矫鍱FC?若存在，確定點(diǎn)。的位置，并給

出證明；若不存在，試說(shuō)明理由；

（2）求三棱錐A-EbC的體積.

21.已知函數(shù)/（尤）=疣*一〃1；X2+苫-1）.

（1）若a=-l,求/（x）的極值；

（2）若x20,/W>0,求。的取值范圍.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則

按所做的第一題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

v—+1cosex.

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為〈（f為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=tsina

8

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線。的極坐標(biāo)方程為229=-----------,直線

5-3cos2夕

/與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),M,0）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若AM=2MB，求直線/的斜率.

［選修4?5：不等式選講］

23.已知。>0,b>0,且。+力=2.

259

(1)證明：寸<(。+2)9-+(z〃+1)-<17；

(2)若不等式|3%+加+1|+|3%—加一1|之，4+3+\/<+3對(duì)任意xwR恒成立,求機(jī)的取

值范圍.

眉山市高中2023屆第一次診斷性考試

數(shù)學(xué)（文史類）

1【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】-2

14.【答案】8

15.【答案】①.G1

16.【答案】①②③

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y

（單位：萬(wàn)元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù).現(xiàn)分別用兩種模型

①y=法+a,②y=@+c進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：

20、202020

之（尤，-可

2(—)2,-9)(西-可

Xy7?=1i=li=li=l

14.100.0

6650.04-4504

58

E（x-y）2

若用我2=］一----------刻畫回歸效果，得到模型①、②的夫2值分別為R:=0.7891,

E（^-y）2

i=\

/?/=0.9485.

（1）利用和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由；

（2）根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25

（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（不，匕），（巧，兀），…，（%，％），其回歸直線?=2+的斜率和截

f（X,-可（％-刃

距的最小二乘法估計(jì)分別為方=------------，a=y-px.

￡（玉-葉

?=1

【答案】（1）選擇模型②，理由見(jiàn)解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)己知根據(jù)Az的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模

型②；

（2））與，可用線性回歸來(lái)擬合，有3=2+3,求出系數(shù),得到回歸方程5=10（），+2,

即可得到成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量X的回歸方程為￡=U&+2,代入x=25,即可

X

求出結(jié)果.

【小問(wèn)I詳解】

應(yīng)該選擇模型②.

由題意可知，&2>,則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和t（y,->'）2比模型①中樣本

數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.

【小問(wèn)2詳解】

由已知/=工，成本費(fèi)y與/可用線性回歸來(lái)擬合，^y=dt+c.

X

20

4

由己知可得，2=?■菊一冽——=——=ioo,

XU-O2004

/=!

所以￡一方=10-100x0.08=2,

則y關(guān)于，的線性回歸方程為$=ioo，+2.

成本費(fèi)y與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程為￡=U獨(dú)+2,

X

當(dāng)x=25（噸）時(shí)，亍=鬻+2=6（萬(wàn)元/噸）.

所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值為6萬(wàn)元/噸.

18.已知｛%｝為等差數(shù)列,且4=1,4=3（。4—出）,

（1）求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

(]\an127

）,也｝的前〃項(xiàng)和為求成立的

⑵若數(shù)列出｝滿足：bn=-(/7eN*S.，S,,V——

,128

n的最大值.

【答案】（1）an=n

（2）7

【解析】

【分析】（1）代入公式求出公差即可求通項(xiàng)公式;

（2）代入等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)數(shù)列｛?！埃墓顬椋篸，

4=3（%-。2），4=1

%+5d=3（4+3d—%—d）,

?'?d=1.

「?an=q+(〃

【小問(wèn)2詳解】

2=(；)(〃eN*)，4=n，

XT,

???數(shù)列｛bn｝為等比數(shù)列,所以S,=一”=i-J_

1-12"

2

1271127

由g|Jl--<—,

"1282"128

化簡(jiǎn)得：—,解得(”eN')，

1282"''

127

所以，要使S“W——成立的”的最大值為：7.

