第02講 一元一次方程的解法（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第02講一元一次方程的解法1.會(huì)通過(guò)去分母解一元一次方程；2.歸納一元一次方程解法的一般步驟，體會(huì)解方程中化歸和程序化的思想方法；3.體會(huì)建立方程模型解決問(wèn)題的一般過(guò)程；4.體會(huì)方程思想，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力．知識(shí)點(diǎn)1解一元一次方程解一元一次方程的步驟：去分母兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母2.去括號(hào)（1）先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)（2）乘法分配律應(yīng)滿足分配到每一項(xiàng)注意：特別是去掉括號(hào)，符合變化3.移項(xiàng)（1）定義：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項(xiàng)移到另一邊；（2）注意：①移項(xiàng)要變符號(hào)；②一般把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到左邊，其余項(xiàng)移到右邊．4.合并同類項(xiàng)（1）定義：把方程中的同類項(xiàng)分別合并，化成“axb”的形式（a0）；（2）注意：合并同類項(xiàng)時(shí)，把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母不變．5.系數(shù)化為1（1）定義：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)a，得；（2）注意：分子、分母不能顛倒【題型1解一元一次方程】【典例1】解一元一次方程：5x+3＝3x﹣15．【答案】x＝﹣9．【解答】解：5x+3＝3x﹣15，移項(xiàng)，得5x﹣3x＝﹣15﹣3，合并同類項(xiàng)，得2x＝﹣18，系數(shù)化為1，得x＝﹣9．【變式1-1】解方程：5x﹣8＝2x﹣3．【答案】．【解答】解：5x﹣8＝2x﹣3，移項(xiàng)，得5x﹣2x＝﹣3+8，合并同類項(xiàng)，得3x＝5，系數(shù)化為1，得．【變式1-2】解方程：2x+2＝3x﹣2．【答案】x＝4．【解答】解：2x+2＝3x﹣2，移項(xiàng)得：2x﹣3x＝﹣2﹣2，合并得：﹣x＝﹣4，系數(shù)化為1得：x＝4．【典例2】解下列一元一次方程：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3）；（2）．【答案】（1）x＝﹣7；（2）x＝．【解答】解：（1）3（x+1）﹣2＝2（x﹣3），去括號(hào)，得3x+3﹣2＝2x﹣6，移項(xiàng)，得3x﹣2x＝﹣6﹣3+2，合并同類項(xiàng)，得x＝﹣7；（2）．去分母，得4（2x﹣1）＝12﹣3（x+2），去括號(hào)，得8x﹣4＝12﹣3x﹣6，移項(xiàng)，得8x+3x＝12﹣6+4，合并同類項(xiàng)，得11x＝10，系數(shù)化成1，得x＝．【變式2-1】解方程：（1）4x+5＝3（x﹣1）；（2）﹣＝1．【答案】（1）x＝﹣8；（2）x＝﹣3【解答】解：（1）4x+5＝3（x﹣1），去括號(hào)，得4x+5＝3x﹣3，移項(xiàng)，得4x﹣3x＝﹣3﹣5，合并同類項(xiàng)，得x＝﹣8；（2）﹣＝1，去分母，得2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，去括號(hào)，得4x+2﹣5x+1＝6，移項(xiàng)，得4x﹣5x＝6﹣2﹣1，合并同類項(xiàng)，得﹣x＝3，系數(shù)化成1，得x＝﹣3．【變式2-2】解方程：（1）3x﹣5（2x﹣4）＝7﹣4（x﹣1）；（2）．【答案】（1）x＝3；（2）x＝．【解答】解：（1）3x﹣5（2x﹣4）＝7﹣4（x﹣1），去括號(hào)，得3x﹣10x+20＝7﹣4x+4，移項(xiàng)，得3x﹣10x+4x＝7+4﹣20．合并同類項(xiàng)，得﹣3x＝﹣9，化系數(shù)為1，得x＝3；（2），等式兩邊都乘以12，得2（2x﹣1）+2×12＝3（3x+2），去括號(hào)，得4x﹣2+24＝9x+6，移項(xiàng)，得4x﹣9x＝6﹣24+2，合并同類項(xiàng)，得﹣5x＝﹣16，化系數(shù)為1，得x＝．【變式2-3】解方程：（1）3x﹣7（x﹣1）＝3﹣2（x+3）（2）＝1．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）3x﹣7x+7＝3﹣2x﹣63x﹣7x+2x＝3﹣6﹣7﹣2x＝﹣10x＝5；（2）2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝64x+2﹣5x+1＝64x﹣5x＝6﹣1﹣2﹣x＝3x＝﹣3【題型2一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題】【典例3】是否存在整數(shù)k，使關(guān)于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整數(shù)解？并求出解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵（k﹣4）x+6＝1﹣5x，∴x＝﹣，∵關(guān)于x的方程（k﹣4）x+6＝1﹣5x有整數(shù)解，∴k+1＝﹣5；﹣1；1；5即可，∴k＝﹣6或﹣2或0或4，∴方程的解分別為1；5；﹣5；﹣1．【變式3-1】當(dāng)整數(shù)k為何值時(shí)，方程9x﹣3＝kx+14有正整數(shù)解？并求出正整數(shù)解．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：移項(xiàng)，得9x﹣kx＝14+3，合并同類項(xiàng)，得（9﹣k）x＝17，系數(shù)化為1，得x＝，∵是正整數(shù)，∴9﹣k＝1或17，∴k＝8或﹣8時(shí)，原方程有正整數(shù)解；當(dāng)k＝8時(shí)，x＝17；當(dāng)k＝﹣8時(shí)，x＝1．【變式3-2】若關(guān)于x的方程ax﹣3＝0有正整數(shù)解，則整數(shù)a的值為（）A．1或﹣1或3或﹣3 B．1或3 C．1 D．3【答案】B【解答】解：∵ax﹣3＝0，∴ax＝3，∴x＝．又∵原方程有正整數(shù)解，且a為整數(shù)，∴a＝1或3．故選：B．【題型3根據(jù)兩個(gè)一元一次方程的解之間的關(guān)系求參數(shù)】【典例4】若代數(shù)式與的值的和為5，則m的值為（）A．18 B．10 C．﹣7 D．7【答案】C【解答】解：依題意得：+＝5，去分母得：12m﹣2（5m﹣1）+3（7﹣m）＝30，去括號(hào)得：12m﹣10m+2+21﹣3m＝30，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：﹣m＝7．化系數(shù)為一得：m＝﹣7．故選：C．【變式4-1】若P＝2a﹣2，Q＝2a+3，且3P﹣Q＝1，則a的值是（）A．0.4 B．2.5 C．﹣0.4 D．﹣2.5【答案】B【解答】解：∵P＝2a﹣2，Q＝2a+3，3P﹣Q＝1，∴3（2a﹣2）﹣（2a+3）＝1，6a﹣6﹣2a﹣3＝1，4a＝10，a＝2.5．故選：B．【變式4-2】若的值與x﹣7互為相反數(shù)，則x的值為（）A．1 B． C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：由題意，得，解得x＝1；故選：A．【變式4-3】若式子﹣2a+1的值比a﹣2的值大6，則a等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】C【解答】解：依題意，﹣2a+1﹣（a﹣2）＝6，解得：a＝﹣1，故選：C．【變式4-4】已知A＝2x+1，B＝5x﹣4，若A比B小1，則x的值為（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：∵A＝2x+1，B＝5x﹣4，A比B小1，∴（5x﹣4）﹣（2x+1）＝1，5x﹣4﹣2x﹣1＝1，5x﹣2x＝1+1+4，3x＝6，x＝2．故選：A．【題型4錯(cuò)解一元一次方程的問(wèn)題】【典例5】一位同學(xué)在解方程5x﹣1＝（）x+3時(shí)，把“（）”處的數(shù)字看錯(cuò)了，解得，這位同學(xué)把“（）”處的數(shù)字看成了（）A．3 B．