"128

「2cosAcos3cosC

19.已知_ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且------=------+------.

beabac

(1)求角A的大小；

(2)若c=3,且_A8C的面積為3石，求一ABC的周長(zhǎng).

［答案］(1)—

3

⑵V13+7

【解析】

【分析】(1)由已知等式可得2。€：0$人=。(：0$3+/^0$(7,結(jié)合正弦定理與三角形內(nèi)角關(guān)

系可求得cosA=1，即可得角A的大小

2

(2)由三角形得面積公式可得6=4,又結(jié)合余弦定理得a二=屆，從而得U3C的周長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

…-2COSACOSBCOSCccosB+bcosC

解：由題意有「一=——+-----=----------------，

beahacahc

即有2。COSA=ccosB+Z?cosC,

由正弦定理得：

2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sin（7i-A）=sinA,

又Ae（O,7i）,所以sinAwO,則cosA=4，所以A=^；

【小問(wèn)2詳解】

解：由（1）知A=],因?yàn)閏=3,且..ABC的面積為3相，

由SAbe='",sin4得：3月=‘x3/?-sin'=史史，所以"=4，

2234

由余弦定理得：cT=-b~+c2-2.bccosA=16+9—2x4x3x—=13,所以a=JT^，

2

所以一ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=a+7.

20.如圖，在三棱柱ABC-44G中，側(cè)面AAgB為正方形，AA，平面ABC,

AB=BC=2,ZABC=\20°,E,F分別為棱AB和8片的中點(diǎn).

（1）在棱上是否存在一點(diǎn)。，使得CQ〃平面EFC?若存在，確定點(diǎn)。的位置，并給

出證明；若不存在，試說(shuō)明理由；

（2）求三棱錐的體積.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；

⑵立.

2

【解析】

【分析】（1）A4的中點(diǎn)。，4B1的中點(diǎn)M,可證明DM//EF，MCJ/EC,根據(jù)面面平

行的判定定理可得平面MDQ//平面EFC,即可證明C{DH平面EFC；

（2）點(diǎn)C到AB的距離為h,根據(jù)等面積法可求h=6,由面面垂直的性質(zhì)可得點(diǎn)C到AB

的距離即為點(diǎn)C到平面4sg4的距離，利用匕=匕_&"=；XS"E「X〃可求解.

【小問(wèn)1詳解】

存在點(diǎn)。，使得G。〃平面EFC.

取人4的中點(diǎn)。，的中點(diǎn)M,連接。廁。

因?yàn)镋,尸分別為棱A8和8M的中點(diǎn)，

所以EF//AB,，所以DMHEF.

連接歷G,則MC//EC.

因?yàn)椤?gt;A/cMC[=M,DM,MC\u平面MDC},EFcEC=E,EF,ECu平面EFC，

所以平面MOG〃平面EFC.

因?yàn)镚Ou平面MDC,，所以GO〃平面EFC.

所以存在D（D為A4中點(diǎn)），使得G。〃平面EFC.

—-------

【小問(wèn)2詳解】

B

求三棱錐A-EFC的體積相當(dāng)于求三棱錐C-\EF的體積.

因?yàn)锳4_L平面ABC,44,<=平面4844,所以平面AB44，平面ABC.

設(shè)點(diǎn)。到A3的距離為力，則有LAB/=，A3-BC-sinl20°,其中A3=3C=2,

22

解得h=V3.

因?yàn)槠矫鍭B44_L平面ABC,平面AB耳A。平面ABC^AB,

所以點(diǎn)C到AB的距離即為點(diǎn)C到平面ABB,At的距離，為〃=百.

在正方形中，4?=2，則EF=4BE?+BF?=+『=④,

222222

AiE=^AE+AA]=Vl+2=45,AiF=JB尸+48：=Vl+2=6.

取EE的中點(diǎn)N,連接4N,則ANLEF,

所以A%==J(右)一,=之坐?