﹣ C．﹣8 D．8【答案】D【解答】解：設(shè)括號(hào)處未知數(shù)為y，則將x＝﹣代入方程得：5×（﹣）﹣1＝y(tǒng)×（﹣）+3，移項(xiàng)，整理得，y＝8．故選：D．【變式5-1】某同學(xué)解方程2x﹣3＝ax+3時(shí)，把x的系數(shù)a看錯(cuò)了，解得x＝﹣2，他把x的系數(shù)看成了（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把x＝﹣2代入原方程，得﹣4﹣3＝﹣2a+3，解得a＝5，故選：A．【變式5-2】某同學(xué)解方程5y﹣1＝口y+4時(shí)，把“口”處的系數(shù)看錯(cuò)了，解得y＝﹣5，他把“口”處的系數(shù)看成了（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6【答案】C【解答】解：設(shè)口為a，把y＝﹣5代入方程得：5×（﹣5）﹣1＝﹣5a+4，∴﹣5a+4＝﹣26，∴﹣5a＝﹣30，∴a＝6，故選：C．【變式5-3】小明同學(xué)在解方程5x﹣1＝mx+3時(shí)，把數(shù)字m看錯(cuò)了，解得x＝﹣，則該同學(xué)把m看成了（）A．3 B． C．8 D．﹣8【答案】C【解答】解：把x＝﹣代入方程得：﹣﹣1＝﹣m+3，解得：m＝8，故選：C．【變式5-4】某同學(xué)解方程2x﹣3＝ax+3時(shí)，把x的系數(shù)a看錯(cuò)了，解得x＝﹣2，他把x的系數(shù)a看成了下列哪個(gè)數(shù)？（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解答】解：把x＝﹣2代入原方程，得﹣4﹣3＝﹣2a+3，解得a＝5．故選：A．【題型5一元一次方程的解與參數(shù)無(wú)關(guān)】【典例6】定義一種新運(yùn)算：a⊙b＝5a﹣b．（1）計(jì)算：（﹣6）⊙8＝；（2）若（2x﹣1）⊙（x+1）＝12，求x的值；（3）化簡(jiǎn)：（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1），若化簡(jiǎn)后代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，求y的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵a⊙b＝5a﹣b，∴（﹣6）⊙8＝5×（﹣6）﹣8＝﹣30﹣8＝﹣38，故答案為：﹣38；（2）由題意得：5（2x﹣1）﹣（x+1）＝12，10x﹣5﹣x﹣1＝12，9x＝18，∴x＝2；（3）∵a⊙b＝5a﹣b，∴（3xy﹣2x﹣3）⊙（﹣5xy+1）＝5（3xy﹣2x﹣3）﹣（﹣5xy+1）＝15xy﹣10x﹣15+5xy﹣1＝20xy﹣10x﹣16＝（20y﹣10）x﹣16，∵化簡(jiǎn)后代數(shù)式的值與x的取值無(wú)關(guān)，∴20y﹣10＝0，∴y＝．【變式6-1】（1）先化簡(jiǎn)，再求值：已知代數(shù)式A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），求5A﹣4B，并求出當(dāng)a＝﹣2，b＝3時(shí)5A﹣4B的值．（2）對(duì)于任意四個(gè)有理數(shù)a，b，c，d，可以組成兩個(gè)有理數(shù)對(duì)（a，b）與（c，d）．規(guī)定：（a，b）★（c，d）＝ad﹣bc，如：（1，2）★（3，4）＝1×4﹣2×3＝﹣2根據(jù)上述規(guī)定解決下列問(wèn)題：①有理數(shù)對(duì)（5，﹣3）★（3，2）＝．②若有理數(shù)對(duì)（﹣3，x）★（2，2x+1）＝15，則x＝．③若有理數(shù)對(duì)（2，x﹣1）★（k，2x+k）的值與x的取值無(wú)關(guān)，求k的值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵A＝（3a2b﹣ab2），B＝（﹣ab2+3a2b），∴5A﹣4B＝5（3a2b﹣ab2）﹣4（﹣ab2+3a2b）＝15a2b﹣5ab2+4ab2﹣12a2b＝3a2b﹣ab2，當(dāng)a＝﹣2，b＝3時(shí)，原式＝36+18＝54；（2）①根據(jù)題中的新定義得：原式＝10+9＝19；②根據(jù)題中的新定義得：﹣3（2x+1）﹣2x＝15，去括號(hào)得：﹣6x﹣3﹣2x＝15，移項(xiàng)合并得：﹣8x＝18，解得：x＝﹣；③根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：2（2x+k）﹣k（x﹣1）＝4x+2k﹣kx+k＝（4﹣k）x+3k，由結(jié)果與x取值無(wú)關(guān)，得到4﹣k＝0，即k＝4．故答案為：①19；②﹣【變式6-2】（1）已知多項(xiàng)式3x2+my﹣8與多項(xiàng)式﹣nx2+2y+7的差與x，y的值無(wú)關(guān)，求nm+mn的值．（2）解方程＝1﹣．【答案】（1）3；（2）．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：3x2+my﹣8+nx2﹣2y﹣7＝（3+n）x2+（m﹣2）y﹣15，由題意得：m＝2，n＝﹣3，則原式＝9﹣6＝3；（2）＝1﹣2×（5x+1）＝6﹣（2x﹣1），10x﹣2＝6﹣2x+1，12x＝9，x＝．【題型6一元一次方程的解在新定義中運(yùn)用】【典例7】定義“※”運(yùn)算為“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，則x等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：3x+6+3x+2x＝22，移項(xiàng)合并得：8x＝16，解得：x＝2，故選：D．【變式7-1】新定義一種運(yùn)算“☆”，規(guī)定a☆b＝ab+a﹣b．若2☆x＝x☆2，則x的值為．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a☆b＝ab+a﹣b，2☆x＝x☆2，∴2x+2﹣x＝2x+x﹣2，整理，可得：2x＝4，解得x＝2．故答案為：2．【變式7-2】規(guī)定一種新的運(yùn)算：a*b＝2﹣a﹣b，求*＝1的解是x＝．【答案】x＝．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：2﹣﹣＝1，去分母得：12﹣2（2x﹣1）﹣3（1+x）＝6，去括號(hào)得：12﹣4x+2﹣3﹣3x＝6，移項(xiàng)合并得：﹣7x＝﹣5，解得：x＝．故答案為：x＝．【變式7-3】已知a，b，c，d為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算＝ad﹣bc，那么當(dāng)＝18時(shí)，x的值是．【答案】．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：3×5x﹣4（2﹣x）＝18，去括號(hào)得：15x﹣8+4x＝18，移項(xiàng)合并得：19x＝26，解得：x＝．故答案為：1．（2022?百色）方程3x＝2x+7的解是（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝7 D．x＝﹣7【答案】C【解答】解：移項(xiàng)得：3x﹣2x＝7，合并同類項(xiàng)得：x＝7．故選：C．2．（2022?海南）若代數(shù)式x+1的值為6，則x等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣7【答案】A【解答】解：根據(jù)題意可得，x+1＝6，解得：x＝5．故選：A．3．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號(hào)正確的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【答案】D【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括號(hào)得：﹣4x﹣2＝x，故選：D．4．（2023?隴西縣校級(jí)模擬）定義a?b＝2a+b，則方程3?x＝4?2的解為（）A．x＝4 B．x＝﹣4 C．x＝2 D．x＝﹣2【答案】A【解答】解：根據(jù)題中的新定義得：∵3?x＝2×3+x，4?2＝2×4+2，∵3?x＝4?2，∴2×3+x＝2×4+2，解得：x＝4．故選：A．5．（2023?青山區(qū)一模）若的值與x﹣7互為相反數(shù)，則x的值為（）A．1 B． C．3 D．﹣3【答案】A【解答】解：由題意，得，解得x＝1；故選：A．