所以5"防=《￡尸-4'=(><0*￥=3,

所以j_EFC=匕.&'=；*5"仃乂%=；*^乂6=9.

所以三棱錐4一EFC的體積為且.

2

21.已知函數(shù)/(%)=疣*一。13/+%-1).

(1)若a=-l,求/(x)的極值；

(2)若xNO,/(x)>0,求a取值范圍.

【答案】⑴"X)的極小值為一一―=,無(wú)極大值.

e2

⑵[o，e。]

【解析】

【分析】⑴由。=一1得，/(x)=xe'+1x2+x-l,求導(dǎo)函數(shù)得了'(x)=(x+D(e'+l),

根據(jù)xeR,判斷函數(shù)單調(diào)性即可得/(x)的極值；

(2)求導(dǎo)函數(shù)可得/'(x)=(x+*e*-a),分別討論當(dāng)a<l時(shí)，當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)的單

調(diào)性，確定是否滿足xNO,/(x)wo恒成立，從而可得a的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

解：若〃=一1,則/(x)=xe'+gd+冗一1,xeR

所以f(x)=e"+xev+x+l=(x+])(e」+]),

則當(dāng)無(wú)<—1時(shí)，r(x)<0,所以在(—8,—1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)力>—1時(shí),/”)>0,所以/'(%)在(-1,+8)上單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)x=—1時(shí)，/(X)取得極小值為—-—無(wú)極大值.

【小問(wèn)2詳解】

解:由題得，/,(%)=ev+xex-a(x+l)=(x+l)[eA-?),

由于xNO,則e*21

當(dāng)時(shí),可知r(x)NO,函數(shù)“X)單調(diào)遞增，

故xNO時(shí)，f(x)Nf(O)=aNO,所以O(shè)WaWl滿足條件；

當(dāng)〃>1時(shí)，/'(x)=0,得x=lna,則可得0<x<lna時(shí),尸卜)<0,/(x)單調(diào)遞減;

x>lna時(shí)，網(wǎng)火>0,7(x)單調(diào)遞增.

所以在區(qū)間[0,+8)上，當(dāng)x=lna時(shí)，/(x)取得極小值，也即為最小值.

由于xNO,〃x)zo恒成立.

則篇,(xN/anablndeiM-agira+lna—l〉。，即有

alna-a(gln2a+lna-l)?0,又。>1,

所以可得51n之a(chǎn)41,解得l<a《e血，

綜上，a的取值范圍是[0,e&].

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，常見(jiàn)的解法有：參變量分離法、數(shù)形結(jié)

合法、最值法等，屬于中檔題.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則

按所做的第一題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

v-J3+tCOSOL

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為《（，為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=tsina

8

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為。92=----------,直線

5-3cos2〃

/與曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，M（6,0）.

（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若AM=2MB，求直線/的斜率.

r2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）±^-

一2

【解析】

x=pcosO

【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)直角的轉(zhuǎn)化（y=psin。,運(yùn)算求解；（2）聯(lián)立直線

222

/的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.

【小問(wèn)1詳解】

.28________________8_______________4

。5-3cos265（cos?e+sin?0）—3（COS2O—sin?6）cosZe+dsin*'則

p1cos20+4夕2sin26=4,

2

AX2+4/=4,即?+/=1,

v-2

故曲線C的直角坐標(biāo)方程為上+y2=］.

4-

【小問(wèn)2詳解】

將直線/的參數(shù)方程為1尤=6+'c°sac為參數(shù)）代入曲線c的直角坐標(biāo)方程為

y=tsina

X*22,石+/COSQ),

1+y=1，得^——-一^-+(/sina)2=r

整理得(cos2a+4sin?a^r+(2百cose)/-1=0,

設(shè)A,B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為小弓，則

26cosa

t+t=----2---------；-9

}2cosa+4sirracos2a+4sin2a

,?*AM=2MB-則GN，

4出