6．（2023?懷遠(yuǎn)縣二模）方程＝1去分母正確的是（）A．2（3x﹣1）﹣3（2x+1）＝6 B．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝1 C．9x﹣3﹣4x+2＝6 D．3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6【答案】D【解答】解：﹣＝1，方程兩邊同時(shí)乘以6得：3（3x﹣1）﹣2（2x+1）＝6，去括號(hào)得：9x﹣3﹣4x﹣2＝6，故選：D．7．（2021?廣元）解方程：+＝4．【答案】x＝7．【解答】解：+＝4，3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24，3x﹣9+2x﹣2＝24，3x+2x＝24+9+2，5x＝35，x＝7．8．（2021?桂林）解一元一次方程：4x﹣1＝2x+5．【答案】x＝3．【解答】解：4x﹣1＝2x+5，4x﹣2x＝5+1，2x＝6，x＝3．9．（2021?西湖區(qū)校級(jí)自主招生）以下是圓圓解方程＝1的解答過(guò)程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括號(hào)，得3x+1﹣2x+3＝1．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝﹣3．圓圓的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：圓圓的解答過(guò)程有錯(cuò)誤，正確的解答過(guò)程如下：去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括號(hào)，得3x+3﹣2x+6＝6．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝﹣3．10．（2022秋?陵城區(qū)期末）解方程（1）18（x﹣1）﹣2x＝﹣2（2x﹣1）；（2）．【答案】（1）x＝1；（2）y＝．【解答】解：（1）去括號(hào)得，18x﹣18﹣2x＝﹣4x+2，移項(xiàng)得，18x﹣2x+4x＝2+18，合并同類項(xiàng)得，20x＝20，x的系數(shù)化為1得，x＝1；（2）去分母得，2（3y﹣1）﹣20＝5（5y﹣7）去括號(hào)得，6y﹣2﹣20＝25y﹣35，移項(xiàng)得，6y﹣25y＝﹣35+20+2，合并同類項(xiàng)得，﹣19y＝﹣13，x的系數(shù)化為1得，y＝．1．（2023春?榆樹(shù)市期末）一元一次方程8x＝2x﹣6的解是（）A．x＝1 B．x＝0 C．x＝﹣2 D．x＝﹣1【答案】D【解答】解：8x＝2x﹣6，6x＝﹣6，x＝﹣1．故選：D．2．（2022秋?汾陽(yáng)市期末）方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括號(hào)變形正確的是（）A．3x﹣2x﹣3＝5 B．3x﹣2x﹣6＝5 C．3x﹣2x+3＝5 D．3x﹣2x+6＝5【答案】D【解答】解：3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+3×2＝3x﹣2x+6＝﹣x+6，故選：D．3．（2023?樂(lè)東縣一模）代數(shù)式5x﹣7與13﹣2x互為相反數(shù)，則x的值是（）A． B．2 C．﹣2 D．無(wú)法計(jì)算【答案】B【解答】解：∵代數(shù)式5x﹣7與13﹣2x互為相反數(shù)，∴5x﹣7+13﹣2x＝0，∴3x+6＝0，∴x＝﹣2，故選：B．4．（2022秋?宜城市期末）定義“※”運(yùn)算為“a※b＝ab+2a”，若（3※x）+（x※3）＝14，則x等于（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】A【解答】解：∵a※b＝ab+2a，∴（3※x）+（x※3），＝3x+2×3+3x+2x，＝8x+6，∴8x+6＝14，解得x＝1．故選：A．5．（2022秋?瀘縣期末）如果表示ad﹣bc，若＝4，則x的值為（）A．﹣2 B． C．3 D．【答案】C【解答】解：根據(jù)題意得：＝5（x﹣1）﹣2x＝4，化簡(jiǎn)為：3x＝9，∴x＝3，故選：C．6．（2022秋?潮安區(qū)期末）設(shè)a⊕b＝3a﹣b，且x⊕（2⊕3